高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线课件 理.ppt

9 6双曲线 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 双曲线定义平面内与两个定点f1 f2的等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做 两焦点间的距离叫做 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 1 当时 p点的轨迹是双曲线 2 当时 p点的轨迹是两条射线 3 当时 p点不存在 知识梳理 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2a f1f2 2a f1f2 2a f1f2 2 双曲线的标准方程和几何性质 x a或x a y r x r y a或y a 坐标轴 原点 1 2a 2b a2 b2 巧设双曲线方程 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 2 方程 mn 0 表示焦点在x轴上的双曲线 1 教材改编 若双曲线 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心率为 考点自测 答案 解析 由题意得b 2a 又a2 b2 c2 5a2 c2 2 等轴双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 c与抛物线y2 16x的准线交于a b两点 ab 4 则c的实轴长为 答案 解析 抛物线y2 16x的准线为x 4 a 2 2a 4 c的实轴长为4 3 2015 安徽 下列双曲线中 焦点在y轴上且渐近线方程为y 2x的是 答案 解析 由双曲线性质知a b项双曲线焦点在x轴上 不合题意 c d项双曲线焦点均在y轴上 但d项渐近线为y x 只有c符合 故选c 答案 解析 答案 解析 双曲线的一个顶点坐标为 2 0 题型分类深度剖析 例1已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 则动圆圆心m的轨迹方程为 题型一双曲线的定义及标准方程 命题点1利用定义求轨迹方程 答案 解析 几何画板展示 如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b 根据两圆外切的条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc1 ac1 mc2 bc2 即 mc2 mc1 bc2 ac1 2 所以点m到两定点c1 c2的距离的差是常数且小于 c1c2 6 又根据双曲线的定义 得动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 其中a 1 c 3 则b2 8 命题点2利用待定系数法求双曲线方程 解答 设双曲线的标准方程为 b 6 c 10 a 8 2 焦距为26 且经过点m 0 12 解答 双曲线经过点m 0 12 m 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解答 命题点3利用定义解决焦点三角形问题 例3已知f1 f2为双曲线c x2 y2 2的左 右焦点 点p在c上 pf1 2 pf2 则cos f1pf2 答案 解析 由双曲线的定义有 pf1 pf2 引申探究 1 本例中将条件 pf1 2 pf2 改为 f1pf2 60 则 f1pf2的面积是多少 解答 不妨设点p在双曲线的右支上 则 pf1 pf2 2a 2 在 f1pf2中 由余弦定理 得 不妨设点p在双曲线的右支上 则 pf1 pf2 2a 2 解答 所以在 f1pf2中 有 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 即 pf1 2 pf2 2 16 所以 pf1 pf2 4 思维升华 1 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线 进而根据要求可求出双曲线方程 2 在 焦点三角形 中 常利用正弦定理 余弦定理 经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立与 pf1 pf2 的联系 3 待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形 再定量 即先确定双曲线标准方程的形式 然后再根据a b c e及渐近线之间的关系 求出a b的值 如果已知双曲线的渐近线方程 求双曲线的标准方程 可设有公共渐近线的双曲线方程为 0 再由条件求出 的值即可 跟踪训练1 1 已知f1 f2为双曲线的左 右焦点 p 3 1 为双曲线内一点 点a在双曲线上 则 ap af2 的最小值为 答案 解析 几何画板展示 由题意知 ap af2 ap af1 2a 要求 ap af2 的最小值 只需求 ap af1 的最小值 当a p f1三点共线时 取得最小值 答案 解析 不妨设p为双曲线右支上一点 pf1 r1 pf2 r2 根据双曲线的定义 得r1 r2 2a 题型二双曲线的几何性质 答案 解析 a m n且e1e2 1b m n且e1e2 1c m n且e1e2 1d m n且e1e2 1 由题意可得m2 1 n2 1 即m2 n2 2 又 m 0 n 0 故m n 2 2015 山东 在平面直角坐标系xoy中 双曲线c1 a 0 b 0 的渐近线与抛物线c2 x2 2py p 0 交于点o a b 若 oab的垂心为c2的焦点 则c1的离心率为 答案 解析 oab的垂心为f af ob kaf kob 1 思维升华 答案 解析 题型三直线与双曲线的综合问题 例5 2016 兰州模拟 已知椭圆c1的方程为 y2 1 双曲线c2的左 右焦点分别是c1的左 右顶点 而c2的左 右顶点分别是c1的左 右焦点 1 求双曲线c2的方程 解答 则a2 4 1 3 c2 4 再由a2 b2 c2 得b2 1 解答 由直线l与双曲线c2交于不同的两点 得 设a x1 y1 b x2 y2 思维升华 1 研究直线与双曲线位置关系问题的通法 将直线方程代入双曲线方程 消元 得关于x或y的一元二次方程 当二次项系数等于0时 直线与双曲线相交于某支上一点 这时直线平行于一条渐近线 当二次项系数不等于0时 用判别式 来判定 2 用 点差法 可以解决弦中点和弦斜率的关系问题 但需要检验 跟踪训练3若双曲线e y2 1 a 0 的离心率等于 直线y kx 1与双曲线e的右支交于a b两点 1 求k的取值范围 解答 故双曲线e的方程为x2 y2 1 设a x1 y1 b x2 y2 得 1 k2 x2 2kx 2 0 直线与双曲线右支交于a b两点 解析 整理得28k4 55k2 25 0 k2 或k2 