2018-2019学年重庆市主城四区高二下学期学业质量抽测数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市主城四区高二下学期学业质量抽测数学（理）试题一、单选题1已知复数满足,则复数在复平面内对应点所在的象限是( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得，复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限故选：A【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2曲线在处的切线斜率是( )ABCD【答案】C【解析】根据已知对求导，将代入导函数即可.【详解】y=(cosx)=-sinx，当时，.故选C.【点睛】本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题.36名学生站成一排,若学生甲不站两端,则不同站法共有( )A240种B360种C480种D720种【答案】C【解析】先选2人（除甲外）排在两端，其余的4人任意排，问题得以解决【详解】先选2人(除甲外)排在两端,其余的4人任意排,故种，故选：C.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，常用的方法有元素优先法、插空法、捆绑法、分组法等，此题考查元素优先法，属于简单题.4某市一次高二年级数学统测,经抽样分析,成绩近似服从正态分布,且,则( )A0.2B0.3C0.4D0.5【答案】A【解析】根据正态分布的对称性求出P（X90），即可得到答案【详解】X近似服从正态分布N(84,2),.，故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，抓住正态分布曲线的对称性即可解题，属于基础题.5设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为( )A4B-1C1D-4【答案】D【解析】由已知条件推导得到f（1）=-4，由此能求出曲线y=f（x）在（1，f（1）处切线的斜率【详解】由，得，曲线在点处的切线斜率为-4，故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题.6甲乙丙丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( )A甲可以知道四人的成绩B丁可以知道自己的成绩C甲丙可以知道对方的成绩D乙丁可以知道自己的成绩【答案】B【解析】根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案.【详解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好；当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩；当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩；综上，只有B选项符合.故选：B.【点睛】本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.7如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是( )A是函数的极小值点B当或时,函数的值为0C函数关于点对称D函数在上是增函数【答案】D【解析】由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案【详解】由函数f(x)的导函数图象可知，当x(,a),(a，b)时,f(x)0，原函数为减函数；当x(b,+)时,f(x)0，原函数为增函数.故不是函数的极值点，故A错误；当或时,导函数的值为0，函数的值未知，故B错误；由图可知，导函数关于点对称，但函数在(,b)递减,在(b,+)递增,显然不关于点对称，故C错误；函数在上是增函数，故D正确；故答案为：D.【点睛】本题考查函数的单调性与导数的关系，属于导函数的应用，考查数形结合思想和分析能力，属于中等题.8中国古代儒家提出的“六艺”指:礼乐射御书数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有( )A18种B36种C72种D144种【答案】D【解析】由排列、组合及简单的计数问题得：由题意可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，再相乘得解【详解】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，由于是分步进行，所以共有种，故选：D.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，根据问题选择合适的方法是关键，此类问题常见的方法有元素优先法、捆绑法、插空法等，本题属于中等题.9甲乙丙丁戊5名同学报名参加社区服务活动,社区服务活动共有关爱老人环境监测教育咨询交通宣传文娱活动五个项目,每人限报其中一项,记事件为“5名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关爱老人项目”,则( )ABCD【答案】A【解析】由条件概率与独立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【详解】由已知有事件概率为：，事件概率为：P(AB)=，所以P(A|B)=，故选：A.