【专项训练】-初三数学-垂径定理

扫码关注作业帮一课初中服务号 做整条街资料最全的崽 每周六 10 点 作业帮一课初中 服务号定时上新独家资料 等你来抢 作业帮一课初中独家资料之 初三数学 作业帮一课初中独家资料之 初三数学 例 1 例 1 如图 O 的两条弦 AB CD 互相垂直 垂足为 E 且 AB CD 已知 CE 1 ED 3 则 O 的半径是 答案 5 解析 作 OM AB 于 M ON CD 于 N 连结 OA AB CD CE 1 ED 3 OM EN 1 AM 2 OA 点评 对于垂径定理的使用 一般多用于解决有关半径 弦长 弦心距之间的运算 配合 勾股定理 问题 例 2例 2 如图所示 O 两弦 AB CD 垂直相交于 H AH 4 BH 6 CH 3 DH 8 求 O 半径 答案 如图所示 过点 O 分别作 OM AB 于 M ON CD 于 N 则四边形 MONH 为矩形 连结 OB 22 2 1 5 圆的基本概念和性质 圆的基本概念和性质 专项训练 专项训练 一一 经典例题经典例题 扫码关注作业帮一课初中服务号 做整条街资料最全的崽 每周六 10 点 作业帮一课初中 服务号定时上新独家资料 等你来抢 在 Rt BOM 中 例例 3 3 如图 AB 为 O 的弦 M 是 AB 上一点 若 AB 20cm MB 8cm OM 10cm 求 O 的半径 答案 14cm 例 4 已知 O 的半径为 10cm 弦 AB CD AB 12cm CD 16cm 求 AB CD 间的距离 答案与解析 1 如图 1 当 O 的圆心 O 位于 AB CD 之间时 作 OM AB 于点 M 并延长 MO 交 CD 于 N 点 分别连结 AO CO AB CD ON CD 即 ON 为弦 CD 的弦心距 AB 12cm CD 16cm AO OC 10cm 8 6 14 cm 图 1 图 2 2 如图 2 所示 当 O 的圆心 O 不在两平行弦 AB CD 之间 即弦 AB CD 在圆心 O 的同侧 时 1 2 MOHNCNCHCDCH 11 3 8 32 5 22 CHDHCH 111 46 5 222 BMABBHAH 22 5 5 2 OBBMOM 扫码关注作业帮一课初中服务号 做整条街资料最全的崽 每周六 10 点 作业帮一课初中 服务号定时上新独家资料 等你来抢 同理可得 MN OM ON 8 6 2 cm O 中 平行弦 AB CD 间的距离是 14cm 或 2cm 点评 解这类问题时 要按平行线与圆心间的位置关系 分类讨论 千万别丢解 例 5 要测量一个钢板上小孔的直径 通常采用间接的测量方法 如果用一个直径为 10mm 的标准钢珠放在小孔上 测得钢珠顶端与小孔平面的距离 h 8mm 如图所示 求此小孔的 直径 d 答案与解析 过 O 作 MN AB 交 O 于 M N 垂足为 C 则 OC MC OM 8 5 3mm 在 Rt ACO 中 AC AB 2AC 2 4 8mm 答 此小孔的直径 d 为 8mm 点评 应用垂径定理解题 一般转化为有关半径 弦 弦心距之间的关系与勾股定理的运 算问题 例 6 不过圆心的直线l交 O 于 C D 两点 AB 是 O 的直径 AE l于 E BF l于 F 1 在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形 2 请你观察 1 中所画图形 写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 OA OB 除 外 不再标注其他字母 找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中 不写推理过程 3 请你选择 1 中的一个图形 证明 2 所得出的结论 答案与解析 1 如图所示 在图 中 AB CD 延长线交于 O 外一点 在图 中 AB CD 交于 O 内一点 1 105mm 2 OA 22 534mm 扫码关注作业帮一课初中服务号 做整条街资料最全的崽 每周六 10 点 作业帮一课初中 服务号定时上新独家资料 等你来抢 在图 中 AB CD 2 在三个图形中均有结论 线段 EC DF 3 证明 过 O 作 OG l于 G 由垂径定理知 CG GD AE l于 E BF l于 F AE OG BF AB 为直径 AO OB EG GF EC EG CG GF GD DF 点评 在运用垂径定理解题时 常用的辅助线是过圆心作弦的垂线 构造出垂径定理的基 本图形 