x1 x2 4 y1 y2 k x1 x2 2 8 点c是双曲线上一点 直线与圆锥曲线的交点 现场纠错系列12 1 点差法 解决直线与圆锥曲线的交点问题 要考虑变形的条件 2 判别式 0 是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法 错解展示 现场纠错 纠错心得 典例已知双曲线x2 1 过点p 1 1 能否作一条直线l 与双曲线交于a b两点 且点p是线段ab的中点 返回 解设点a x1 y1 b x2 y2 在双曲线上 且线段ab的中点为 x0 y0 若直线l的斜率不存在 显然不符合题意 设经过点p的直线l的方程为y 1 k x 1 即y kx 1 k 得 2 k2 x2 2k 1 k x 1 k 2 2 0 2 k2 0 当k 2时 方程 可化为2x2 4x 3 0 16 24 8 0 方程 没有实数解 不能作一条直线l与双曲线交于a b两点 且点p 1 1 是线段ab的中点 返回 课时作业 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 m2 n 3m2 n 0 解得 m2 n 3m2 由双曲线性质 知c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c是半焦距 焦距2c 2 2 m 4 解得 m 1 1 n 3 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由题意易知点f的坐标为 c 0 a c b c e a 0 abe是锐角三角形 整理得3e2 2e e4 e e3 3e 3 1 1 e 1 2 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 北京 已知双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线为2x y 0 一个焦点为 0 则a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 由2x y 0 得y 2x 解得a 1 b 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 浙江 设双曲线x2 1的左 右焦点分别为f1 f2 若点p在双曲线上 且 f1pf2为锐角三角形 则 pf1 pf2 的取值范围是 答案 解析 如图 由已知可得a 1 b c 2 从而 f1f2 4 由对称性不妨设p在右支上 设 pf2 m 则 pf1 m 2a m 2 由于 pf1f2为锐角三角形 解得 1 m 3 又 pf1 pf2 2m 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 已知双曲线 a 0 b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 点p在双曲线的右支上 且 pf1 4 pf2 则此双曲线的离心率e的最大值为 答案 解析 要求e的最大值 即求cos f1pf2的最小值 由定义 知 pf1 pf2 2a 又 pf1 4 pf2 在 pf1f2中 由余弦定理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2015 课标全国 已知f是双曲线c x2 1的右焦点 p是c的左支上一点 a 0 6 当 apf的周长最小时 该三角形的面积为 答案 解析 设左焦点为f1 pf pf1 2a 2 pf 2 pf1 apf的周长为 af ap pf af ap 2 pf1 apf周长最小即为 ap pf1 最小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 中心在原点 焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1 f2 且 f1f2 2 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4 离心率之比为3 7 1 求这两曲线方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由已知c 设椭圆长半轴长 短半轴长分别为a b 双曲线实半轴长 虚半轴长分别为m n 解得a 7 m 3 b 6 n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若p为这两曲线的一个交点 求cos f1pf2的值 解答 不妨设f1 f2分别为左 右焦点 p是第一象限的一个交点 则 pf1 pf2 14 pf1 pf2 6 pf1 10 pf2 4 又 f1f2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 湖北部分重点中学第一次联考 在面积为9的 abc中 现建立以a点为坐标原点 以 bac的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系 如图所示 1 求ab ac所在直线的方程 解答 设 cax 则由tan bac tan2 得tan 2 ac所在直线方程为y 2x ab所在直线方程为y 2x 2 求以ab ac所在直线为渐近线且过点d的双曲线的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设所求双曲线的方程为4x2 y2 0 c x1 y1 b x2 y2 x1 0 x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2x1x2 9 代入 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 过d分别作ab ac所在直线的垂线df de e f为垂足 求的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 c 2 c2 a2 b2 4 a2 3a2 a2 1 b2 3 2 设经过焦点f2的直线l的一个法向量为 m 1 当直线l与双曲线c的右支交于不同的两点a b时 求实数m的取值范围 并证明ab中点m在曲线3 x 1 2 y2 3上 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 l m x 2 y 0 得 3 m2 x2 4m2x 4m2 3 0 由 0 得4m4 3 m2 4m2 3 0 12m2 9 3m2 0 即m2 1 0恒成立 设a x1 y1 b x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 m在曲线3 x 1 2 y2 3上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 设