初等数学-几何1

初等数学研究 几何 一 I 目目 录录 几何部分 一 几何部分 一 专题一专题一 初等几何研究初等几何研究 3 一 欧几里德 几何原本 3 二 罗巴切夫斯基几何模型 3 三 黎曼几何 6 四 希尔伯特的 几何基础 7 五 笛卡尔 方法论 9 六 中学中的解析几何 9 专题二专题二 三角形的五心三角形的五心 12 一 三角形的重心及重心定理 12 二 三角形外心及外心定理 14 三 三角形垂心及垂心定理 16 四 三角形内心及内心定理 18 五 三角形旁心及旁心定理 20 专题三专题三 等腰三角形等腰三角形 23 专题四专题四 直角三角形直角三角形 31 一 三角形的基本性质 按使用的频率排列 31 二 习题 34 专题五专题五 圆圆 38 专题六专题六 九点圆和拿破仑三角形九点圆和拿破仑三角形 50 一 九点圆的历史背景 50 二 九点圆定理 50 三 拿破仑三角形的历史背景 51 四 拿破仑三角形的定义 51 五 拿破仑三角形的推广 53 专题七专题七 正多边形正多边形 57 一 正多边形的定义及性质 57 二 正多边形的面积公式 59 三 正多边形的内角和 59 四 正多边形内一点到各顶点之和极值的问题 59 五 正多边形与外接圆 60 专题八专题八 几何定值几何定值 63 一 线段长度为定值 63 二 线段的长度和 倒数和为定值 64 三 线段长度的积为定值 65 四 线段长度的比为定值 66 五 角的度数为定值 66 六 面积为定值 67 专题九专题九 几何最值定值及不等式几何最值定值及不等式 69 专题十专题十 解析法解平面几何问题解析法解平面几何问题 73 专题十一专题十一 三角法解平面几何问题三角法解平面几何问题 81 专题十二专题十二 平面几何问题的复数或向量解法平面几何问题的复数或向量解法 84 一 常用的公式和结论 84 二 基本思想 84 初等数学研究 几何 一 II 三 实例 85 四 小结 89 专题十三专题十三 几何中的计数问题 组合几何 几何中的计数问题 组合几何 90 一 数线段 90 二 数三角形 四边形等几何图形 91 三 数角 93 四 几何作图与填充染色等问题 93 专题一 初等几何研究 1 专题一专题一 初等几何研究初等几何研究 初等几何研究的对象 图形的大小 形状 及位置关系 一 欧几里德 几何原本 欧几里德在公元前 300 年左右 曾经到亚历山大城教学 是一位受人尊敬的 温良敦厚 的教育家 他酷爱数学 深知柏拉图的一些几何原理 他非常详尽的搜集了当时所能知道 的一切几何事实 按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法 整理成一门有着严 密系统的理论 写成了数学史上早期的巨著 几何原本 第五公设 几何原本 第一卷列有 23 个定义 5 条公理 5 条公设 其中最后 一条公设就是著名的平行公设 或者叫做第五公设 它引发了几何史上最著名的长达两 千多年的关于 平行线理论 的讨论 并最终诞生了非欧几何 同平面内一条直线和 另外两条直线相交 若在直线同侧的两个内角之和小于 180 则这两条直线经无限延长后 在这一侧一定相交 第五公设又称平行公设 可以导出如下结论 通过一个不在直线上的 点 有且仅有一条不与该直线相交的直线 由于证明第五公设的问题始终得不到解决 人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对 第五公设到底能不能证明 到了十九世纪二十年代 俄国喀 山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中 他走了另一条路子 他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题 用它来代替第五公设 然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统 展开一系列的推理 他认为如果这 个系统为基础的推理中出现矛盾 就等于证明了第五公设 我们知道 这其实就是数学 中的反证法 但是 在他极为细致深入的推理过程中 得出了一个又一个在直觉上匪夷所思 但 在逻辑上毫无矛盾的命题 最后 罗巴切夫斯基得出两个重要的结论 第一 第五公设不能被证明 第二 在新的公理体系中展开的一连串推理 得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的 定理 并形成了新的理论 这个理论像欧式几何一样是完善的 严密的几何学 这种几 何学被称为罗巴切夫斯基几何 简称 罗氏几何 这是第一个被提出的非欧几何学 二 罗巴切夫斯基几何模型 1 在平面几何中 三角形的内角之和等于180 证法一 过 A 点做 BC 的平行线 记为 AD AD BC CAB BAD ACB 180 DAB ABC ACB ABC CAB 180 证法二 根据所学的内角和公式 n 2 180 证法三 ACD 是 ABC 的外角 ACD BAC B D C A B A B D 初等数学研究 几何 一 2 ACD ACB 180 A B ACB 180 证法四 FAB ABC ACB ACD BAC ABC EBC BAC ACB FAB ACD EBC 2 ABC 2 ACB 2 BAC 外角和为 360 ABC BAC ACB 180 证法五 将三个一样大小的三角形在三个对应角的位置上 分别标上三个字母 A B C 然后将第一个三角形的 A 角 第二个三角形的 B 角 第三个三角 形的 C 角 拼在一起 这时它们的下边 或上边 就正好形成一条直线 即三个角形成了一个平角 就是说三个角的度数和是一百八十度 而这 三个角是三角形的三个内角 2 在球面上 球面三角形的内角和不为 180 证明 我们看一个例子 如图 设点 A 表示地球的北极 LA为赤道 点 B C 是赤道 