圆幂定理讲义(带答案)

1 30 圆幂定理圆幂定理 STEP 1 进门考进门考 理念 理念 1 检测垂径定理的基本知识点与题型 2 垂径定理典型例题的回顾检测 3 分析学生圆部分的薄弱环节 1 例题复习 1 2015 夏津县一模 一副量角器与一块含 30 锐角的三角板如图所示放 置 三角板的直角顶点 C 落在量角器的直径 MN 上 顶点 A B 恰好都落在量 角器的圆弧上 且 AB MN 若 AB 8cm 则量角器的直径 MN cm 考点 M3 垂径定理的应用 KQ 勾股定理 T7 解直角三角形 分析 作 CD AB 于点 D 取圆心 O 连接 OA 作 OE AB 于点 E 首先求得 CD 的 长 即 OE 的长 在直角 AOE 中 利用勾股定理求得半径 OA 的长 则 MN 即可求解 解答 解 作 CD AB 于点 D 取圆心 O 连接 OA 作 OE AB 于点 E 在直角 ABC 中 A 30 则 BC AB 4cm 在直角 BCD 中 B 90 A 60 CD BC sinB 4 2 cm OE CD 2 在 AOE 中 AE AB 4cm 则 OA 2 cm 则 MN 2OA 4 cm 故答案是 故答案是 4 2 30 点评 本题考查了垂径定理的应用 在半径或直径 弦长以及弦心距之间的计算中 常 用的方法是转化为解直角三角形 3 30 2 2017 阿坝州 如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后 圆弧恰好经过 圆心 O 则折痕 AB 的长为 A 2cm B cmC 2cm D 2cm 考点 M2 垂径定理 PB 翻折变换 折叠问题 分析 通过作辅助线 过点 O 作 OD AB 交 AB 于点 D 根据折叠的性质可知 OA 2OD 根据勾股定理可将 AD 的长求出 通过垂径定理可求出 AB 的长 解答 解 过点 O 作 OD AB 交 AB 于点 D 连接 OA OA 2OD 2cm AD cm OD AB AB 2AD 2cm 故选 故选 D 点评 本题考查了垂径定理和勾股定理的运用 正确应用勾股定理是解题关键 3 2014 泸州 如图 在平面直角坐标系中 P 的圆心坐标是 3 a a 3 半径为 3 函数 y x 的图象被 P 截得的弦 AB 的长为 则 a 的 值是 4 30 A 4 B C D 考点 M2 垂径定理 F8 一次函数图象上点的坐标特征 KQ 勾股定理 专题 11 计算题 16 压轴题 分析 PC x 轴于 C 交 AB 于 D 作 PE AB 于 E 连结 PB 由于 OC 3 PC a 易 得 D 点坐标为 3 3 则 OCD 为等腰直角三角形 PED 也为等腰直角三角形 由 PE AB 根据垂径定理得 AE BE AB 2 在 Rt PBE 中 利用勾股定理可计算出 PE 1 则 PD PE 所以 a 3 解答 解 作 PC x 轴于 C 交 AB 于 D 作 PE AB 于 E 连结 PB 如图 P 的圆心坐标是 3 a OC 3 PC a 把 x 3 代入 y x 得 y 3 D 点坐标为 3 3 CD 3 OCD 为等腰直角三角形 PED 也为等腰直角三角形 PE AB AE BE AB 4 2 在 Rt PBE 中 PB 3 PE PD PE a 3 故选 故选 B 点评 本题考查了垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条 5 30 弧 也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质 4 2013 内江 在平面直角坐标系 xOy 中 以原点 O 为圆心的圆过点 A 13 0 直线 y kx 3k 4 与 O 交于 B C 两点 则弦 BC 的长的最小值 为 考点 FI 一次函数综合题 专题 16 压轴题 分析 根据直线 y kx 3k 4 必过点 D 3 4 求出最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直 径垂直的弦 再求出 OD 的长 再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A 13 0 求出 OB 的 长 再利用勾股定理求出 BD 即可得出答案 解答 解 直线 y kx 3k 4 k x 3 4 k x 3 y 4 k 有无数个值 x 3 0 y 4 0 解得 x 3 y 4 直线必过点 D 3 4 最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦 点 D 的坐标是 3 4 OD 5 以原点 O 为圆心的圆过点 A 13 0 圆的半径为 13 OB 13 BD 12 BC 的长的最小值为 24 故答案为 故答案为 24 点评 此题考查了一次函数的综合 