高三数学一轮复习（3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第五章 平面向量 第三讲 平面向量的数量积及向量的应用课件 理.ppt

目录contents 考情精解读 考点1 考点2 a 知识全通关 b 题型全突破 c 能力大提升 考法1 考法2 考法4 考法3 方法 考点3 考点4 考点5 考情精解读 考纲解读 命题趋势 命题规律 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 考纲解读 命题规律 命题趋势 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 考纲解读 命题规律 返回目录 1 热点预测预计高考对本讲内容的考查以向量的模 夹角及数量积为主 以向量数量积的运算为载体 综合三角函数 解析几何等知识进行考查 是一种新的趋势 复习时应予以关注 以客观题为主 有时出现在解答题中 分值5 12分 2 趋势分析以图形 三角函数 解析几何等知识为载体 考查数量积的定义和应用 这是2018年高考命题的主要趋势 命题趋势 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 知识全通关 考点一平面向量的数量积 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 3 平面向量数量积的几何意义 1 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是a b的夹角 则 b cos 叫作向量b在向量a的方向上的投影 a cos 叫作向量a在向量b的方向上的投影 2 a b的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 注意投影和两向量的数量积都是数量 不是向量 规律总结 设两个非零向量a与b的夹角为 则 0 cos 1 a b a b 180 cos 1 a b a b 为锐角 a b 0且向量a b不共线 为钝角 a b 0且向量a b不共线 为直角 cos 0 a b 0 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 考点2数量积的性质和运算律 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 辨析比较 实数运算与向量数量积运算的区别和联系1 在实数运算中 若ab 0 则a与b中至少有一个为0 而在向量数量积的运算中 不能从a b 0推出a 0或b 0成立 实际上由a b 0可推出以下四种结论 1 a 0 b 0 2 a 0 b 0 3 a 0 b 0 4 a 0 b 0 但a b 2 在实数运算中 若a b r 则 ab a b 但对于向量a b 却有 a b a b 当且仅当a b时等号成立 这是因为 a b a b cos 而 cos 1 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 3 实数运算满足消去律 若bc ca c 0 则b a 在向量数量积的运算中 若a b a c a 0 则向量c b在向量a的方向上的投影相同 而不能由a b a c a 0 得到b c 4 实数运算满足乘法结合律 但向量数量积的运算不满足乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 3 实数运算满足消去律 若bc ca c 0 则b a 在向量数量积的运算中 若a b a c a 0 则向量c b在向量a的方向上的投影相同 而不能由a b a c a 0 得到b c 4 实数运算满足乘法结合律 但向量数量积的运算不满足乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 3 实数运算满足消去律 若bc ca c 0 则b a 在向量数量积的运算中 若a b a c a 0 则向量c b在向量a的方向上的投影相同 而不能由a b a c a 0 得到b c 4 实数运算满足乘法结合律 但向量数量积的运算不满足乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 3 实数运算满足消去律 若bc ca c 0 则b a 在向量数量积的运算中 若a b a c a 0 则向量c b在向量a的方向上的投影相同 而不能由a b a c a 0 得到b c 4 实数运算满足乘法结合律 但向量数量积的运算不满足乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 3 实数运算满足消去律 若bc ca c 0 则b a 在向量数量积的运算中 若a b a c a 0 则向量c b在向量a的方向上的投影相同 而不能由a b a c a 0 得到b c 4 实数运算满足乘法结合律 但向量数量积的运算不满足乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a不一定共线 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 考点三平面向量数量积的坐标表示 已知非零向量a x1 y1 b x2 y2 为向量a b的夹角 易错提醒 1 当a b 0时 cos 0 则 是锐角或 0 此时cos 1 2 当a b 0时 cos 0 则 是钝角或 180 此时cos 1 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 考点四平面向量应用举例 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 1 向量在平面几何中的应用基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景 平面几何图形的许多性质 如全等 相似 平行 垂直等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理中的力 速度 位移都是向量 所以它们的分解与合成可以用向量的加法或减法来解决 2 物理中的功w是一个标量 它是力f与位移s的数量积 即w f s f s cos 题型全突破 考法1平面向量的数量积运算 继续学习 考法指导1 利用坐标计算数量积第一步 欲计算两个向量的数量积 先根据共线 垂直等条件计算出这两个向量的坐标 求解过程要注意方程思想的应用 第二步 根据数量积的坐标公式进行运算即可 2 根据定义计算数量积求向量a b的数量积a b 有以下两种思路 1 若两向量共起点 则两向量的夹角直接可得 根据定义即可求得数量积 若两向量的起点不同 需要通过平移使它们的起点重合 然后再计算 2 根据图形之间的关系 用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a