LA 上的两点且点 B 所在的经线是0 点 C 所在的经线是 90 因为地球上的经线和赤道都是大圆 且经线所在 的平 面与赤道所在的平面垂直 所以球面角 BAC 2 又由极与赤道的概念可知球面角 ABC 2 ACB 因此球面 ABC 的三个内角之和为 2 ABC BAC ACB 2 3 这说明在球面上存在一个三角形使得其三个内角不为 180 是不是球面上任意一个三 角形的内角和都大于 180 呢 观察球面 ABC 它的三个内角确定后 它的三边长也从而确定下来 且唯一 从而球 面三角形也唯一确定 而面积是唯一的 因此 我们考虑球面三角形的内角和与其面积之间 的关系 显然 球面 ABC 的面积等于上半球的面积 也是球面积 如果球的半径为 r 则其面 4 1 8 1 积为球面 ABC 的面积 4r2 8 1 2 2 3 r C A BCD E F 专题一 初等几何研究 3 ABC BAC ACB r2 如图 容易知道 ABD ADB BAD 2 2 3 2 因此 球面 ABD 的三个内角之和是 ABD ADB BAD 3 5 球面 ABD 的面积 4r2 r2 6 1 3 2 2 3 5 r ABD BAD ADB r2 一般的 在半径为 r 的球面上 是否有任意的球面 ABC 的面积 A B C A B C 分 2 r 别为 A B C 的弧度数 事实上 这个结论是正确的 即 在半径为 r 的球面上 任意球面 ABC 的面积 A B C 特别的 在单位球面上 2 r 球面 ABC 的面积 A B C 根据上述结论可以得出球面三角形的内角和大于 180 下面给出上述结论的证明 分析 如图 1 直接求球面 ABC 的面积不容易 但是求月形 球面二角形 的面积很容易 月形的面积等于球面面积 ABAC 的倍 其中球面角 ABC 点 A 互 2 A 为对径点 而且月形可以看作是有球面 ABAC ABC 和球面 拼接在一起 因此 我们 ABC 考虑把求球面 ABC 的面积转化为求某些月形的面积 证明 如图 2 因为月形的两个对顶点互为对径点 设 A B C 三点的对径点分别是 我 A B C 们分别观察以 A B C 为顶点的三个月形 以 A 为顶点的月形 它可以看作由球面 ABAC ABC 和球面 拼接而成的 ABC 以 B 为顶点的月形 它可以看作由球面 BCB A BCA 和球面 拼接而成的 BCA 以 C 为顶点的月形 它可以看作由球面 CAB 和球面 拼接而成 CAC B C AB 的 我们知道 月形的面积等于整个球面积得倍 即 ABAC 2 A 月形的面积 r2 2Ar2 ABAC 2 A 4 1 2 初等数学研究 几何 一 4 因此 球面 ABC 的面积 球面 的面积 月形的面积 2Ar2 ABC ABAC 球面 ABC 的面积 球面 的面积 月形的面积 2Br2 BCA BCB A 球面 ABC 的面积 球面 的面积 月形的面积 2Cr2 C AB CAC B 又因为 球面 ABC 的面积 球面 的面积 球面 的面积 ABC BCA 球面 的面积 半球面面积 C AB 球面 的面积 球面 CAB C AB 得 3 球面 ABC 的面积 球面 的面积 球面 的面积 ABC BCA 球面 的面积 2 A B C C AB 2 r 将 带入 得 2 球面 ABC 的面积 2 2 A B C 2 r 2 r 即 球面 ABC 的面积 A B C 2 r 因为面积是一个整数 因此 球面三角形的内角和大于 180 如图 由于球面三角形的内角所对的边都小于大圆周的一半 所 以每个内角都小于 因此 其内角和小于 3 实际上 由于球面 三角形的周长小于大圆周长 球面三角形的内角和可以更小 可以证 到球面三角形的内角和小于 2 这与平面三角形的内角和等于 180 有很大的区别 这也是球面几何作为非欧几何模型与欧式几何 不同的重要特征之一 三 黎曼几何 此后 法国数学家黎曼又提出 过直线外一点不可能作一条直线 点外的直线平行 一个直接推论是三角形三内角之和小于一百八十度 以此基础建立起来的 几何 人们称为黎曼几何 黎曼流形上的几何学 德国数学家G F B 黎曼 19 世纪中期提出的几何学理论 1854 年黎曼在格丁根大学发表的题为 论作为几何学基础的假设 的就职演说 通常 被认为是黎曼几何学的源头 在这篇演说中 黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体 而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体 他首先发展了空间的概念 提出 了几何学研究的对象应是一种多重广义量 空间中的点可用 n 个实数作为坐 1 n xx 标来描述 这是现代 n 维微分流形的原始形式 为用抽象空间描述自然现象奠定了基础 这种空间上的几何学应基于无限邻近两点与之间的距离 12 n x xx 11 nn xdxxdx 用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量 亦即是由函数构成的正定对称矩 ij g 阵 这便是黎曼度量 赋予黎曼度量的微分流形 就是黎曼流形 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构 并且在同一流形上可以有许多不同的 度量 黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3 中的曲面 S 上存在诱导度量 专题一 初等几何研究 5 即第一基本形式 而并未认识到S 还可以有独立于三维欧几 222 2dsEduFdudvGdv 里得几何赋予的度量结构 黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性 从而 摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚 创立了黎曼几何学 为近代数学 和物理学的发展作出了杰出贡献 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例 例如 定义度量 a 是常数 则当 a 0 时是普通的欧几里得几何 当 a 0 时 就是椭圆几何 而当 a 0 时为 双曲几何 黎黎曼曼几几何何与与欧欧式式几几何何的的区区别别 欧式几何是把认识停留在平面上了 所研究的范围是绝对的平的问题 认为人生活 在一个绝对平的世界里 因此在平面里画出的三角形三条边都是直的 两点之间的距离 也是直的 但是假如我们生活的空间是一个双曲面 不是双曲线 这个双曲面 我 们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩 我们就在这个双曲面里画三角形 这个三角 形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面 我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都 不会是直线 那么这样的三角形就是罗氏三角形 经过论证发现 任何罗氏三角形的内 角和都永远小于 180 度 无论怎么画都不能超出 180 度 但是当把这个双曲面渐渐展开 时 一直舒展成绝对平的面 这时罗氏三角形就变成了欧式三角形 也就是我们在初中 学的平面几何 其内角和自然是 180 度 在平面上 两点间的最短距离是线段 但是在双曲面上 两点间的最短距离则是曲 线 因为平面上的最短距离在平面上 那么曲面上的最短距离也只能在曲面上 而不能 跑到曲面外抻直 故这个最短距离只能是曲线 若我们把双曲面舒展成平面以后 再继 续朝平面的另一个方向变 则变成了椭圆面或圆面 这个时候 如果我们在这个椭圆面 上画三角形 将发现 无论怎么画 这个三角形的内角和都大于180 度 两点间的最 短距离依然是曲线 这个几何就是黎曼几何 这个几何在物理上非常有用 因为光在空 间上就是沿着曲线跑的 并非是直线 我们生活在地球上 因此我们的空间也是曲面 而不是平面 但为了生活方便 都不做严格规定 都近似地当成了平面 四 希尔伯特的 几何基础 希尔伯特的 几何基础 1899 是公理化思想的代表作 书中把 欧几里德学 加以 整理 成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统 并开始探讨公理之间的相互 关系与研究整个演绎系统的 逻辑结构 小阅读 希尔伯特的 23 个问题 下面摘录的是 1987 年出版的 数学家小辞典 以及其它一些文献中收集的希尔伯 特 23 个问题及其解决情况 1 连续统假设 1874 年 康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数 这就是著名的连续统假设 1938 年 哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛 弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性 1963 年 美国数学家科亨证明连续假设和策梅 洛 伦克尔集合论公理是彼此独立的 因此 连续统假设不能在策梅洛 弗伦克尔公 理体系内证明其正确性与否 希尔伯特第1 问题在这个意义上已获解决 初等数学研究 几何 一 6 2 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性 希尔 伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明 1931 年 哥德尔发表的不完备性 定理否定了这种看法 1936 年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公 理的相容性 1988 年出版的 中国大百科全书 数学卷指出 数学相容性问题尚未解决 3 两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是 存在两个等边等高的四面体 它们不可分解为有限个小四面体 使 这两组四面体彼此全等 M W 德恩 1900 年即对此问题给出了肯定解答 4 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般 满足此性质的几何学 很多 因而需增加某些限制条件 1973 年 苏联数学家波格列洛夫宣布 在对称距离情 况下 问题获得解决 中国大百科全书 说 在希尔伯特之后 在构造与探讨各种特殊度量几何方面有 许多进展 但问题并未解决 5 一个连续变换群的李氏概念 定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称 连续群的解析性 即 是否每一个局部欧氏群都有一定是李群 中间经冯 诺伊曼 1933 对紧群情形 邦德里雅金 1939 对交换群情形 谢瓦荚 1941 对可 解群情形 的努力 1952 年由格利森 蒙哥马利 齐宾共同解决 得到了完全肯定的结 果 6 物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理 首先是概率 和力学 1933 年 苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化 后来在量子力学 量子场论方面取得了很大成功 但是物理学是否能全盘公理化 很多人表示怀疑 7 某些数的无理性与超越性 1934 年 A O 盖尔方德和 T 施奈德各自独立地解决了 问题的后半部分 即对于任意代数数 0 1 和任意代数无理数 证明了 的超越性 8 素数问题 包括黎曼猜想 哥德巴赫猜想及孪生素数问题等 一般情况下的黎曼猜 想仍待解决 哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润 1966 但离最解决尚有距离 目 前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润 9 在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治 1921 和德国数学家 E 阿廷 1927 解决 10 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根 称为丢番图方程可解 希尔伯特问 能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性 1970 年 苏联的 IO B 马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在 11 系数为任意代数数的二次型 H 哈塞 1929 和 C L 西格尔 1936 1951 在这个问题上获得重要结果 12 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一 些零星的结果 离彻底解决还相差很远 13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程 的根依赖于 3 个 参数 a b c 即 这个函数能否用二元函数表示出来 苏联数学家阿诺尔 xx a b c 专题一 初等几何研究 7 德解决了连续函数的情形 1957 维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形 1964 但如果要求是解析函数 则问题尚未解决 14 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关 1958 年 日本数 学家永田雅宜给出了反例 15 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是 在三维空间中有四条直线 问 有几条直线能和这四条直线都相交 舒伯特给出了一个直观解法 希尔伯特要求将问题 一般化 并给以严格基础 现在已有了一些可计算的方法 它和代数几何学不密切联系 但严格的基础迄今仍未确立 16 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分 前半部分涉及代数 曲线含有闭的分枝曲线的最大数目 后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位 置 其中 X Y 是 x y 的 n 次多项式 苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n 2 时极限环 的个数不超过 3 但这一结论是错误的 已由中国数学家举出反例 1979 17 半正定形式的平方和表示 一个实系数 n 元多项式对一切数组都 12 n x xx 恒大于或等于 0 是否都能写成平方和的形式 1927 年阿廷证明这是对的 18 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫 1910 荚因哈特 1928 作出部分解决 19 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少 C H 伯恩斯坦和 彼得罗夫斯基等得出了一些结果 20 一般边值问题 这一问题进展十分迅速 已成为一个很大的数学分支 目前还 在继续研究 21 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人 1905 和 H 罗尔 1957 的工作解决 22 由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论 1907 年 P 克伯获重要突破 其他方面尚未解决 23 变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题 只是谈了对变分法的 一般看法 20 世纪以来变分法有了很大的发展 这 23 问题涉及现代数学大部分重要领域 推动了20 世纪数学的发展 五 笛卡尔 方法论 1637 年 法国的哲学家和数学家 笛卡尔发表了他的著作 方法论 这本书的后面有三篇附录 一篇叫 折光学 一篇叫 流星学 一 篇叫 几何学 当时的这个 几何学 实际上指的是数学 就像我国古代 算术 和 数学 是一个意思一样 笛卡尔的 几何学 共分三卷 第一卷讨论尺规作图 第二卷是曲线的性质 第三 卷是立体和 超立体 的作图 但他实际是代数问题 探讨方程的根的性质 后世的数 学家和数学史学家都把笛卡尔的 几何学 作为解析几何的起点 从笛卡尔的 几何学 中可以看出 笛卡尔的中心思想是建立起一种 普遍 的 数学 把算术 代数 几何统一起来 他设想 把任何数学问题化为一个代数问题 在 把任何代数问题归结到去解一个方程式 初等数学研究 几何 一 8 为了实现上述的设想 笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发 指出平面上的点和 实数对的对应关系 的不同数值可以确定平面上许多不同的点 这样就可以用 x y x y 代数的方法研究曲线的性质 这就是解析几何的基本思想 六 中学中的解析几何 笛卡尔的方法论 创立了解析几何 反映到中学几何中的公理是 1 经过两条直线有且只有一条直线 2 两条直线相交只有一个交点 3 所有连接两点的线中 线段最短 由这条公理才有三角形两边之和大于第三边 我们知道 AB AC BC 都为直线而非两点之中的曲 线 由第三条公理可以得出 bca abc acb 从而得证 