【点睛】本题考查条件概率的计算，条件概率的两种求法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法: 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB) ,得P(B|A)=，本题属于基础题.10某射手射击一次击中靶心的概率是,如果他在同样的条件下连续射击10次,设射手击中靶心的次数为,若,则( )A0.7B0.6C0.4D0.3【答案】B【解析】随机变量XB（10，p），所以DX=10p(1p)=2.4，可得p=0.4或p=0.6，又因为P(X=3)，所以p=0.6.【详解】依题意,X为击中目标的次数,所以随机变量服从二项分布XB(10,p)，所以D（X）=10p(1p)=2.4，所以p=0.4或p=0.6，又因为P(X=3)P(X=7),即，所以1p，所以p=0.6.故选：B.【点睛】本题考查二项分布的概率计算、期望与方差，根据二项分布概率计算公式进行求解即可，属于简单题.11定义在上的函数满足,则不等式的解集为( )ABCD【答案】B【解析】由已知条件构造辅助函数g(x)=f(x)+lnx，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可的解集【详解】令g(x)=f(x)+lnx (x0) ，则g(x)= ，又函数满足，g(x)= ，g(x)在单调递增.，当，当，当，则不等式成立.故选：B.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数综合，一般采用构造函数法，求导后利用条件判断函数的单调性，再根据特殊值解出不等式所对应的区间即可，属于中等题.12已知函数存在零点,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】函数的零点就是方程的根，根据存在零点与方程根的关系，转化为两个函数交点问题，数形结合得到不等式，解得即可【详解】函数存在零点，等价于方程有解，即有解，令，则，方程等价于与有交点，函数恒过定点（0,0），当时，与图象恒有交点，排除A，B ，C选项；又当时，恰好满足时，此时与图象恒有交点，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，此类问题通常将零点问题转化成函数交点问题，利用数形结合思想、分类讨论思想，求参数的范围，属于较难题.二、填空题13求函数的单调增区间是_【答案】或【解析】求的导函数，利用，可得函数的单调递增区间【详解】解：由，得令，可得故函数的单调递增区间是故答案为或.【点睛】本题考查导数知识的运用，函数求导，考查函数的单调性，属于基础题14二项式的展开式中第10项是常数项,则常数项的值是_(用数字作答).【答案】【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第10项，令x的指数为0，求出n的值，代入即可求解【详解】二项式的展开式中第10项是常数项，展开式的第10项为，n-9-3=0，解得n=12，常数值为故答案为：.【点睛】本题考查二项式系数的性质，考查对二项式通项公式的运用，属于基础题，15某晚会安排5个摄影组到3个分会场负责直播,每个摄影组去一个分会场,每个分会场至少安排一个摄影组,则不同的安排方法共有_种(用数字作答).【答案】150【解析】根据题意，先将5个摄影组可分为三队，分队的方式有2种：（1，1，3）和（1,2,2），再进行排列，由分类计数原理计算可得答案【详解】根据题意，5个摄影组可分为三队，分队的方式有2种：（1，1，3）和（1,2,2），按（1，1，3）进行分队有种，再分配到3个分会场，共有种；按（1，2，2）进行分队有种，再分配到3个分会场，共有种；再进行相加，共计60+90=150种，故答案为：150.【点睛】本题考查排列、组合的实际应用问题，考查分类、分步计数原理的灵活应用，属于中等题.16若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_【答案】【解析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导利用切线的几何意义利用斜率相等可得答案.【详解】设直线与曲线切于点，与曲线切于点，则有，从而，所以切线方程，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,两曲线的公切线问题，属于中档题三、解答题17某社区居民2012年至2018年人均收入(单位:万元)的统计数据如下表:年份2012201320142015201620172018年份代号1234567人均收入2.93.33.64.44.85.25.9已知变量,具有线性相关关系.()求关于的线性回归方程;()利用()中的线性回归方程,分析2012年至2018年该社区居民人均收入的变化情况,并预测该社区居民2020年的人均收入.附参考公式:线性回归方程中,.【答案】()；() 2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番，平均每年增加0.5万元；预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元.【解析】（）根据公式计算可得：；()x=8代入计算可得【详解】() ,，y关于x的线性回归方程为：.()2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐步提高，翻了一番，平均每年增加0.5万元.当x=8时，=0.58+2.3=6.3万元.预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元.【点睛】本题考查线性回归方程的计算，并用线性回归方程进行性预测，考查计算能力，属于简单题.18某学校为调查高二年级学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取80名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1)和女生身高情况的频率分布直方图(图(2).