《数字信号处理》(2-7章)习题解答.doc

第二章习题解答1、求下列序列的变换，并标明收敛域，绘出的零极点图。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：(1) ，收敛域为，零极点图如题1解图(1)。(2) ，收敛域为，零极点图如题1解图(2)。(3) ，收敛域为，零极点图如题1解图(3)。(4) ，收敛域为，零极点图如题1解图(4)。(5) 由题可知，收敛域为，零极点图如题1解图(5)。(6) 由于那么，收敛域为，零极点图如题1解图(6)。(1) (2) (3)9阶极点(4) (5) (6)题1解图2、求下列的反变换。(1) (2) (3) (4) 解：(1) 解法一：留数法从收敛域可以看出，是因果序列，即当时，。当时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及在围线内的极点如题2解图(1)所示，因为所以综上，解法二：部分分式展开法由于收敛域为，所以解法三：长除法收敛域在圆外，是右边序列，按的降幂排列。由于，那么，所以(2) 解法一：留数法从收敛域可以看出，是因果序列，即当时，。当时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及在围线内的极点和如题2解图(2)所示，因为题2解图(1) 题2解图(2)所以综上，解法二：部分分式展开法由于收敛域为，所以(3) 由题可知收敛域为，所以(4) 由题可知则收敛域为，所以3、假如的变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域，对应不同的收敛域求。解：对的分子和分母进行因式分解得可以看出，的极点为，。那么有三种不同的收敛域：，和。下面分别讨论(1) 当收敛域为时，(2) 当收敛域为时，(3) 当收敛域为时，4、已知因果序列的变换，求序列的初值和。(1) (2) 解：初值定理，终值定理。终值定理只有当时，收敛才可应用，即要求的极点必须在单位圆内（单位圆上的极点只能位于，且是一阶极点。）若发散，则不存在终值。(1) 。的极点为和， 发散，不存在终值。(2) 。，的极点为和，收敛，。5、已知，求证。证明：这里的z变换是指单边z变换，那么由于因此由定义可知，对于单边z变换，且因此6、对因果序列，初值定理是,如果序列为 时，问相应的定理是什么? 讨论一个序列，其变换为：的收敛域包括单位圆，求（序列）值。解：当序列满足，时，有所以此时若序列的z变换为，所以的极点为。由题意可知，的收敛域包括单位圆，则其收敛域应该为，那么为有值的左边序列，为因果序列，所以7、有一信号,它与另两个信号和的关系是其中 ，已知 ，利用z变换性质求的z变换。解：根据题目所给条件可得，那么，所以 8、 求以下序列的频谱。(1) (2) (3) (4) 解：对题中所给的先进行z变换再求频谱，(1) 的z变换为所以(2) 的z变换为所以(3) 的z变换为所以(4) 的z变换为所以9、设是如题9图所示信号的傅里叶变换，不必求出，试完成下列计算：(a) (b) (c) (d) 题9图解：(a) ；(b) ；(c) 由帕塞伐公式可得(d) 因为所以即由帕塞伐公式可得10、已知的傅里叶变换，用表示下列信号的傅里叶变换。(a) (b)(c) 解：(a) 因为那么所以(b) 由于所以(c) 由题9的第(d)个小题同理所以 11、已知用下列差分方程描述的一个线性时不变因果系统 (a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；(b) 求此系统的单位脉冲响应；(c) 画出系统的结构框图；(d) 若时，, 求输出。解：(a) 对差分方程两边进行z变换，得到因此零点：；极点：，。由于系统为因果系统，因此收敛域为；零极点图及其收敛区域如题11解图(1)所示。 (b) 利用部分分式有由于收敛域为，所以题11解图(1)(c) 系统的结构框图如题11解图(2)所示。题11解图(2)(d) 根据题意可知，那么收敛域为，对进行z反变换，可得12、研究一个输入为和输出为的时域线性时不变因果系统，已知它满足试求其系统函数和单位脉冲响应。解：对差分方程两边进行z变换，得到因此系统函数为它的极点为和。由于系统为因果系统，因此收敛域为。