四边形(1)(教师教案).doc

八年级.四边形（1）（教师教案）10四边形（1）（教师教案）第一段 典型例题【课程安排】1.教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解（第一段例题） 2.教师总结,学生做综合练习（第二段）。教师讲解。【教师讲课要求】教师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时教师必须巡视，了解学生做题情况。学生完成练习后，教师进行讲解。第一部分 角的问题第一组 多边形内角和的公式、对角线公式【课程目标】教会学生熟练掌握内外角和的公式、对角线公式。范例1一个凸n的多边形,去掉一个角后，其余各内角之和为2570,求这个角的度数。答案：设这个角, 0180由题意得：(n-2)180=+2570 =180n-2930 0180即 2930180n3110 n n为正整数 n=17=180n-2930=130范例2 已知多边形内角和与外角和为2160，求多边形对角线的条数。答案：设多边形的变数为 ，则有：(n-2)180+360=2160 n=12多边形的对角线条数= =54【教师总结知识点】主要是用多边形内角和公式，以及对角线条数公式，具体解法常用不等式以及不定方程。第二部分角的问题拓展应用第一组 【课程目标】教学生掌握求角的方法。范例1.已知：如图所示，CDAO于D，CEOB于E，问：AOB与DCE有什么关系？1与AOE有什么关系？你能得到什么结论？【思路讲解】四边形OECD中，知道三个角,求另一个角（或其补角），根据四边形内角和等于180即可求解。答案：CDOA，CEOB，CDO=CEO=90.四边形OECD中O+CEO+DCE+CDO=360O+DCE=180.又1+DCE=180，O=1.即AOB与DCE互补，1与AOB相等.结论：若一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补.范例2 如图,A=15,AB=BC=CD=DE=EF则DEF= .【思路讲解】一般三角形需要知道个内角，或者知道一外角和不相邻的一个内角，才可求出另外一角。但对于等腰三角形，只需知道任意一个角，就可求出其他的角。答案：60，A=15, CBD=CDB=30.BCD=120, ACD=135DEC=DCE=45, CDE=90, BDE=120【教师总结知识点】通过各角之间的递推求出DEF。等腰三角形知道一个角，就可以求出其它角。第二组范例1如图，点P是正方形ABCD内一点，若PA=a,PB=2a,PC=3a(a0),求：（1）APB的度数；（2）正方形的边长. （利用旋转变换）【思路讲解】所求角是钝角，所以有两种可能，它有两个特殊角组成，或者它的余角是特殊角。答案：将APB绕点B顺时针旋转90得到CQB，连结PQ、AC，则CQBAPB.PBQ=PBC+CBQ=PBC+PBA=90,PB=QB=2a，PQB=BPQ=45，PQ=2在PQC中，PC=3a，QC=PA=a，PQ=2PC2=CQ2+PQ2.PQC=90.APB=CQB=PQB+PQC=135.【教师总结知识点】题目中已知长度的三条线段位于三个不同的三角形中，为使其集中起来，可考虑采用旋转的方式.范例2如图，菱形ABCD，E、F分别是BC、CD上的点，B=EAF=60，BAE=18.求CEF的度数.【思路讲解】CEF在图中可以看出跟BAE大小差不多。可能需要证出BAECEF。答案：连结AC，得ABC,ADC是等边三角形.AB=AC，BAC=ACF=B=60.EAF=BAC=60.BAE=CAF,ABEACF,AE=AF,AEF是等边三角形，AEF=60.AEF+CEF=B+BAE(三角形的外角等于不相邻两个内角的和)，CEF=BAE=18【教师总结知识点】本题证明了待求角与已知角相等的关系，.求角的题型中，证明出待求角与已知角互余或相等也较为常用，本体基本上是证明角的问题。 【教师总结本组求角方法】寻找待求角与已知角的联系。范例6通过证明全等三角形证明待求角与已知角相等。在三角形中,求角的度数常常应用(1)三角形内角和为180;(2)三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和;(3)等边对等角;(4)构建方程(设的未知量要尽可能地少)。(5)证明与已知角度相等或互余等关系。(6)多边形内角和公式。第四组 证明垂直【课程目标】教学生掌握证明垂直的方法常见题型。范例1.如图，在正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且EC=BC.求证：AFEF.【思路讲解】已知条件中，边长知道较多，可尝试用勾股定理.答案：连结AE，设正方形边长为aF为DC的中点，EC=BC，DF=FC=a，EC=a.在RtADF中，AF2=AD2+DF2=a2+()2=a2，在RtECF中，EF2=EC2+CF2=()2+()2=a2，在RtABE中，AE2=AB2+BE2=a2+()2=a2.AF2+EF2=a2+a2 =.a2.AFE=90.即AFEF.【教师总结知识点】证明AEF为直角三角形就行了，题设中的直角三角形较多，又有正方形边上的中点、四等分点，所以可由勾股定理及其逆定理来证明.范例2如图,梯形ABCD,ADBC,AB=AD+BC,E是CD的中点.求证(1)AEBE.【思路讲解】已知条件中，AB=AD+BC,很自然想到延长BC。证明 (1)延长AE交BC的延长线于F.ADBC,1=F, D=2.又DE=CE,ADEFCE.AE=EF,AD=FC.AB=AD+BC,AB=FC+BC=BF.ABF是等腰三角形.BEAE(三线合一).