三角形两边之和大于第三边 解析几何的出现 改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向 把相互对立着的 数 与 形 统一了起来 使几何曲线与代数方程相结合 笛卡儿的这一天才创见 更为微积分的创立奠定了基础 从而开拓了变量数学的广阔领域 下面来看一个数形结合的例题 例例 1 1 求函数的最大值和最小值 x x y cos3 sin2 分析 对于这种特殊的函数 应 注意观察 利用其特殊的 性质 把函数看作是定点 与单位圆上的点 3 2 P cosx sinx 连线的斜 率 解 解 2sinsin 2 3coscos 3 xx y xx 这可以看作是定点 与单位圆上的点 P cosx sinx 连线的 3 2 A 斜率 因此 y 的最值就是当直线 AP 与单位圆相切 时的斜率 单位圆 x2 y2 1 中斜率为 k 的切线方程为 2 1kkxy 由于该切线过点 A 3 2 故 2 132kk A BC c b a 专题二 三角形的五心 9 4 33 k 4 33 max k 4 33 min k 以上是利用 数形结合 的方法来求最值的 让我们对比一下用纯代数的方法看看它们有什 么区别 解 解 原式可化为 3y ycosx 2 sinx 32 1 1 cos 2 y y yx cos x v 1 1 32 1 1 cos 2 y y yx 1 1 1294 2 2 y yy 8y2 12y 3 0 4 33 4 33 y 4 33 max y 4 33 min y 从而 数形结合的优越性易见 初等数学研究 几何 一 10 专题二专题二 三角形的五心三角形的五心 三角形的重心 外心 垂心 内心和旁心称之为三角形的五心 三角形五心定理是 指三角形重心定理 外心定理 垂心定理 内心定理 旁心定理的总称 重心定理重心定理 三角形的三条中线交于一点 这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍 外心定理外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点 垂心定理垂心定理 三角形的三条高交于一点 内心定理内心定理 三角形的三内角平分线交于一点 旁心定理旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点 一 三角形的重心及重心定理 重心的定义 三角形的三条边的中线交于一点 该点叫做三角形的重心 如右图 为的重心 重心原是一个物理OABC 概念 对 于等厚度的质量均匀的三角形 薄片 其重心恰为此三角形 三条中线的交点 重心因而得 名 重心的性质 重心的性质 1 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 1 2 2 重心和三角形个顶点组成的个三角形面积相等 即重心到三条边的距离与三条33 边的长成反比 3 三角形的重心也是它的中点三角形的重心 4 重心到三角形个顶点距离的平方和最小 3 5 在平面直角坐标系中 重心的坐标是顶点坐标的算术平均数 即其重心坐标为 其中 3321XXX 3321XXX 分别为三顶点的横坐标 分别为3 2 1XXX3 2 1YYY三ABC 顶点的纵坐标 6 设的重心 的延长线交的ABCG 为CGBGAG ABC 三边于则 反之亦然 FED CGESBGDSAGFS 如右图 重心的证明 重心的证明 重心 三条中线的交点 证明 连结交于点 AOBCF 为的中点DAB BCDSACDS 底相等 高相同 都为点到的距离 BDAD CAB BOCSAOCS 同理可得 G EF D BC A 专题二 三角形的五心 11 AOBSBOCS 得 AOBSAOCS 又与底都为 AOC AOB AO 它们高相等 即 点和点到的距 BCAF 离相等 对于 AFB 和 AFC 底相同 为 AF 高相等 分别为点和点到的距离 BCAF AFCSAFBS 又对于和 高相同AFB AFC 它们底相等 即 BFBC 为三角形的中线 AF 例题 例题 例例 1 1 是的三条中线 P是任意一点 证明 在中 其ADCFBE ABC PCFPBEPAD 中一个面积等于另外两个面积的和 第 26 届莫斯科数学奥林匹克 分析 分析 设为重心 直线与相交 从分别作该直线的垂线 垂GABC PGBCAB FEDCA 足为 FEDCA 易证 CCAAEEFFCCDDAA 2 2 2 FFDDEE 有 PGFSPGDSPGES 两边各扩大 倍 有3 PCFSPADSPBES 例例 如果三角形三边的平方成等差数列 那么该三角形和由它的三条中线围成2 的新三角形相似 其逆亦真 分析 分析 将简记为 由三中线围成的三角形简记为 为重心 连ABC CFBEAD G 到 使 连 则就是 DEHDEEH HFHC HCF 成等差数列 222 1cba 若为正三角形 易证 ABC 不妨设 有cba 222 1 22 2 CFabc 222 1 22 2 BEcab 222 1 22 2 ADbca 分别代入以上三式 得将 222 2bca CF a 2 3 BE b 2 3 AD c 2 3 A A F F G E E D C P CB D 初等数学研究 几何 一 12 Q P A O BC BE BE AD 2 3 a 2 3 b 2 3 c 故有 cba 2 成等差数列 222 cba 中当 时 cba 中 ADBECF 2 a CF S S 据 三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 有 4 3 4 3 S S 22222222 2 2 223 4 3 bcacbaACFa a CF 二 三角形外心及外心定理 外外心心的的定定义义 三角形外接圆的圆心 叫做三角形的外心 如左图 为 ABC 的重心 外外心心的的性性质质 