那么利用部分分式有所以单位脉冲响应为13、题13图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当 时，求系统单位脉冲响应,画出系统零极点图和频率响应曲线。题13图解：假设加法器的输出为，由系统的结构框图可知联立解得，即对差分方程两边进行z变换得因此系统函数为当 时，系统函数为它有一个零点，两个极点和，零极点图如题13解图(1)所示。由于系统是因果稳定系统，因此的收敛域为，那么单位脉冲响应为当系统是稳定系统时，频率响应就是在单位圆上的值，其幅频响应和相频响应如题13解图(2)(3)所示(1)(2) (3)题13解图14、已知一线性时不变离散系统，其激励和响应满足下列差分方程：（1）试画出该系统的结构框图。（2）求该系统的系统函数，并画出零极点图。（3）求系统的单位脉冲响应，并讨论系统的稳定性和因果性。解：(1) 系统的结构框图如题14解图(1)所示。题14解图(1)(2) 对差分方程两边进行z变换，得到因此系统函数为它的零点为，极点为。零极点图如题14解图(2)所示。题14解图(2)(3) 有一个极点，因此收敛域有两种情况：和。当收敛域为时，系统即不是因果的也不是稳定的，系统的单位脉冲响应为当收敛域为时，系统为稳定的因果系统，系统的单位脉冲响应为第三章习题解答1、设是一个周期连续时间信号，以采样频率对其进行采样，计算采样信号的离散傅里叶级数。解：中第一项的周期为，第二项的周期为，两项之和的周期是，可以写成用复指数表示，有利用复指数的周期性，有，那么可以表示成上式是DFS分解的形式所以，到的其它DFS系数等于0。2、求下列序列的N点DFT:(1) (2) (3) ，其中(4) (5) 其中(6) (7) (8) (9) (10) 解：(1) 由DFT的定义(2) 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义得到：另一种方法是利用DFT相当于在单位圆上作N点等间隔采样的结果这一定义来求解，由于所以。(3) 的DFT仍然可以直接由定义计算。这里采用第二种方法，DFT相当于在单位圆上作N点等间隔采样。由于，对在上采样，求得，(4) 由DFT的定义(5) 由DFT的定义从分子中提出复指数，从分母中提出复指数，则DFT可以写为(6) 由DFT的定义(7) 由DFT的定义(8) 由DFT的定义或 (9) 解法一： 由DFT的定义解法二：由DFT的共轭对称性求解，因为那么其中（第(8)小题中的信号），所以即 结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(10) 解法一：由DFT的定义解法二：由DFT的共轭对称性求解，因为其中（第(8)小题中的信号），所以3、已知，求其10点IDFT解：可以表示为写成这种形式以后，就可以很容易确定DFT反变换。由于一个单位脉冲序列的DFT变换为常数，同样，一个常数的DFT变换是一个单位脉冲序列，所以4、计算序列的N点DFT：比较与时DFT系数的值，解释有什么不同。解：如果用复指数表示这个余弦序列，就很容易计算该序列的N点DFT：分别计算每一项的DFT，可以得到当时，由于第一项是频率的复指数和，只有当时和为N，为其它值时和为0。同样，对于第二项，只有当时和为N，为其它值时和为0。因此，若，DFT系数为一般情况下，当时，分子、分母中分别提出一个复指数，那么对于每一个来说，除非是的整数倍，否则一般情况下是非零值。造成这两种区别的原因在于相当于是对的DTFT进行采样的结果。在区间内进行N点等间隔采样时，一般情况下采样值非零，但是当时，除了和两点，其余的采样点都在正弦函数的过零点上。5、两个长度为N的序列、的N点圆周卷积可以用矩阵的形式表示如下其中，H是一个的循环矩阵，和是矢量，分别包含信号值和。确定矩阵的形式。解：与的圆周卷积为=具体地，是与圆周时间翻转序列乘积的和接下来，对于，将圆周右移1位，再与序列值相乘继续这个过程直到得到最后一个值，如果我们将这些等式安排成矩阵的形式，就有注意矩阵H的第二行由第一行圆周右移1位得到，这个移位相当于是序列的圆周移位。同样，第三行是第二行右移一位得到，以此类推。由于这个循环性质，H就称为循环矩阵。6、设令,试求与的周期卷积并作图。解：可以用列表法求解，在一个周期内和如题6解表所示，题6解表1234500011110141001111122100111103110011841110016511110010只要将表中对应于某个的一行中的值和第一行中与之对应的值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此的值。