二次函数知识点及对应习题.doc

知识点一、描点法画二次函数画函数图像的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线例题：1、画出二次函数y=2 x的图象解：列表 xy 描点 2、画出二次函数y= 2x的图象解：列表 xy 描点3、画出一次函数y=2x+1的图象？解（1）列表xy（2）描点 （3）连线 4、画出一次函数y=2x-1的图象？解（1）列表xy（2）描点（3）连线 5、画出一次函数y= 的图象？解（1）列表xy（2）描点 （3）连线 6、已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S4 cm2 7、某广场喷泉的喷嘴安装在平地上，有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出水流的高度y(m)与喷出水流距喷嘴的水平距离x(m)间满足y0.5x22x(1)画出该函数的图象(2) 判断喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？喷嘴喷出水流的最远距离是多少？知识点二、二次函数的图像与性质（1）抛物线 与 的联系：当时,抛物线向上平移个单位得到抛物线;当时, 抛物线向下平移个单位得到抛物线.抛物线 与 的联系：当时,抛物线向左平移个单位得到抛物线;当时,抛物线向右平移个单位得到抛物线; 开口方向对称轴顶点坐标最值增减性向上直线当 时，当 时，函数值随的增大而减小；当0时，函数值随的增大而增大向下当 时， 当 时，函数值随的增大而增大；当 时，函数值随的增大而减少（2）二次函数 (、是常数，)图象的开口方向、对称轴、增减性。例题：1、 由函数的性质，得到函数+1的一些性质：当_时，函数值随的增大而减小；当_时，函数值随的增大而增大，当_时，函数取得最_值，最_值_2、 在同一直角坐标系中。函数的图象与函数的图象有什么关系?写出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?以及这个函数有哪些性质？3、 将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为_ _4、要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须 （ ）A向上平移1个单位； B向下平移1个单位；C向左平移1个单位； D向右平移1个单位5、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是轴，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。6、二次函数的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根（2）为何值时,?（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围7、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标知识点三、配方法确定二次函数的图像与性质(最值问题)（1）二次函数配方法：将转化为形式；（2）确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标，利用配方得到其中对称轴为直线，顶点为。例题：1、二次函数y3x26x3图象的对称轴是 （ ）A直线x1B直线x1C直线x2D直线x22、二次函数yx22x3图象的顶点坐标是 （ ）A(1，4)B(1，4)C(1，4)D(1，4)3、列抛物线，对称轴是直线的是（）（A） （B） （C） （D）用配方法4、抛物线的顶点在 （ ）()第一象限() 第二象限() 第三象限() 第四象限5、对下列二次函数进行配方并写出其对称轴与顶点坐标：（1） （2）yx23x56、对下列二次函数进行配方：（1）（2） （3） 7、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为30,物价部门规定其销售单价不得高于70,也不得低于30,市场调查发现:单价定于70元时,日均销售60kg,单价每降低1元,日均多售出2kg,在销售过程每天还要支出其它费用500元,（不足一天时,按整天计算）,设销售单价为x元,日均获利为y元，（1） 求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围。（2） 将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x）2的形式，写出顶点坐标，画出草图，观察图像，指出单价定为多少时日均获利最多，是多少？（3） 将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪一种获总利最多，多多少？知识点四、二次函数系数与图像的关系抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：左同右异时，对称轴为轴；(即、同号)时,对称轴在轴左侧；(即、异号)时,对称轴在轴右侧., (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 a,b异号例题：1、已知二次函数 的图像如图，则a、b、c满足（）yxOAa 0，b 0 ；Ba 0，b 0，c 0 ；Ca 0，c 0 ；Da 0，b 0 ；2、函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是 （ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x （A） （B） （C） （D）3、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为 （ ）OxyOxyOxyOxyABCD 4、如果以y轴为对称轴的抛物线的图象，如图，则代数式与0的关系 （ ）（A） （B） （C） （D）不能确定5、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有 （ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且1x2，与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的下方，下列结论：ab0；4a+c0，其中正确的结论的个数为 （ ） A1个 B2个 C3个 D4个xOy7、二次函数的图像如图，为该函数图像的对称轴，根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可) 知识点五、二次函数解析式求法二次函数的解析式分成三种情况:(1)一般式:(a ，b ， c时常数，且a0)，(2)顶点式： 或 顶点坐标为(3)交点式： (是抛物线与x轴两个交点的横坐标)例题：1、二次函数的图像经过(0，3)，(1，4)，(3，0)，求二次函数的表达式2、二次函数的图像以点(2，3)为顶点，并过点(3，1)，求二次函数的解析式3、二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为3，-1，且经过点，求二次函数的解析式4、二次函数的图像与x轴的交点的横坐标分别为 -1、3，且经过点(1，-5)，求二次函数的关系式5、如图，抛物线的函数表达式是 （ ）ABCD6、已知抛物线经过点A、B、C三点，当时，其图象如图所示，求抛物线的解析式，些出抛物线的顶点坐标。7、如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像的顶点C为(2，-1)，且在x轴上截得的线段AB的长为2(1)求证：ACB是等腰直角三角形(2)求二次函数的解析式知识点六、二次函数图像与一元二次方程、一次函数、反比例函数、不等式的关系从二次函数的图像可以判断一元二次方程解的情况，而从一元二次方程解的情况可以判断二次函数图像与x轴交点的个数，（）中二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解。利用图像直接求解一元二次不等式.根据图像直接写出不等式的解.例题：1、画出函数的图像，求一元二次方程的解2、判断二次函数、与x轴有几个交点。3、根据二次函数（，、为常数）得到一系列对应值，列表如下：2.22.32.42.50.760.110.561.25判断一元二次方程的一个解的范围是 （ ） （A） （B） （C） （D）4、画出函数的图象，根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y0？这里x的取值与方程x2x0有什么关系?（3）你能从中得到什么启发?5、已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则关于x的方程的根的情况是 （ ）（A）有两个正根 （B）有两个负数根 （C）有一正根和一个负根 （D）无实根6、已知二次函数图象的顶点是，且过点（1）求二次函数的表达式，并中画出它的图象；（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数图象上.7、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：图9（1）写出方程的两个根（2）写出不等式的解集（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围知识点七、二次函数的综合应用1.已知抛物线y=x2-6xm与x轴有两个不同的交点A和B，以AB为直径作C，(1)求圆心C的坐标(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由2.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图，求抛物线的函数表达式（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点若，求点的坐标（4）请在图上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师图11图11图113.某旅游胜地欲开发一座景观山从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）已知AB所在抛物线的解析式为yx28，BC所在抛物线的解析式为y(x8)2，且已知B（m，4）（1）设P（x，y）是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；这种台阶不能一起铺到山脚，为什么？（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站索道站的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE1600（米）假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y(x16)2试求索道的最大悬空高度 4.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与