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四个正整数中任意两数和都是平方数的解如何找到四个正整数，使得其中任意两数的和都是平方数？我们已经知道三个正整数中任意两数和都是平方数的解是：x=(p-q+r)2y=(p+q-r)2z=(q+r-p)2只需再找到一个正整数t, t是可以用三种不同方式表示成两个平方数和的正整数，即t=u+p=v+q=w+r其中p,q,r,u,v,w都是正整数。那么，t-(p+q+r)2和x,y,z就满足四个正整数中任意两数和都是平方数的要求。怎样找到正整数t？我们联想到十七世纪法国数学家费玛发现4k+1型的质数都能写成两个平方数的和。还有恒等式：1、（a+b）(x+y）=(ax+by)+(ay-bx)2、（a+b）(x+y）=(ax-by)+(ay+bx)所以有两个4k+1型的质数之积都能用两种不同方式表示成两个平方数的和，继而三个4k+1型的质数之积都能用四种不同方式表示成两个平方数的和。这样符合条件的正整数t就是三个4k+1型的质数之积。只要认真进行计算和试验，我们可以找到一系列符合条件的正整数，使得四个正整数中任意两数和都是平方数。不过，要找到也很不容易，需要很大的耐心，因为虽然有很多正整数可以用四种不同方式表示成两个平方数的和，但是受t-(p+q+r)2和x,y,z都是正整数的限制，许多可以用四种不同方式表示成两个平方数的和的正整数却找不出符合条件的四个正整数。下面列表举出四组符合条件的四个正整数。p264196564001264196410881q682276410881729316516961r729316729316835396264196t1246277124627712462771246277x15561844121818513879058y10857812278379058331823z573698288098650258185138t-(p+q+r)2408383394178331823650258注：t=1246277=294153 = 719+854=516961+729316 = 914+641=835396+410881 = 826+751=682276+564001 = 991+514=982081+264196根据注的内容可以找出15组符合条件的p，q，r，进而计算出相应的t-(p+q+r)2和x,y,z，当然t=1246277不变。有兴趣的读者可以耐心计算出其余的
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