用到的知识点是垂径定理 勾股定理 圆的有关性 质 关键是求出 BC 最短时的位置 6 30 STEP 2 新课讲解新课讲解 1 熟练掌握圆幂定理的基本概念 2 熟悉有关圆幂定理的相关题型 出题形式与解题思路 3 能够用自己的话叙述圆幂定理的概念 4 通过课上例题 结合课下练习 掌握此部分的知识 1 相交弦定理相交弦定理 相交弦定理相交弦定理 1 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 经过圆内 一点引两条线 各弦被这点所分成的两段的积相等 几何语言 若弦 AB CD 交于点 P 则 PA PB PC PD 相交弦定理 2 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项 几何语言 若 AB 是直径 CD 垂直 AB 于点 P 则 PC2 PA PB 相交弦定理推论 基本题型 例 1 2014 秋 江阴市期中 如图 O 的弦 AB CD 相交于点 P 若 AP 3 BP 4 CP 2 则 CD 长为 7 30 A 6B 12C 8D 不能确定 考点 M7 相交弦定理 专题 11 计算题 分析 由相交线定理可得出 AP BP CP DP 再根据 AP 3 BP 4 CP 2 可得出 PD 的 长 从而得出 CD 即可 解答 解 AP BP CP DP PD AP 3 BP 4 CP 2 PD 6 CD PC PD 2 6 8 故选 C 点评 本题考查了相交线定理 圆内两条弦相交 被交点分成的两条线段的积相等 练习 1 2015 南长区一模 如图 矩形 ABCD 为 O 的内接四边形 AB 2 BC 3 点 E 为 BC 上一点 且 BE 1 延长 AE 交 O 于点 F 则 线段 AF 的长为 A B 5C 1D 8 30 考点 M7 相交弦定理 分析 由矩形的性质和勾股定理求出 AE 再由相交弦定理求出 EF 即可得出 AF 的 长 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 B 90 AE BC 3 BE 1 CE 2 由相交弦定理得 AE EF BE CE EF AF AE EF 故选 A 点评 本题考查了矩形的性质 勾股定理 相交弦定理 熟练掌握矩形的性质和相交弦 定理 并能进行推理计算是解决问题的关键 综合题型 例 2 2004 福州 如图 AB 是 O 的直径 M 是 O 上一点 MN AB 垂足为 N P Q 分别是 上一点 不与端点重合 如果 MNP MNQ 下面结论 1 2 P Q 180 Q PMN PM QM MN2 PN QN 其中正确的是 A B C D 9 30 考点 M7 相交弦定理 M2 垂径定理 M4 圆心角 弧 弦的关系 M5 圆周角 定理 S9 相似三角形的判定与性质 专题 16 压轴题 分析 根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析 从而得到答案 解答 解 延长 MN 交圆于点 W 延长 QN 交圆于点 E 延长 PN 交圆于点 F 连接 PE QF PNM QNM MN AB 1 2 故 正确 2 与 ANE 是对顶角 1 ANE AB 是直径 可得 PN EN 同理 NQ NF 点 N 是 MW 的中点 MN NW MN2 PN NF EN NQ PN QN 故 正确 MN NQ PN MN PNM QNM NPM NMQ Q PMN 故 正确 故选 B 点评 本题利用了相交弦定理 相似三角形的判定和性质 垂径定理求解 与代数结合的综合题 例 3 2016 中山市模拟 如图 正方形 ABCD 内接于 O 点 P 在劣弧 10 30 AB 上 连接 DP 交 AC 于点 Q 若 QP QO 则的值为 A B C D 考点 M7 相交弦定理 KQ 勾股定理 专题 11 计算题 分析 设 O 的半径为 r QO m 则 QP m QC r m QA r m 利用相交弦定理 求 出 m 与 r 的关系 即用 r 表示出 m 即可表示出所求比值 解答 解 如图 设 O 的半径为 r QO m 则 QP m QC r m QA r m 在 O 中 根据相交弦定理 得 QA QC QP QD 即 r m r m m QD 所以 QD 连接 DO 由勾股定理 得 QD2 DO2 QO2 即 解得 所以 故选 D 11 30 点评 本题考查了相交弦定理 即 圆内两弦相交于圆内一点 各弦被这点所分得的两线 段的长的乘积相等 熟记并灵活应用定理是解题的关键 需要做辅助线的综合题 例 4 2008 秋 苏州期末 如图 O 过 M 点 M 交 O 于 A 延长 O 的直径 AB 交 M 于 C 若 AB 8 BC 1 则 AM 考点 M7 相交弦定理 KQ 勾股定理 M5 圆周角定理 分析 根据相交弦定理可证 AB BC EB BF EM MB MF