1 三角形的三条边的垂直平分线交于一点 该点即为该三角形 外心 2 外心到三顶点的距离相等 3 若是的外心 则 为锐角或直角 或OABC ABOC 2A 为钝角 ABOC 2360A 4 当三角形为锐角三角形时 外心在三角形内部 当三角形为钝角三角形时 外心 在三角形外部 当三角形为直角三角形时 外心在斜边上 与斜边的中点重合 5 设三角形的三条边长 外接圆的半径 面积分别为 则 SRcba SabcR4 6 过的外心任作一直线与边 或延长线 分别ABC OACAB 相交于两点 QP 则 如右图 sin2 sin2sin2sin2sin2AB APBACAQCABC 7 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径 之和 外心的证明 外心的证明 外心 三条中垂线的交点 证明 连结 并过点作于点 OCOBOA OBCOF F 由线段中垂线定理 线段中垂线上一点到 两端点的距离相等 得 OCOAOBOA OCOB 点在线段的中垂线上 OBC A O BC 专题二 三角形的五心 13 为线段的中垂线OF BC 例题例题 例例 3 3 底边上一点引交于 引交 于 作ABC 过等腰BCP PMCAABM PNBAACN 点关于的对称点 试证 点在外接圆上 PMN P PABC 杭州大学 中学数学竞赛习题 分析 分析 由已知可得 MPMPMB NPNPNC 是故点M的外心 点BPP 是N的外心 有 PCP 2 1 2 1 BACBMPPBP 2 1 2 1 BACPNCCPP BACPCPPBPCBP 点与从而 P 共圆 即CBA 在 P 外接圆上 ABC 平分由于PP 显然还有CBP PCBPCPBP 例例 4 4 ABC 在边上分别取点CABCAB 证明以SQP 与的外心为顶点的三角形CSQBQPAPS 相似 ABC B 波拉索洛夫 中学数学奥林匹克 分析分析 设是 123 O O O APSBQPCSQ 的外心 作出六边形 123 O PO QO S 后再由外心性质可知 CQSOBPQOASPO 2 2 2 321 360 321 QSOPQOSPO 360 133221 SOOQOOPOO从而又知 绕着将 32QO O 点旋转到 3 O 易判断 3 KSO 121 POOKSO 31321 KOOOOO 同时可知 KOOOKOOOO 1231312 2 1 KSOSOO 112 2 1 2 1 2112 2 1 2 1 OPOSOO 2 1 1 ASPO 故同理有BOOO 321 相似于 321 OOO ABC 初等数学研究 几何 一 14 O E D F A BC G H BC O A 三 三角形垂心及垂心定理 垂垂心心的的定定义义 三角形的三条高 所在直线 交于一点 该点叫做三角形的垂心 如左图 为的垂心OABC 垂垂心心的的性性质质 1 三角形三个顶点 三个垂足 垂心这个点可以得到个四点圆 76 2 三角形外心 重心和垂心三点共线 且 此直线称为三角OGH2 1 GHOG 形的欧拉线 Euler line 如右图 3 垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的倍 2 4 垂心分每条高线的两部分乘积相等 5 三角形任一顶点到垂心的距离 等于外心到对边的距离的 倍 2 垂垂心心的的证证明明 垂心 三条高的交点 证明 连结 连结交于点 DEAOBCF 90BECBDC 四点共圆 以为直径的圆 CEDB BC CDEFBO 同弦 弧 所对圆周角相等 又 90AEOODA 四点共圆 以为直径的圆 EADO AO 同弦 弧 所对圆周角相等 ADEAOE 且 BOFAOE BOFADE 由 可知 90ODAOFB 为边上的高 AF BC 定定理理证证明明 已知 中 是两条高 交于点 连接并延长交ABC BEAD BEAD OCO 于点 求证 ABFABCF 证明 连接 四点共圆 DE 90AEBADB EDBA ABEADE 专题二 三角形的五心 15 ADCAEODACEAO AEO ADC ACADAOAE EAD OAC ABEADEACF 又 90BACABE 90BACACF ABCF 因此 垂心定理成立 例例题题 例例 5 5 设为内接四边形 依次为 4321 AAAAO圆 4321 H H H H 的垂心 求证 四点共圆 并确定 432 AAA 143 AAA 214 AAA 321 AAA 4321 H H H H 出该圆的圆心位置 1992 全国高中联赛 分析 分析 连接 记圆半径 12H A 21H A 21H H 为 由知R 432 AAA 132 12 sinHAA HA 2R 12H A A2Rcos 423 AA 由得 431 AAA 21H A A2Rcos 413 AA 但 故 423 AAA 413 AAA 2112H AHA 易证 于是 2112H AHA平行且等于 2112 HAHA 2112 HAHA 故得 设与的交点为 故与关于点成中心 21 H H 12A A 11 H A 22A HM 21 H H 12A AM 对称 同理 与 与 与都关于点成中心 32 H H 32A A 43 H H 43A A 14 H H 14A AM 对称 故四边形与四边形关于点成中心对称 4321 HHHH 4321 AAAAM 两者是全等四边形 在同一个圆上 后者的圆心设为 4321 H H H HQ 与也关于成中心对称 由 两点 点就不难确定了 QOMOMQ 例例 6 6 为的垂心 分别是的中心 一个以为圆心的交直线HABC FED ABCABC HH圆 于 DEFD EF 212121 C C B B A A 求证 212121 CCCBBBAAAA CB 1989 加拿大数学奥林匹克训练题 分析 分析 只须证明即可 设 222 CCBBAA 外a BCb