如题6解图所示。题6解图7、已知为，试画出，等各序列。解：此题需注意周期延拓的数值，也就是中N的数值。如果N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列按N为周期进行周期延拓，混叠相加形成新序列。各序列如题7解图所示。题7解图8已知两个有限长序列为试用作图表示以及。解：直接利用圆周卷积公式求解，结果如题8解图所示。题8解图9、已知是N点有限长序列，。现将长度变成点的有限长序列试求点与的关系。解：由于可得当为的整数倍时，与相等。10、已知是N点的有限长序列，现将的每两点之间补进个零值点，得到一个点的有限长序列试求点与的关系。解：由于可得所以是将（周期为N）延拓次形成的，即周期为。11、频谱分析的模拟信号以被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明。解：利用频域抽样间隔和时域抽样频率以及抽样点数N的关系。由， 得其中是以角频率为变量的频谱的周期，是频谱抽样之间的频谱间隔。又则对于本题有所以12、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力，如果采用的抽样时间间隔为，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。解：抽样间隔和抽样频率满足，记录长度和频域分辨力的关系为，抽样定理为（为信号最高频率分量），一个记录中最少的抽样总数满足(1) 因为，而，所以即最小记录长度为。(2) 因为，而所以即允许处理的信号的最高频率为。(3) ，又因必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数为。13、设为存在傅里叶变换的任意序列，其z变换为，是对在单位圆上的点等间隔采样，即， 求的点离散傅里叶逆变换（记为）与的关系式。解：由题意知， 即是对在上的点等间隔采样。由于是以为周期的，所以采样序列即以为周期。所以它必然与一周期序列相对应，为的DFS系数。根据与的关系只要求出与之间的关系式，则与之间的关系式就得了。由DFS展开公式有为了导出与之间的关系，应将上式中的用表示：所以因为所以即是的周期延拓序列，由此可得出为的周期延拓序列（以为延拓周期）的主值序列。14、用DFT对模拟信号进行谱分析，设模拟信号的最高频率为，以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列，要求频率分辨率为。假设模拟信号频谱如题14图所示，试画出和的谱线图，并标出每个值对应数字频率和模拟频率的值。题14图 模拟信号的频谱图解：因为最高频率，频率分辨率，所以采样频率为，观察时间采样点数所以，对进行采样得及分别如题14解图所示。当时，对应，由可求得；当时，对应的数字频率。与的对应关系（由题14图和题14解图(2)可看出）为 题14解图(1) 题14解图(2)该题主要说明了模拟信号的时域采样序列的点离散傅里叶变换与的频谱之间的对应关系。只有搞清该关系，才能由看出的频谱特征。否则，即使计算出，也搞不清的第条谱线对应于的什么频率点的采样，这样就达不到谱分析目的。实际中，求出后，也可以将横坐标换算成模拟频率，换算公式为，直接作出谱线图。15、已知下列，求。（1）（2）其中，为正整数，为变换区间长度。解：（1）由IDFT的定义，(2) 由IDFT的定义，16、证明DFT的对称定理，即假设证明。证明：因为所以由于所以17、如果，证明DFT的初值定理证明：由IDFT的定义，可知第四章习题解答1、如果一台通用计算机平均每次复数乘法的时间为，每次复数加需要，用它来计算1024点的，请问直接计算DFT需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？解：(1) 直接计算复乘所需时间复加所需时间所以 (2) 利用FFT计算复乘所需时间复加所需时间所以 2、如果采用某种专用DSP芯片进行DFT运算，计算一次复数乘法的时间为左右，计算一次复数加法的时间为。用它来计算1024点的，请问直接计算DFT需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？