MB AM2 MB2 8 又 由直径对的圆周角是直角 用勾股定理即可求解 AM 6 解答 解 作过点 M B 的直径 EF 交圆于点 E F 则 EM MA MF 由相交弦定理知 AB BC EB BF EM MB MF MB AM2 MB2 8 AB 是圆 O 的直径 AMB 90 由勾股定理得 AM2 MB2 AB2 64 AM 6 12 30 点评 本题利用了相交弦定理 直径对的圆周角是直角 勾股定理求解 2 割线定理割线定理 割线定理割线定理 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等 几何语言 PBA PDC 是 O 的割线 PD PC PA PB 割线定理 由上可知 PT2 PA PB PC PD 基本题型 例 5 1998 绍兴 如图 过点 P 作 O 的两条割线分别交 O 于点 A B 和点 C D 已知 PA 3 AB PC 2 则 PD 的长是 A 3B 7 5 C 5D 5 5 考点 MH 切割线定理 分析 由已知可得 PB 的长 再根据割线定理得 PA PB PC PD 即可求得 PD 的长 13 30 解答 解 PA 3 AB PC 2 PB 5 PA PB PC PD PD 7 5 故选 B 点评 主要是考查了割线定理的运用 练习 2 2003 天津 如图 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 以点 C 为圆心 CA 为半径的圆与 AB BC 分别交于点 D E 求 AB AD 的 长 考点 MH 切割线定理 KQ 勾股定理 分析 Rt ABC 中 由勾股定理可直接求得 AB 的长 延长 BC 交 C 于点 F 根据割线定理 得 BE BF BD BA 由此可求出 BD 的长 进而可 求得 AD 的长 解答 解 法 1 在 Rt ABC 中 AC 3 BC 4 根据勾股定理 得 AB 5 延长 BC 交 C 于点 F 则有 EC CF AC 3 C 的半径 BE BC EC 1 BF BC CF 7 由割线定理得 BE BF BD BA 于是 BD 14 30 所以 AD AB BD 法 2 过 C 作 CM AB 交 AB 于点 M 如图所示 由垂径定理可得 M 为 AD 的中点 S ABC AC BC AB CM 且 AC 3 BC 4 AB 5 CM 在 Rt ACM 中 根据勾股定理得 AC2 AM2 CM2 即 9 AM2 2 解得 AM AD 2AM 点评 此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用 综合题型 例 6 2015 武汉校级模拟 如图 两同心圆间的圆环的面积为 16 过 小圆上任意一点 P 作大圆的弦 AB 则 PA PB 的值是 15 30 A 16 B 16 C 4D 4 考点 MH 切割线定理 分析 过 P 点作大圆的直径 CD 如图 设大圆半径为 R 小圆半径为 r 根据相交弦定 理得到 PA PB OC OP OP OD R2 r2 再利用 R2 r2 16 得到 R2 r2 16 所以 PA PB 16 解答 解 过 P 点作大圆的直径 CD 如图 设大圆半径为 R 小圆半径为 r PA PB PC PD PA PB OC OP OP OD R r R r R2 r2 两同心圆间的圆环 即图中阴影部分 的面积为 16 R2 r2 16 R2 r2 16 PA PB 16 故选 A 16 30 点评 本题考查了垂径定理 平分弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 也 考查了相交弦定理 思考 观察讲义课后练习最后一道题 是否有思路 3 切割线定理切割线定理 切割线定理切割线定理 切割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 几何语言 PBA PDC 是 O 的割线 PD PC PA PB 割线定理 由上可知 PT2 PA PB PC PD 例 7 2013 长清区二模 如图 PA 为 O 的切线 A 为切点 O 的割 线 PBC 过点 O 与 O 分别交于 B C PA 8cm PB 4cm 求 O 的半 径 考点 MH 切割线定理 专题 11 计算题 分析 连接 OA 设 O 的半径为 rcm 由勾股定理 列式计算即可 解答 解 连接 OA 设 O 的半径为 rcm 2 分 则 r2 82 r 4 2 4 分 解得 r 6 O 的半径为 6cm 2 分 17 30 点评 本题考查的是切割线定理 勾股定理 是基础知识要熟练掌握 练习 3 2013 秋 东台市期中 如图 点 P 是 O 直径 AB 的延长线上一 点 PC 切 O 于点 C 已知 OB 3 PB 2 则 PC 等于 A 2B 3C 4D 5 考点 