CAc ABABC 接圆半径为 的半径为 RH圆r O A A A A 1 2 3 4 H H 1 2 H H H M A B B AA B C C C F 1 2 1 1 1 2 2 2 D E 初等数学研究 几何 一 16 O BC A O A B C N 连 交于 1 HAAHEFM 2 1 AA 2222222 1 2 MHAMrMHrAMMAAM 22 22 11 11 22 AMMHAHAHAH 又 22 2 2 11 cosAHbcAAHABAHAHHAAH 而 ABH AH sin 2R A cos4R 22 A a sin 2R A sin4R 222 a 222 4Ra AH 222 4RaAH 由 有 222 222222222 1 1 r bc 4R4 22 bca AAaabcRr bc 同理 222222 1 1 4 2 BBabcRr 222222 1 1 4 2 CCabcRr 故有 212121 CCBBAA 四 三角形内心及内心定理 内内心心的的定定义义 三角形内切圆的圆心 叫做三角形的内心 如左图 为的内心OABC 内内心心的的性性质质 1 三角形的三条内角平分线交于一点 该点即为三角形的内心 2 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一 3 为三角形的内心 分别为三角形的三个顶点 延长交BC 边于 OCBA AOBCN 则有 如右图 BCACABCNACBNABONAO 专题二 三角形的五心 17 O A B C D I O A B C a b c D K O A B C 4 设为的内心 则 OABC ABOC 1290 5 设为内一点 所在直线交的外接圆OABC AOABC 于 为DO 内心的充要条件是 如右图 ABC DCDBOD 6 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心 的距离相等 反之 若为的平分线 在的外接圆IABC A ADDABC 上 上的点 且 则为的内心 如左图 DBOD OABC 7 设为的内心 的平分线交OABC cABbACaBC A 于 交的外接圆于 则BCKABC D a cb DK DO DO AD KO AO 如右图 内心的证明 内心的证明 内心 三条角平分线的交点 证明 过点作三边的垂线 垂足分别为 OFED 由角平分线定理 角平分线上一点到两边的 距离相等 得 OEOFOFOD OEOD 为角的平分线 OA BAC 例题 例题 例例 7 7 为圆内接凸四边形 取ABCD DAB ABC BCD 的内心 CDA 4321 OOOO 求证 为矩形 4321 OOOO 1986 中国数学奥林匹克集训题 证明见 中等数学 1992 4 例例 8 8 已知圆内接 圆切于且与圆内切 试证 中点是OABC OACAB FE OEFP 之内心 ABC B 波拉索洛夫 中学数学奥林匹克 分析 分析 在第 20 届IMO中 美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例 但它增加了条件 当 怎样证明呢 ACAB ACAB 如图 显然中点 圆心 中点都在平分线上 易知 EFPQBCKBAC sin r AQ AB C D O O O 2 3 4 O1 初等数学研究 几何 一 18 QNMQAQQK MQ QN AQ AQ 2 sin 2 sin Rrr Rr r 由和 Rt EPQ sinAQr sin sin 2 sin2PKPQQKrRrR BKPK 利用内心等量关系之逆定理 即知是这内心 PABC 五 三角形旁心及旁心定理 旁旁心心的的定定义义 三角形的旁切圆 与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆 的圆心 叫做三 角形的旁心 如右图 为的内心OABC 旁旁心心的的性性质质 1 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点 该点即为三角形的 旁心 2 每个三角形都有三个旁心 3 旁心到三边的距离相等 4 三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 一个三角形有三 个旁心 而且一定在三角形外 旁旁心心的的证证明明 旁心 三角形的旁切圆的圆心 叫做三角形的旁心 证明 过点作三边的垂线 垂足分别O为 FED 由角平分线定理 角平分线上一点 到两边的距离相等 得 OEODOFOD OEOF 为角的平分线BO ABC 例题 例题 例例 9 9 在直角三角形中 求证 2prrrr cba O D A B E C A M B C K N E R O Q F r P 专题二 三角形的五心 19 式中分别表示内切圆半径及与相切的旁切圆半径 表示半周 cba rrrr cba p 杭州大学 中学数学竞赛习题 分析 分析 设中 为斜边 先来证明一个特性 ABCRt c bpapcpp cbacbacpp 2 1 2 1 2 2 11 42 abcab 2 1 2 1 cbacbabpap abcba 2 1 4 1 2 2 bpapcpp 观察图形 可得 bpACAFra apBCBGrb pCKrc 而 2 1 cpcbar 24pcbappapbpcprrrr cba 由 及图形易证 例例 1010 是边上的任意一点 分别是 内切圆的半径 MABC ABrrr 21 AMC BMC ABC 分别是上述三角形在内部的旁切圆半径 qqq 21 ACB 求证 12 12 rrr qqq IMO 12 分析 对任意 由正弦定理可知 CBA 2 sin A OAOD 2 sin sin 2 sin A BOA B BA sinsin 22 sin 2 AB AB AB coscos 22 