复变函数复习课

第一章复数及其表示，运算，几何意义，点集与区域，复变函数，极限与连续性复数及其表示实部，虚部 z=x+iy复数的模任意两个复数不能比较大小。共轭复数 复数的表示方法1. 点的表示2. 向量表示法3. 三角表示法4. 指数表示法幅角主值如下：复数的乘幂与方根1. 复数的乘积与商2. 复数的乘幂3.复数的方根区域1. 区域的概念2. 简单曲线（或Jordan曲线)3. 单连通域与多连通域习题：请依次写出的代数、几何、三角、指数表达式和的3次方根。：复变函数的极限与连续性1. 函数的极限定义 定义中的方式是任意的与一元实变函数相比较要求更高.2. 运算性质3. 函数的连续性第二章 解析函数复变函数的导数定义(1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零。(2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为z0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。解析函数的概念如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f (z)在z0解析；如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有答案：初等函数1. 指数函数2. 三角函数和双曲函数称为双曲正弦和双曲余弦函数3. 对数函数4. 乘幂与幂函数一般为多值5. 反三角函数与反双曲函数习题:答案：第三章复变函数的积分3.1 复变函数积分的概念3.2 柯西-古萨基本定理3.3 基本定理的推广3.4 原函数与不定积分3.5 柯西积分公式3.6 解析函数的高阶导数3.7 解析函数与调和函数的关系习题1：答案：习题2：答案：第四章 级 数1.复数列的极限定理1 性质：，定理2 定理3 定理4 2. 幂级数称为幂级数定理1 (阿贝尔(Able)定理）收敛半径的求法定理2(比值法)定理3(根值法)定理（泰勒展开定理）罗朗(Laurent)级数习题：答案第五章 留数定义设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数 c1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res f (z), z0 或 Res f (z0)。留数定理规则I 规则II 规则III 求下列各函数在其孤立奇点的留数。(1) ; (2) ; (3) .解：（1） 为的可去奇点, ;（2） 为的三阶极点, 为的一阶极点, ,;（3） 为的本性奇点, , 。第六章共形映射保角性：保交比不变性 习