MH 切割线定理 专题 11 计算题 分析 根据题意可得出 PC2 PB PA 再由 OB 3 PB 2 则 PA 8 代入可求出 PC 解答 解 PC PB 分别为 O 的切线和割线 PC2 PB PA OB 3 PB 2 PA 8 PC2 PB PA 2 8 16 PC 4 故选 C 点评 本题考查了切割线定理 熟记切割线定理的公式 PC2 PB PA 4 切线长定理切线长定理 18 30 切割线定理切割线定理 1 圆的切线长定义 经过圆外一点作圆的切线 这点和切点之间的线段的长 叫做这 点到圆的切线长 2 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连 线 平分两条切线的夹角 3 注意 切线和切线长是两个不同的概念 切线是直线 不能度量 切线长是线段的 长 这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点 可以度量 4 切线长定理包含着一些隐含结论 垂直关系三处 全等关系三对 弧相等关系两对 在一些证明求解问题中经常用到 例 8 2015 秦皇岛校级模拟 如图 一圆内切四边形 ABCD 且 BC 10 AD 7 则四边形的周长为 A 32 B 34C 36D 38 考点 MG 切线长定理 分析 根据切线长定理 可以证明圆外切四边形的性质 圆外切四边形的两组对边和相 等 从而可求得四边形的周长 解答 解 由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等 所以四边形的周长 2 7 10 34 故选 B 点评 此题主要考查了切线长定理 熟悉圆外切四边形的性质 圆外切四边形的两组对 边和相等是解题关键 19 30 练习 4 2015 岳池县模拟 如图 PA PB 切 O 于 A B 两点 CD 切 O 于点 E 交 PA PB 于 C D 若 O 的半径为 r PCD 的周长为 3r 连接 OA OP 则的值是 A B C D 考点 MG 切线长定理 MC 切线的性质 分析 利用切线长定理得出 CA CF DF DB PA PB 进而得出 PA r 求出即可 解答 解 PA PB 切 O 于 A B 两点 CD 切 O 于点 E 交 PA PB 于 C D CA CF DF DB PA PB PC CF DF PD PA PB 2PA 3r PA r 则的值是 故选 D 点评 此题主要考查了切线长定理 得出 PA 的长是解题关键 例 9 2014 秋 夏津县校级期末 如图 P 为 O 外一点 PA PB 分别切 O 于 A B CD 切 O 于点 E 分别交 PA PB 于点 C D 若 PA 5 则 PCD 的周长和 COD 分别为 20 30 A 5 90 P B 7 90 C 10 90 PD 10 90 P 考点 MG 切线长定理 分析 根据切线长定理 即可得到 PA PB ED AD CE BC 从而求得三角形的周长 2PA 连接 OA OE OB 根据切线性质 P AOB 180 再根据 CD 为切线可知 COD AOB 解答 解 PA PB 切 O 于 A B CD 切 O 于 E PA PB 10 ED AD CE BC PCD 的周长 PD DE PC CE 2PA 即 PCD 的周长 2PA 10 如图 连接 OA OE OB 由切线性质得 OA PA OB PB OE CD DB DE AC CE AO OE OB 易证 AOC EOC SAS EOD BOD SAS AOC EOC EOD BOD COD AOB AOB 180 P COD 90 P 故选 C 21 30 点评 本题考查了切线的性质 运用切线的性质来进行计算或论证 常通过作辅助线连 接圆心和切点 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 是基础题型 5 圆幂定理圆幂定理 请尝试解出下列例题 例 10 2005 广州 如图 在直径为 6 的半圆上有两动点 M N 弦 AM BN 相交于点 P 则 AP AM BP BN 的值为 考点 M7 相交弦定理 KQ 勾股定理 M5 圆周角定理 专题 16 压轴题 25 动点型 分析 连接 AN BM 根据圆周角定理 由 AB 是直径 可证 AMB 90 由勾股定理 知 BP2 MP2 BM2 由相交弦定理知 AP PM BP PN 原式 AP AP PM BP BP PN AP2 AP PM BP2 BP PN AP2 BP2 2AP PM AP2 MP2 BM2 2AP PM AP2 AP PM 2 AP2 AM2 AB2 36 解答 解 连接 AN BM AB 是直径 AMB 90 BP2 MP2 BM2 AP PM BP PN 原式 AP AP PM BP BP PN AP2 AP PM BP2 BP PN AP2 BP2 2AP