已知图(1)中身高(单位:)在内的男生人数有16人.()求在抽取的学生中,男女生各有多少人?()根据频率分布直方图,完成下列的列联表,并判断能有多大(百分之几)的把握认为“身高与性别有关”?总计男生人数女生人数总计附:参考公式和临界值表:,5.0246.6357.87910.8280.0250.0100.0050.001【答案】() 男生40人，女生40人；() 表格见解析，有的把握认为身高与性别有关.【解析】()根据题目直方图中，因为身高在的男生的频率为，人数为16人，可得男生的总人数，进而求得女生的人数；() 分别计算男生、女生身高的人数，完成列联表，代入公式并分析临界值表即可得到结论.【详解】()直方图中，因为身高在170175cm的男生的频率为，设男生数为，则，得，由男生的人数为40，得女生的人数为.() 男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：总计男生人数301040女生人数43640总计344680，所以能有的把握认为身高与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图中概率的计算，独立性检验应用，考查能否根据频率分布直方图解未知数并得出每一组的概率，考查分析能力以及计算，属于简单题.19已知函数,其中为常数且.()若是函数的极值点,求的值;()若函数有3个零点,求的取值范围.【答案】() ；()【解析】（I）由题意把代入导函数，导函数得0，即可求的值；（II）由题意等价转化为函数在区间上有三个零点问题，转化为求函数在定义域下求极值，列关于a的不等式求解【详解】()依题意得,所以，是函数的极值点，得f(2)=0，解得或（舍去），故，() 函数有3个零点,即方程有三个不同实根，因为所以有三个不等实根，令，令，解得，在单调递增，单调递减，单调递增，所以为的极值点，根据函数有3个零点,需满足，解得，的取值范围为.【点睛】本题考查函数零点个数求参数的取值范围,通常利用转化思想将函数进行转化成等价函数或者方程根的问题，利用导数研究函数的性质,根据条件列出不等式求解，考查数学思想方法的灵活应用，属于较难题.20某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在内的植物有8株,在内的植物有2株.()求样本容量和频率分布直方图中的,的值;()在选取的样本中,从高度在内的植物中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望;()据市场调研,高度在内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?【答案】(),，；()分布列见解析，；()方案一付费更便宜.【解析】() 由题目条件及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y() 由题意可知，高度在80，90）内的株数为5，高度在90，100内的株数为2，共7株抽取的3株中高度在80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）()根据()所得结论，分别计算按照方案一购买应付费和按照方案二购买应付费，比较结果即可得按照方案一付费更便宜.【详解】() 由题意可知，样本容量,，.()由题意可知,高度在80,90)内的株数为5,高度在90,100内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在80,90)内的株数X的可能取值为1,2,3,则，,X的分布列为：X123P故.()根据()所得结论，高度在内的概率为，按照方案一购买应付费元，按照方案二购买应付费元，故按照方案一付费更便宜.【点睛】本题考查频率分布直方图、分布列和数学期望，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及一组的数据计算总体，求随机变量的分布列的主要步骤：明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；求每一个随机变量取值的概率；列成表格，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.21已知函数.()当时,求曲线在点处的切线方程;()若存在两个极值点,证明:.【答案】()切线方程为y=0；()证明见解析【解析】（）求出当k=2时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线方程；（）由题意存在两个极值点,求导令导函数得0可得,，将之代入转化成证明，再由函数的单调性即可证明.【详解】()当k=2时,即有f(1)=0，所以,f(1)=0.所以切线方程为y=0；()因为，存在两个极值点,所以,是的根，设，,所以,，解得，因为，因为，即证，即证又，则转化为，即证，由()可知,当k=2时,在（0，+）单调递减，而，因为，即恒成立，故得证.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数证明不等式恒成立，证明不等式恒成立通常运用转化思想，本题将不等式转化为已知函数求单调性，在利用导数单调性进行证明，属于难题.22在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;()若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的直角坐标.【答案】() C1的普通方程,C2的直角坐标方程；() |MN|取得最小值,此时M(,