解：直接计算1024点DFT所需计算时间为：用FFT计算1024点DFT所需计算时间为3、设是长度为的有限长实序列，为的点DFT。(1) 试设计用一次点FFT完成计算的高效算法。(2) 若已知，试设计用一次N点IFFT实现求的点IDFT运算。分析与提示：本题的解题思路就是DIT-FFT思想。解 (1) 在时域分别抽取偶数点和奇数点得到两个N点实序列和 根据DIT-FFT的思想，只要求得和的N点DFT，再经过简单的一级蝶形运算就可得到的点DFT。因为和均为实序列，所以根据DFT的共轭对称性，可用一次N点FFT求得和。具体方法如下：令 则点可由和得到这样，通过一次N点IFFT计算就完成了计算点DFT。当然还要进行运算量相对很少的，由求和的运算。(2)与(1)相同，设则应满足关系式由上式可解出由以上分析可得出运算过程如下：由计算出和由和构成N点频域序列其中，进行N点IFFT得到 由DFT的共轭对称性知由和合成在编程序实现时，只要将存放和的两个数组的元素分别依次放入存放的数组的偶数和奇数数组元素中即可。4、时，画出基-2按时间抽选方法及按频率抽选法的FFT流图（时间抽选采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽选采用输入自然顺序，输出倒位序）。分析与提示：DIF的复数乘法出现在减法之后；DIT的复数乘法出现在加法、减法之前，它们的基本碟形是互为转置的。解： (1) 按时间抽选，见题4解图(1)。 (2) 按频率抽选，见题4解图(2)。题4解图(1)题4解图(2)5、一个长度为的复序列与一个长度为的复序列卷积。(a) 求直接进行卷积所需（复）乘法次数。(b) 若用1024点基2按时间抽选FFT重叠相加法计算卷积，重复问题(a)。解：(a) 若长为，长为，则直接进行卷积所需复乘数为(b) 用1024点FFT的重叠相加法，乘法数如下：由于长度为512点，可以将分成长度为的序列，这样与1024点的圆周卷积与线性卷积与线性卷积相等（虽然可以将分段的长度定为513，但这样不会节约任何计算量）。的长度为8192，这就意味着将会有16个长度为512点的序列。所以为了进行卷积，必须计算17个DFT变换与16个DFT反变换。另外，必须形成。这样，全部的复乘次数大约为：大约是直接进行卷积所需复乘次数的。6、以采样率对语音信号进行采样，并对其实时处理，所需的部分运算包括采集1024点语音值块、计算一个1024点的DFT变换和一个1024点的DFT反变换。若每一次实乘所需时间为，那么计算DFT变换和DFT反变换后还剩下多少时间用来处理数据？解:对于的采样率，每就要采集一个1024点的数据块。若用基-2FFT，1024点DFT的复乘数大约为。由于一次复乘包括4次实乘，这就意味着DFT或反DFT都需要进行次实乘。一次实乘需，就要用时间：这样只剩下用来进行其他的处理。7、对一个连续时间信号采样得到一个4096个采样点的序列：(a) 若采样后没有发生频谱混叠，的最高频率是多少？(b) 若计算采样信号的4096点DFT，DFT系数之间的频率间隔是多少？(c) 假定我们仅仅对频率范围所对应的DFT采样点感兴趣，若直接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽选FFT则需要多少次？(d) 为了使FFT算法比直接计算DFT效率更高，需要多少个频率采样点？解：(a) 在内采样4096点意味着采样频率是。若对采样后没有发生频谱混叠，采样频率必须至少是最高频率的两倍。所以的最高频率为。(b) 对于4096点DFT，我们在0到内对等间隔采样4096点，相当于在范围内采样4096点。所以频率间隔是。(c) 在200Hz到300频率范围内有101个DFT采样点。因为计算每一个DFT系数需要4096次复乘，那么仅仅计算这些频率采样点所需的乘法次数为另一方面，若采用FFT，则所需的乘法次数为所以，即使FFT计算了范围内所有频率采样点，但仍然比直接计算这101个采样点效率高。(d) 一个N点FFT需要次复乘，直接计算M个DFT需要次复乘。 或 求M个采样点时FFT就会更有效。时，频率采样点数为。8、设是长度为N的序列，且其中N是偶数。(a) 证明的N点DFT仅有奇次谐波，即为偶数(b) 证明如何由一个经过适当调整的序列的N/2点DFT求得的N点DFT。解:(a) 的N点DFT为由于，若为偶数，求和式中的每一项都是0，所以，。