b 然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 3 根据数量积求参数的值若已知两平面向量的数量积 则根据坐标公式或定义列出含有参数的方程 再解方程即可 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 点评解法一直接利用了向量数量积的定义 将所求问题放在一个直角三角形中来求解 求解时注意两向量夹角的选取 解法二抓住了 三向量模的平方和 与 三向量两两数量积的和 之间的关系 相对来说解法二更加简捷 原因就在于解法二从整体上把握了已知与所求之间的关系 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 返回目录 化学有机化学基础 选修五 突破攻略 1 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时 一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 2 两向量a b的数量积a b与代数中a b的乘积写法不同 不应该漏掉其中的 继续学习 考法指导1 两向量垂直的判断方法及应用 1 若a b为非零向量 则a b a b 0 若非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 2 一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的 向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径 注意向量垂直问题体现了 形 与 数 的相互转化 可用来解决几何中的线线垂直问题 考法2向量数量积的应用 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 考法指导用向量法解决平面几何问题 一般来说有两个方法 1 几何法 选取适当的基底 基底中的向量尽量已知模或夹角 将题中涉及的向量用基底表示 利用向量的运算法则 运算律或性质计算 2 坐标法 建立平面直角坐标系 实现向量的坐标化 将几何问题中的长度 垂直 平行等问题转化为代数运算 一般地 存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 考法3向量在平面几何中的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 突破攻略 在运用向量处理平面几何问题时 应注意以下几个方面 1 运用向量加减的几何意义 2 运用数乘向量来处理平行问题 3 运用向量的数量积来处理夹角或垂直的问题 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 考法指导平面向量的数形结合性让它在物理学中具有广泛的应用 主要体现在以下几个方面 1 力 速度 加速度 位移等都是向量 它们的合成与分解就是向量的加 减法 运动的叠加亦用到向量的合成 2 动量mv是数乘向量 3 功是力f与所产生位移s的数量积 继续学习 考法4向量在物理中的应用 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 考法示例6质量为m的物体静止地放在斜面上 斜面与水平面的夹角为 求斜面对物体的摩擦力和支持力的大小 思路分析图5 3 8物体共受三个力 在三个力作用下保持平衡 即它们的合力为0 然后利用物理知识和向量的运算求解 解析如图5 3 8所示 物体受三个力 重力g 竖直向下 大小为mg 斜面对物体的支持力f 垂直于斜面 向上 大小为 f 摩擦力f 与斜面平行 向上 大小为 f 由于物体静止 故这三个力平衡 合力为0 即g f f 0 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 记垂直于斜面向下 大小为1n的力为e1 平行于斜面向下 大小为1n的力为e2 以e1 e2为基底 则f f 0 f 0 f 由图知e1与g的夹角为 则g mgcos mgsin 由 得g f f mgcos f mgsin f 0 0 所以mgcos f 0 mgsin f 0 故 f mgcos f mgsin 点评当三个力成平衡状态时 这三个力之和等于零向量 其中两个向量的和与第三个向量是相反向量 这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个平行四边形或者三角形中 通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 考法指导平面向量常与几何问题 三角函数 解三角形等问题综合起来考查 解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算 进一步转化为实数运算 进而利用相关知识求解 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 考法5向量的综合应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 继续学习 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 能力大提升 思想方法巧解平面向量题的5种方法 继续学习 向量是既有大小又有方向的量 具有几何和代数形式的 双重性 常作为工具来解决其他知识模块的问题 在历年高考中都会对该部分内容进行考查 解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决 基于平面向量的双重性 一般可以从两个角度进行思考 一是利用其 形 的特征 将其转化为平面几何的有关知识进行解决 二是利用其 数 的特征 通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决 下面对辽宁的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 返回目录 数学第五章 第三讲平面向量的数量积及向量的应用 解法一目标不等式法 继续学习 解析取向量a b作为平面向量的一组基底 设c ma nb 由 c 1 即 ma nb 1 可得 ma 2 nb 2 2mna b 1 由题意 知 a b 1 a b 0 整理 得m2 n2 1 而a c 1 m a nb b c ma 1 n b 故由 a c b c 0 得 1 m a nb ma 1 n b 0 展开 得m m 1 a2 n n 1 b2 0 即m2 m n2 n 0 又m2 n2 1 故m n 1 而a b c 1 m a 1 n b 故 a b c 2 1 m a 1 n b 2 1 m 2a2 2 1 m 1 n a b 1 n 2b2 1 m 2 1 n 2 m2 n2