PM 22 30 AP2 MP2 BM2 2AP PM BM2 AP PM 2 BM2 AM2 AB2 36 点评 本题利用了圆周角定理和相交弦定理 勾股定理求解 以上四条定理统称为圆幂定理 部分参考书以前三条为圆幂定理 圆幂定理圆幂定理 过平面内任一点 P P 与圆心 O 不重合 做 O 的 切 割线 交 O 与点 A B 则恒有 被称为点 P 到 22 rOPPBPA 22 rOP O 的幂 STEP 3 落实巩固落实巩固 查漏补缺查漏补缺 理念 理念 找到自己本节课的薄弱环节 STEP 4 总结总结 23 30 理念 理念 本结课复习了什么 学到了什么 方法 方法 学生口述 笔记记录 STEP 5 课后练习课后练习 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 小题 1 如图所示 已知 O 中 弦 AB CD 相交于点 P AP 6 BP 2 CP 4 则 PD 的长是 A 6B 5C 4D 3 分析 可运用相交弦定理求解 圆内的弦 AB CD 相交于 P 因此 AP PB CP PD 代 入已知数值计算即可 解答 解 由相交弦定理得 AP PB CP PD AP 6 BP 2 CP 4 PD AP PB CP 6 2 4 3 故选 D 点评 本题主要考查的是相交弦定理 圆内两弦相交于圆内一点 各弦被这点所分得的两 线段的长的乘积相等 24 30 2 O 的两条弦 AB 与 CD 相交于点 P PA 3cm PB 4cm PC 2cm 则 CD A 12cmB 6cmC 8cmD 7cm 分析 根据相交弦定理进行计算 解答 解 由相交弦定理得 PA PB PC PD DP 6cm CD PC PD 2 6 8cm 故选 C 点评 本题主要是根据相交弦定理 圆内两弦相交于圆内一点 各弦被这点所分得的两线 段的长的乘积相等 进行计算 3 如图 O 中 弦 AB 与直径 CD 相交于点 P 且 PA 4 PB 6 PD 2 则 O 的半径为 A 9B 8C 7D 6 分析 根据相交弦定理得出 AP BP CP DP 求出 CP 求出 CD 即可 解答 解 由相交弦定理得 AP BP CP DP PA 4 PB 6 PD 2 CP 12 DC 12 2 14 CD 是 O 直径 O 半径是 7 故选 C 点评 本题考查了相交弦定理的应用 关键是能根据定理得出 AP BP CP DP 25 30 4 如图 A 是半径为 1 的圆 O 外的一点 OA 2 AB 是 O 的切线 B 是切 点 弦 BC OA 连接 AC 则阴影部分的面积等于 A B C D 分析 连接 OB OC 易证 BOC 是等边三角形 且阴影部分的面积 BOC 的面积 据此即可求解 解答 解 连接 OB OC AB 是圆的切线 ABO 90 在直角 ABO 中 OB 1 OA 2 OAB 30 AOB 60 OA BC COB AOB 60 且 S阴影部分 S BOC BOC 是等边三角形 边长是 1 S阴影部分 S BOC 1 故选 A 点评 本题主要考查了三角形面积的计算 以及切割线定理 正确证明 BOC 是等边三 角形是解题的关键 26 30 5 如图 PA PB 分别是 O 的切线 A B 分别为切点 点 E 是 O 上一点 且 AEB 60 则 P 为 A 120 B 60 C 30 D 45 分析 连接 OA BO 由圆周角定理知可知 AOB 2 E 120 PA PB 分别切 O 于 点 A B 利用切线的性质可知 OAP OBP 90 根据四边形内角和可求得 P 180 AOB 60 解答 解 连接 OA BO AOB 2 E 120 OAP OBP 90 P 180 AOB 60 故选 B 点评 本题考查了切线的性质 切线长定理以及圆周角定理 利用了四边形的内角和为 360 度求解 二 解答题 共二 解答题 共 3 小题 小题 6 如图 P 为弦 AB 上一点 CP OP 交 O 于点 C AB 8 求 PC 的长 27 30 分析 延长 CP 交 O 于 D 由垂径定理可知 CP DP 由 AB 8 得到 AP AB 2 PB AB 6 再根据相交弦定理得出 PC PD AP PB 代入数值计算即可求 解 解答 解 如图 延长 CP 交 O 于 D CP OP CP DP AB 8 AP AB 2 PB AB 6 AB CD 是 O 的两条相交弦 交点为 P PC PD AP PB PC2 2 6 PC 2 点评 本题考查了相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相 等 同时考查了垂径定理 准确作出辅助线是解题的关键 7 如图 AB BC CD 分别与 O 相切于 E F G 且 AB CD BO 6cm CO 8cm 求 BC 的长 28 30 分析 根据切线长定理和平行线的性质定理得到 BO