(b) 在按频率抽选FFT算法的第一阶段，我们分别计算的偶数项和奇数项。如果仅有奇次谐波，偶数项样点为0，那我们就只需要计算那些奇数项样点。奇数项样点为根据，上式变为这是序列的N/2点DFT。所以，为了求的N点DFT，将的前N/2点乘以， ()然后计算的N/2点DFT。的N/2点DFT为 第五章习题解答1、用直接I型及直接型结构实现以下系统函数解：因为，所以， ，直接I型及直接型结构图如题1解图(1)、(2)所示 题1解图(1) 题1解图(2)2、用级联型结构实现以下系统函数：试问一共能构成几种级联型网络？解： 因为。，由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶(一阶)基本节的方式，则有四种级联实现形式。3、给出以下系统函数的并联型实现：解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：， 的并联结构如题3解图所示。题3解图4、已知滤波器的系统函数为：(1) 写出系统函数对应的差分方程。(2) 试画出此FIR系统的横截型结构。(3) 试画出此FIR系统的级联式结构。解：(1) 由已知得：所以对应的差分方程：，则：(2) FIR系统的横截型结构如题4解图(1)题4解图(1)(3) FIR级联型结构的模型公式为：根据 对照上式可得此题的参数为：FIR级联型结构如题4解图(2)题4解图(2)5、已知FIR滤波器的单位脉冲响应为试画出其级联型结构实现。解：根据得：而FIR级联型结构的模型公式为：对照上式可得此题的参数为： ，根据上面的讨论可以画出FIR级联型结构，如题5解图所示。题5解图6 用频率抽样结构实现以下系统函数： 抽样点数N=6，修正半径。解：因为N=6，所以根据公式可得：故 因而，则：的频率采样结构如题6解图所示。题6解图7、设某FIR数字滤波器的系统函数为：试画出此滤波器的线性相位结构。解：由题中所给条件，得 即h(n)偶对称，对称中心在处，N为奇数(N=5)。8、设滤波器差分方程为：(1) 试用直接I型、直接型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方程。(2) 求系统的频率响应（幅度及相位）。(3) 设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5，频率为1kHz，试求稳态输出。解：(1)直接I型及直接型：根据可得：；一阶节级联型：一阶节并联型： 根据以上分析，可分别画出直接I型、直接型、一阶节级联型和一阶节并联型结构，分别如题8解图(1)(4)所示。 题8解图(1) 题8解图(2)题8解图(3) 题8解图(4) (2)由题意可知幅度为：相位为：(3)输入正弦波为：由可得，周期抽样频率为10kHz，即抽样周期为：因为在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为由此看出，根据公式可得此稳态输出为：第六章习题解答1、已知模拟滤波器的传递函数为，设采样周期，试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别设计数字滤波器，求系统函数。解: (1) 由脉冲响应不变法可得： (2) 由双线性变换法 及可得：2、模拟低通滤波器的系统函数为，抽样周期T=0.5。试用脉冲响应不变法将其转变为数字滤波器的传递函数H(z)。解：由脉冲响应不变法，将展开成部分分式其中： 因此 有2个实极点，映射到z平面极点为，则数字滤波器的系统函数为，将T=0.5代入到表达式中，得到下面的表达式：3、写出模拟滤波器由双线性变换法设计数字滤波器时，s平面与z平面之间进行映射的表达式；若所要设计的数字低通滤波器3dB截止频率为c，抽样周期为T，写出对应的模拟原型滤波器的截止频率c表达式。解：首先给出s平面与z平面间进行映射的表达式 模拟原型滤波器的截止频率c表达式 4、已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化的中的变量用来代替设系统抽样频率为，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用脉冲响应不变法。