高中数学 第一章 三角函数 1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式课件1 北师大版必修4.ppt

1 4 4单位圆的对称性与诱导公式 在上几节课中 我们已经学习了任意角的正弦函数的定义 以及终边相同的角的正弦函数值相等 即sin 2k sin k z 通过这个公式能把任意角的正弦函数值转化为求0 360 的角的正弦函数值吗 如果能的话 那么任意角的三角函数求值 都可以转化为锐角三角函数求值 并通过查表方法而得到最终解决 本课就来讨论这一问题 1 理解正弦函数 余弦函数的诱导公式的推导过程 重点 2 能了解诱导公式之间的关系 能相互推导 重点 3 能利用诱导公式解决化简 求值等问题 难点 探究点1角 与角 的正弦函数 余弦函数关系思考1 对于任意给定的一个角 的终边与 的终边有什么关系 关键看两角的对称关系 思考2 设角 的终边与单位圆交于点p x y 则 的终边与单位圆的交点坐标如何 p x y p x y 提示 如图 的终边与单位圆的交点坐标为p x y 公式 思考3 根据三角函数的定义 的正弦函数 余弦函数与 的正弦函数 余弦函数有什么关系 y 的终边 x o p x y p x y 结论 正弦函数y sinx是奇函数 余弦函数y cosx是偶函数 探究点2角 与角 的正弦函数 余弦函数关系思考1 对于任意给定的一个角 角 的终边与角 的终边有什么关系 提示 如图 角 的终边与角 的终边关于原点对称 思考2 设角 的终边与单位圆交于点p x y 则角 的终边与单位圆的交点坐标如何 q x y 提示 坐标互为相反数 思考3 根据三角函数定义 sin cos 的值分别是什么 sin y cos x 思考1 利用 结合上述公式 你能得到什么结论 探究点3角 与 的正弦函数 余弦函数关系 这两个公式也可以由前两组公式推出 提示 的三角函数值 等于 的同名函数值 再放上原函数的象限符号 简化成 函数名不变 符号看象限 的口诀 思考2 以上公式都叫作诱导公式 它们分别反映了 的三角函数与 的三角函数之间的关系 你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗 诱导公式作用 转化为0 90 的角 1 终边相同的角的同一个三角函数值相等 2 若角 与角 的终边关于y轴对称 必有 成立 3 已知a b c是三角形abc的三个内角 则cos a b cosc 即时训练 判断 解 1 结合三角函数线可知 终边相同 三角函数值相等 2 当角 与 终边关于y轴对称时 那么角 与 终边相同 故应有 2k k z 所以结论错误 3 在 abc中 a b c 所以cos a b cos c cosc 结论正确 例1求下列各角的三角函数值 解 一般步骤 变号转化求值 探究点4角 与的正弦函数 余弦函数关系 如图 利用单位圆作出任意锐角 与单位圆相交于点角的终边与单位圆交于点p 由平面几何知识可知 思考 如何得到下列两个等式 以上两组诱导公式口诀 函数名改变 符号看象限 提示 对于任意角 下列关系式成立 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 1 13 1 14 公式1 8 1 14叫作正弦函数 余弦函数的诱导公式 任意负角的正弦函数 余弦函数 任意正角的正弦函数 余弦函数 0 2角的正弦函数 余弦函数 锐角的正弦函数 余弦函数 用公式1 8或1 9 用公式1 8 用公式1 10 1 14 例2求下列函数值 例3化简 解 原式 变式练习 1 求下列三角函数值 2 求sin 60 cos120 sin390 cos210 解 sin 60 cos120 sin390 cos210 sin60 cos 180 60 sin 360 30 cos 180 30 sin60 cos60 sin30 cos30 3 已知cos 且 是第二象限角 求sin 的值 解 因为 是第二象限角 所以 特别提醒 解答这类给值求值的问题 首先应把所给的值进行化简 再结合被求值的式子的特点 观察所给值的式子与被求式的特点 找出它们之间的内在联系 特别是角之间的关系 恰当地选择诱导公式 4 化简 解题关键 1440 4 360 1080 3 360 解析 1 原式 1 5 已知 为第三象限角 f 1 化简f 2 若求f 的值 解 f 因为 cos 所以即 特别提醒 化简三角函数式的策略 1 化简时要使函数类型尽量少 角的弧度数 或角度数 的绝对值尽量小 特殊角的正弦 余弦函数要求出值 2 要认真观察有关角之间的关系 根据需要合理选择诱导公式变角 正弦函数和余弦函