sin 2 AB O EAB AB 22 ODAB tgtg O E A B C O O E D 初等数学研究 几何 一 20 亦即有 1 1 q r 2 2 q r 2222 B tg CNB tg CMA tg A tg 22 B tg A tg q r 附附 三角形的中心 只有正三角形才有中心 这时重心 内心 外心 垂心 四心合一 练练习习题题 1 I为 ABC之内心 射线AI BI CI交 ABC外接圆于A B C 则AA BB CC ABC周长 1982 澳大利 亚数学奥林匹克 2 T 的三边分别等于 T的三条中线 且两个三角形有一组角相等 求证这两个三角形相 似 1989 捷克数学奥林匹克 3 I为 ABC的内心 取 IBC ICA IAB的外心O1 O2 O3 求证 O1O2O3与 ABC有 公共的外心 1988 美国数学奥林匹克 4 AD为 ABC内角平分线 取 ABC ABD ADC的外心O O1 O2 则 OO1O2是等腰三角 形 5 ABC中 C 90 从AB上M点作CA CB的垂线MP MQ H是 CPQ的垂心 当M是AB 上动点时 求H的轨迹 IMO 7 6 ABC的边BC AB AC 取AB AC中点M N G为重心 I为内心 试证 过A M N 2 1 三点的圆与直线GI相切 第 27 届莫斯科数学奥林匹克 7 锐角 ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1 H2 H3 已知 H1 H2 H3 求作 ABC 第 7 届莫斯科数学奥林匹克 专题三 等腰三角形 21 专题三专题三 等腰三角形等腰三角形 有两边相等的三角形是等腰三角形 相等的两个边称为这个三角形的腰 探索等腰三角形的性质 它是全等三角形的继续 是后面研究四边形等内容的基础 是 轴 对称 的重要组成部分 下面介绍一些关于等腰三角形的例题来了解一下等腰三角形的一些性质 例例 1 1 在等腰 ABC 中 AB BC 在 BC 上任意一点 P 作 PE AB PF AC 在 BC 延长线上点 M 作 MN AB MQ AC 证明 对任意点 P 使 PE PF 为定常且等于一腰上的高 对任意点 M 使 MN MQ 为定常且等于一腰上的高 BC M Q A P E F NH 证明 证明 连接 AP 作 BH AC 因为 ABC S ABP S ACP S 而 2 1 2 1 2 1 PFACSPEABSBHACS ACPABPABC 所以 AC BH AB PE AC PF 又因为 AB AC 所以 BH PE PF 证毕 连接 AM 因为 ACMABCABM SSS 而 2 1 2 1 2 1 MQACSBHACSMNABS ACMABCABM 所以 AB MN AC BH AC MQ 又因为 AB AC 所以 MN BH MQ 即 MN MQ BH 证毕 例例 2 2 在距形 ABCD 中 AC 和 BD 为对角线 AD a AB b AD 上任一点 P 分别作两对角线的高 长 度分别为 m 和 n 证明 22 ab mn ab O A BC D P H 初等数学研究 几何 一 22 证明 证明 作 AH BD 记 AH 的长为 h 由例 1 和题意可知 m n h 因为 2 1 2 1 ADABSAHBDS ABDABD 所以 BD AH AB AD 又因为四边形 ABCD 为矩形 所以 2 1 2 122 abh ba 则 h 即证毕 ba ab 22 22 ab mn ab 例例 3 3 证明等边三角形 ABC 内任一点到三边的距离和等于一边上的高 A B C O D F EH 证明 证明 如图所示 等边 ABC 中任一点 O 作 OD AC OE BC OF AB 连接 AO BO CO 作 AH BC BOCAOCAOBABC SSSS 因为 2 1 2 1 2 1 ODACSOFABSAHBCS AOCAOBABC 2 1 OEBCS BOC 又三角形 ABC 为等边的 所以 BC AH BC OF OD OE 即 AH OF OD OE 证毕 例例 4 4 在等腰三角形 ABC 中 AB AC P 为 BC 上任意一点 证明PCPB APAB 22 CB A PD 证明 证明 作 AD BC 则 222 ABBDAD 所以 222 APDPAD 又因为 BD DP BD DP PC PB 2222 PC PBABAPBDDP 所以 证毕 22 ABAPPB PC 例例 5 5 在等腰三角形 ABC 中 AB AC A B C 在 AB 上取点 P 使 20 0 80 0 AP BC 求 BPC 专题三 等腰三角形 23 B C Q A P 证明 因为 所以可以以 AP 为底边作等腰 QAP ABC 连接 因为 QAP ABC 所以 QAP B 且 AQ AB AC 因为 B A 所以 QAC 0 80 0 20 0 60 所以 AQC 为等边三角形 则 AQC 且 QC QA QC 0 60 则 PQC QPC 0 40 0 70 所以 BPC 0 180 0 70 0 80 0 30 例例 6 6 在等腰三角形 ABC 中 AB AC A N 为 AC 上一点 M 为 AB 上一点 连接 0 20 MN NBC MCB 求 NMC 0 50 0 60 B C A N M P 解 解 在 AB 上取点 使 PCB 连接 PN PC 0 20 则由题意可得 PCN 0 60 因为 PCB ABC 所以 BPC 0 20 0 80 0 80 所以 CP CB 因为 NBC ACB 所以 BNC 0 50 0 80 0 80 所以 CN CB 所以 CN CP 又 PCN 0 60 所以 NPC 为等边三角形 又因为 PMC PCM 所以 PM PC 则 PM PN 0 40 所以 PMN 所以 NMC 0 70 0 70 0 40 0 30 例例 7 7 所