解:模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：由于，故则利用以下z变换关系：， ， 且代入a = 222.14415，可得阶跃响应的z变换由此可得数字低通滤波器的系统函数为：5、设有一模拟滤波器，抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数。解：由变换公式及可得：T=2时：6、要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样频率为1kHz。解：归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为将代入，得出截止频率是的模拟原型为由双线性变换公式可得 7、已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法？试画出这些方法的结构表示图并注明其变换方法。解：设计各类型数字滤波器方法的结构表示图如题7解图(1)、(2)、(3)所示。模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟归一化原型 模拟模拟 频带变换 数字化题7解图(1) 先模拟频带变换，再数字化数字低通、高通、带通、带阻模拟归一化原型 题7解图(2) 把(1)的两步合成一步直接设计数字低通数字低通、高通、带通、带阻模拟归一化原型 数字数字 数字化 频带变换 题7解图(3) 先数字化，再进行数字频带变换8、用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字带通滤波器，抽样频率为，上、下边带截止频率分别为，。解：由模拟低通数字带通的转换公式为。首先求出上、下边带截止频率和。， 取归一化原型，则有：查表得三阶归一化巴特沃思低通滤波器的系统函数为：其中代入后整理可得：将分母中的系数归一化，可得：9、设计一个二阶巴特沃思带阻数字滤波器，其阻带3dB的边带频率分别为40kHz，20kHz，抽样频率。解：由于设计的是二阶数字带阻滤波器，故原型低通应是一阶的，一阶巴特沃思归一化原型低通滤波器的系统函数可以查表求得其3dB截止频率，则低通变到带阻的变换中所需常数分别为根据变换公式，将的表达式代入，并代入、，可得数字带阻滤波器系统函数H(z)为：10、用双线性变换法设计一个三阶切比雪夫数字高通滤波器，抽样频率为，截止频率为。(不计4kHz以上的频率分量)分析与提示：同样利用归一化原型低通滤波器作为样本，一步变换成数字高通滤波器。变换关系为：，解：不妨用的三阶切比雪夫低通系统函数，查表：又 ，而由变换关系式 ，可得到数字高通滤波器的系统函数为化简后可得第七章习题解答1、用矩形窗设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已知。求出并画出曲线。解：其中：将数据代入，的表达式为故 曲线如题1解图所示。题1解图2、用三角形窗设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已知：，。求出并画出的曲线。解：由题意可知：因为用三角形窗设计：曲线如题2解图所示。题2解图3、用汉宁窗设计一个线性相位高通滤波器求出的表达式，确定与N的关系。并画出曲线。解：由题意可知， 按照线性相位滤波器条件有：代入整理曲线如题3解图所示。题3解图4、用汉明窗设计一个线性相位带通滤波器，求出的表达式并画出曲线。(设)解：可求得此滤波器的时域函数为， 采用汉明窗设计时：其中，所以曲线如题4解图所示。题4解图5、试用频率抽样法设计一个FIR线性相位数字低通滤波器。已知。解：根据题意有，则有 第一类FIR数字滤波器的相位特性为综合幅度和相位，FIR数字滤波器的离散频率抽样值所以6、如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为：(1)试证明一个线性相位带阻滤波器可以表示成(2)试用带通滤波器的单位脉冲响应来表达带阻滤波器的单位脉冲响应。解：(1) 证明：由于，且又是一线性相位带通滤波器，则：又因为，且是线性相位，因而所以带阻滤波器可以表示成：(2) 由题意可得，(I) (II) 当有7、请选择合适的窗函数及N来设计一个线性相位低通滤波器 要求其最小阻带衰减为-45dB，过渡带宽为。(1) 求出并画出曲线。(设)(2) 保留原有轨迹，画出用另几个窗函数设计时的的曲线。解：(1