高考数学一轮复习 3.7正弦定理和余弦定理课件 文 湘教版.ppt

3 7正弦定理和余弦定理 思考探究 在 abc中 sina sinb是a b的什么条件 提示 充要条件 因为sina sinb 3 2014 天津联考 在钝角 abc中 已知ab ac 1 b 30 则 abc的面积是 a b c d 解析 由正弦定理得即 sinc 则c 60 或120 c 60 时 abc为直角三角形 舍去 c 120 时 a 30 所以s 1 3 sin30 答案 b 4 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为三角形 解析 由bcosc ccosb asina 得sinbcosc sinccosb sin2a 即sin b c sin2a 所以sina 1 由0 a 得a 所以 abc为直角三角形 答案 直角 利用正弦定理 余弦定理理解三角形 1 解三角形的目标与条件任意一个三角形中都含有三条边和三个角这六个基本量 解三角形即是按题设要求 求出这六个基本量中若干个未知的量 或判断出这样的三角形不存在 由于任意三角形中 都能由正弦定理 余弦定理和内角和定理得到相应的三个等式 从而可以看成已有关于六个基本量的三个方程 因此 当已知一个三角形中的任意三个基本量 必含一条边 或有关这样的三个量的三个独立条件时 从解方程组的角度分析 这个三角形就是可解三角形 2 可解三角形的基本类型 1 利用正弦定理可解以下两类三角形 一是已知两角和一角的对边 求其他边角 二是已知两边和一边的对角 求其他边角 2 利用余弦定理可解两类三角形 一是已知两边和它们的夹角 求其他边角 二是已知三边求其他边角 由于这两种情形下的三角形是唯一确定的 所以其解也是唯一的 1 2014 杭州模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若a 1 c b 45 求sinc 2 在 abc中 a b b 45 求角a c和边c 解析 1 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosb 1 32 25 即b 5所以sinc 2 由正弦定理得 sina a b a 60 或a 120 当a 60 时 c 180 45 60 75 c 当a 120 时 c 180 45 120 15 c 利用正弦定理 余弦定理判断三角形的形状 1 三角形形状的判断方向从三角形的边角关系考虑 是否锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 是否等边三角形 等腰三角形 等腰直角三角形等 2 常用判断方法 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 1 2014 山东省实验中学诊断 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 且2c2 2a2 2b2 ab 试判断 abc的形状 2 在 abc中 若 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 试判断 abc的形状 解析 1 由2c2 2a2 2b2 ab 得a2 b2 c2 所以cosc 0 所以90 c 180 即 abc为钝角三角形 2 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b b2 sin a b sin a b a2 sin a b sin a b 2sinacosb b2 2cosasinb a2 即a2cosasinb b2sinacosb 方法一由正弦定理知a 2rsina b 2rsinb sin2acosasinb sin2bsinacosb 又sina sinb 0 sinacosa sinbcosb sin2a sin2b 在 abc中 0 2a 2 0 2b 2a 2b或2a 2b a b或a b abc为等腰或直角三角形 方法二由正弦定理 余弦定理得 a2b b2a a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 0 a2 b2 0或a2 b2 c2 0 即a b或a2 b2 c2 abc为等腰或直角三角形 与三角形面积有关的问题 变式训练 3 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 且满足 1 求角a的大小 2 若a 求 abc面积的最大值 1 判断三角形的形状在判断三角形的形状时 一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系 再用三角变换或代数式的恒等变形 如因式分解 配方等 求解 2 判定三角形解的个数的方法在 abc中 已知边a b和角a时 判断三角形解的情况有以下两种方法 方法一 可依据下表方法进行判断 从近几年全国各地的高考试题分析 正弦定理 余弦定理已经成为常考内容 通常出现在解答题第1题的位置上 一则考查运用正弦定理 余弦定理求解三角形的能力 二则考查三角形内的三角变换水平 常需要综合运用各类三角公式来达到解题目的 同时这一知识也能十分融洽地与向量知识 立体几何知识交汇在一起命题 命题难度中等偏低 2013 湖北卷 在 abc中 角a b c对应的边分别是a b c 已知cos2a 3cos b c 1 1 求角a的大小 2 若 abc的面积s b 5 求sinbsinc的值 规范解答 1 由cos2a 3cos b c 1 得2cos2a 3cosa 2 0 即 2cosa 1 cosa 2 0 解得cosa 或cosa 2 舍去 因为0 a 所以a 2 由s bcsina 得bc 20 又b 5 所以c 4 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosa 25 16 20 21故a 又由正弦定理 得sinbsinc sina sina sin2a 阅后报告 1 在处理三角形中的边角关系时 一般全部化为角的关系 或全部化为边的关系 题中若出现边的一次式一般采用正弦定理 出现边的二次式一般采用余弦定理 应用正 余弦定理时 注意公式变式的应用 解决三角形问题时 注意角的限制范围 2 在解决三角形问题中 面积公式s absinc bcsina acsinb最常用 因为公式中既有边又有角 容易和正弦定理 余弦定理联系起来 1 2014 江西卷 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 c 则 abc的面积是 a 3b c d 解析 由余弦定理得 cosc 所以ab 6 所以s abc absinc 答案 c 2 2014 重庆卷 已知 abc的内角a b c满足sin2a sin a b c sin c a b 面积s满足1 s 2 记a b c分别为a b c所对的边 则下列不等式一定成立的是 a bc b c 8b ab a b c 6 abc 12d 12 abc 24 解析 因为a b c 所以a c b c a b 所以由已知等式可得sin2a sin 2b sin 2 a b 即sin2a sin2b sin2 a b 所以sin a b a b sin a b a b sin2 a b 所以2sin a b cos a b 2sin a b cos a b 所以2sin a b cos a b cos a b 所以sinasinbsinc 由1 s 2 得1 bcsina 2 由正弦定理得a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 所以1 2r2sinasinbsinc 2 所以1