【教师总结知识点】本范例已知条件中出现了中点，使用了等腰三角形底边高、中线、顶角角平分线三线合一定理。范例3如图, ABC中,BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，求证：FGDE. 【思路讲解】本题中有中点,有直角,由此联想应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个定理.证明 连结EG、DG.CE是高,CEAB.在RtCEB中,G是BC中点,EG=BC,同理,DG=BC.EG=DG,即EGD是等腰三角形.又F是ED中点,FG是底边DE的中线,FGDE.【技巧总结】 本题中有中点,有直角,由此联想应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个定理。【教师总结知识点】使用了等腰三角形底边高、中线、顶角角平分线三线合一定理。范例4如图在ABC中, ACB=90,四边形ABDE、ACFG为正方形，延长EC、GB相交于H.求证:EHGH.【思路讲解】待证的直角三角形的一个锐角(HBC)与另外一个直角三角形的一个锐角(FBG)互为对顶角。只需证明另外一个锐角（HCB）与已知直角的另一个锐角(FGB)相等。证明ACAG,AE=AB, EAC=GAB=90CAB,AECABG(SAS),ECA=BGA=FBG=CBH,又ECA+HCB=90,CBH+HCB=90.【教师总结知识点】 本题思路证明所在三角形其他两角互余。【教师总结本组证明方法】勾股定理，等腰三角形底边中线、顶角角平分线、底边高线三线合一。证明所在三角形另外两角互余。第五组证明角的倍分关系【课程目标】教会学生掌握证明角的倍分关系的常见题型。范例1.四边形ABCD中，相邻两角ABC和BAD的平分线交于点P.求证：APB=(C+D).答案：由题意可知：APB=180-1-2=180-（BAD+ABC）=180-（BAD+ABC）=180-（360-C-D）=180-180+（C+D）=（C+D）.【教师总结知识点】本题证明半角关系由 已知角平分线自然推导而来。 中考链接1（湖南省，1999）已知：如图2-4，在ABCD中，1=B=50，则2= .答案:由平行四边形性质可知:B+1+2=180.又1=B=502=1805050=80.2如图,已知ABC的B、C的外角平分线交于P点.求证:AP平分BAC.答案:过P作PDAB,PEBC,PFAC,垂足分别为D、E、F.P在CBD的平分线上，PD=PE.P在BCF的平分线上，PE=PF.PD=PF.P在CAB的平分线上.【教师总结知识点】欲证AP平分BAC,只需证点P到BAC两边的距离相等,为此需过P点分别向BAC的两边作垂线;从已知条件出发,联想角平分线的性质定理,还需过P点作BC的垂线,通过等量代换,就可证明P到BAC两边的距离相等.(1)涉及角的平分线问题时,常常自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段,利用然平分线性质,得到相等线段.(2)应用角平分线性质与判定定理时,应熟练掌握“角来分线上的点到角的两边距离相等”这个条件,尽可能地避免应用三角形全等的方法,因为该定理本身就是通过三角形全等得出的结论 第二段快题训练. 如图，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. B. C. D. 答案：1=BEDAED=1802AED ,2=CDEADE=1802ADEAED=,ADE=AED+ADE+1=180,化简得: 2. 如果一个多边形的内角和等于720，那么这个多边形是（ ）A、正方形 B、三角形 C、五边形 D、六边形答案：D,180(n-2)= 7203一个多边形的每一个内角都等于1350，则它的边数是（ ）A、6 B、8 C、10 D、12答案：B 180(n-2)= 135n4.一个多边形的所有对角线的条数是它的边数的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A 4 ； B 5； C 6 ； D 7。答案：D5下列角度中，不能成为多边形的内角和的只有 （ ）A.540 B.280 C.1800 D.900答案：B6如图3-70, ABC中,D为BC上一点,且AB=AC=BD.则图中,1与2的关系为( )A.1=22 B.21+2=180 C.1+32=180 D.31-2=180答案：D提示：1=2；21+C=180.两式相加可得31-2=180二填空题若等腰三角形腰上的高与底边的夹角为,它和顶角之间的关系是 .答案：提示：可分三种情况，讨论结论一致.如图3-31,在ABC中,已知B=C=50,BD=CF,BE=CD,则EDF= .答案：50.如图3-32, ABFCDE,已知B=30,BAE=DCF=20,则EFC= .答案：50如图3-75,BAC=100,若MP、NQ分别垂直平分AB、AC，则PAQ= .答案：20提示：B+C=180.而BAP=B. QAC=C.故PAQ=205. n边形的内角中，锐角个数最多有 个。答案：内角是锐角，与其互补的外角一定为钝角，外角和为360，外角中钝角最多为3个。6.如多边形限定有四个钝角，则这个多边形的边数最多有 。答案：7；因多边形内角最多只可有三个锐角，再加上四个钝角，故共有7个角，7条边三解答题设四边形各角的大小比分别为:2:3:4，求各角的大小。答案:设个角大小分别为k,2k,3k,4k.k+2k+3k+4k=360k=36,故个角的大小分别为36、72、108、144。如图2-56,矩形ABCD中,AB=2BC,E在AB延长线上, BCE=60,求ADE.答案:75(可证出CE=DC,