高中数学 2.4 等比数列课件 新人教版必修5.pptVIP

第二章数列 2 4等比数列 本节主要讲解等比数列概念 等比中项 等比数列的通项公式等知识 利用生活中的实例引入新课 国王赏麦的故事吸引学生注意力 使学生能够更有兴趣 探究一主要是对等比数列概念的的辨析 借助例题巩固概念 探究二主要是通项公式的推到方法 借助例题加以巩固 探究三主要是研究函数与数列间的关系 通项公式的推导过程利用视频讲解两种方法 数列与函数的关系应用视频讲解直观 明确 易懂 等比数列的性质用例题和变式加以巩固 回忆 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与前一项的差等于同一个常数 那么这个数列叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 用d表示 比较下列数列 共同特点 从第2项起 每一项与前一项的比都等于同一常数 1 2 3 9 92 93 94 95 96 97 36 36 0 9 36 0 92 36 0 93 4 等比数列定义 一般的 如果一个数列从第2项起 每一项与它前一项的比等于同一个常数 这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 或 其数学表达式 q 0 思考 1 如果an 1 anq n n q为常数 那么数列 an 是否是等比数列 为什么 答 不一定是等比数列 这是因为 1 若an 0 等式an 1 anq对n n 恒成立 但从第二项起 每一项与它前一项的比就没有意义 故等比数列中任何一项都不能为零 2 若q 0 等式an 1 anq 对n n 仍恒成立 此时数列 an 从第二项起均为零 显然也不符合等比数列的定义 故等比数列中的公比q不能为零 3 公比q 1时是什么数列 既是等差又是等比数列为非零常数列 4 q 0数列递增吗 q 0数列递减吗 q 1 常数列 q 0 摆动数列 注意 1 公比是等比数列 从第2项起 每一项与前一项的比 不能颠倒 2 对于一个给定的等比数列 它的公比是同一个非零常数 例1 判别下列数列是否为等比数列 2 1 2 2 4 4 8 9 6 3 2 2 2 2 4 1 0 1 0 是 不是 是 不是 q q 例2 求出下列等比数列中的未知项 1 2 a 8 2 4 b c 解得a 4或a 4 定义 如果在a与b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 练习 2与8的等比中项为g 则g2 16 即 g 4 解 1 根据题意 得 2 根据题意 得 变式1 观察如下的两个数之间 插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列 1 1 9 2 1 4 3 12 3 4 1 1 3 2 6 1 解 设这个等比数列为 an 其中a1 1 a5 4 插入的三项分别为a2 a3 a4 由题意 得a1 a3 a5也成等比数列 则a a1a5 1 4 4 又 a3 a1q2 0 故a3 2 a2a3a4 a 8 例3 在1和4之间插入三个数 使这五个数成等比数列 求插入的这三个数的乘积 当n 1时 如果等比数列 的首项是 公比是 那么这个等比数列的第项如何表示 等比数列的通项公式 等比数列通项公式 想一想 证明 将等式左右两边分别相乘可得 化简得 即 此式对n 1也成立 累乘法 一般形式 等比数列的通项公式 例4 求下列等比数列的第4 5项 2 1 2 2 4 4 8 1 5 15 45 3 解得 因此 变式2 在等比数列 an 中 已知 求an 解 设等比数列 an 的公比为q 由题意得 an 1 an d d叫公差 q叫公比 an 1 an d an 1 anq an a1 n 1 d an a1qn 1 an am n m d an amqn m 数列与函数的关系 想一想 类似的在同一直角坐标系中 画出通项公式为的数列的图象和函数的图象 并观察它们之间的关系 结论 等比数列 的图像是其对应的函数的图像上一些孤立的点 例5 根据右图的框图 写出所打印数列的前5项 并建立数列的递推公式 这个数列是等比数列吗 通项公式为 解 用 an 表示题中公比为q的等比数列 由已知条件 有 解得 因此 例6 一个等比数列的第 项和第 项分别是12和18 求它的第 项和第 项 等差数列中有性质 若n m p q则am an ap aq 等比数列有相似的性质吗 若n m p q 则bnbm bpbq 证明 例7 1 在等比数列 an 中 已知a7a12 5 则a8a9a10a11 2 an 为等比数列 且a1a9 64 a3 a7 20 则a11 解析 1 解法一 a7a12 a8a11 a9a10 5 a8a9a10a11 52 25 解法二 由已知得a1q6 a1q11 aq17 5 a8a9a10a11 a1q7 a1q8 a1q9 a1q10 a q34