一 选择题一 选择题 1 1 如图所示 三角形ABC的各顶点都在 O上 AC BC CD平分 ACB 交圆O于点D 下列结 论 CD是 O的直径 CD平分弦AB CD AB 其中正确的有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 2 2 下面四个命题中正确的是 A 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D 在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 3 3 如图 弦 CD 垂直于 O 的直径 AB 垂足为 H 且 CD BD 则 AB 的长为 A 2 B 3 C 4 D 5 ACBC ADBD 2 23 二二 巩固练习巩固练习 C O B D A 扫码关注作业帮一课初中服务号 做整条街资料最全的崽 每周六 10 点 作业帮一课初中 服务号定时上新独家资料 等你来抢 第 3 题 第 5 题 第 6 题 4 4 O 的半径 OA 1 弦 AB AC 的长分别是 则 BAC 的度数为 A 15 B 45 C 75 D 15 或 75 5 5 圆材埋壁 是我国古代著名数学著作 九章算术 中的一个问题 今有圆材 埋在壁 中 不知大小 以锯锯之 深一寸 锯道长一尺 问径几何 用现在的数学语言表述 是 如图所示 CD 为 O 的直径 弦 AB CD 垂足为 E CE 为 1 寸 AB 为 10 寸 求直 径 CD 的长 依题意 CD 长为 A 寸 B 13 寸 C 25 寸 D 26 寸 6 6 如图 EF 是 O 的直径 AB 是弦 EF 10cm AB 8cm 则 E F 两点到直线 AB 的距离之 和为 A 3cm B 4cm C 8cm D 6cm 二 填空题二 填空题 7 如图 O 的弦 AB 垂直于 CD E 为垂足 AE 3 BE 7 则圆心 O 到 CD 的距离是 8 如图 P 为 O 的弦 AB 上的点 PA 6 PB 2 O 的半径为 5 则 OP 7 题图 8 题图 9 题图 9 如图 O 的弦 AB 垂直于 AC AB 6cm AC 4cm 则 O 的半径等于 cm 10 圆心都在y轴上的两圆相交于A B两点 如果A点的坐标为 那么B点的坐标为 11 在图 11 中 半圆的直径 AB 4cm O 为圆心 半径 OE AB F 为 OE 的中点 CD AB 则弦 CD 的长为 第 12 题 12 如图 点 A B 是 O 上两点 AB 10 点 P 是 O 上的动点 P 与 A B 不重合 连结 AP 23 25 2 22 A E O F B P 扫码关注作业帮一课初中服务号 做整条街资料最全的崽 每周六 10 点 作业帮一课初中 服务号定时上新独家资料 等你来抢 PB 过点 O 分别作 OE AP 于点 E OF PB 于点 F 则 EF 三 解答题三 解答题 13 如图 在 O中 CD是直径 弦AB CD 垂足为E CD 15 求弦AB和 AC的长 14 如图所示 C 为的中点 CD 为直径 弦 AB 交 CD 于 P 点 PE BC 于 E 若 BC 10cm 且 CE BE 3 2 求弦 AB 的长 15 如图所示 已知 O 是 MPN 的平分线上的一点 以 O 为圆心的圆与角的两边分别交于点 A B 和 C D 求证 PB PD 若角的顶点 P 在圆上或圆内 中的结论还成立吗 若不成立 请说明理由 若成立 请加以证明 16 如图 点 M N 分别是 的中点 且 MN 交 AB 于 D 交 AC 于 E 求证 ADE 是等腰三角形 3 5OE OC ACB ABAC 三三 参考答案参考答案与试题解析与试题解析 扫码关注作业帮一课初中服务号 做整条街资料最全的崽 每周六 10 点 作业帮一课初中 服务号定时上新独家资料 等你来抢 一 选择题 一 选择题 1 答案 D 解析 由圆的对称性 等腰三角形的三线合一的性质可得到 5 个结论都是正确的 2 答案 D 解析 根据垂径定理及其推论来判断 3 答案 B 解析 由垂径定理得 HD 由勾股定理得 HB 1 设圆 O 的半径为 R 在 Rt ODH 中 则 由此得 R 所以 AB 3 故选 B 4 答案 D 解析 分弦 AB AC 在圆心的同侧和异侧讨论 5 答案 D 解析 连结 AO CD 为直径 CD AB 设 O 半径为 R 则 OE R 1 Rt AOE 中 OA 2 AE2 OE2 R 2 52 R 1 2 R 13 CD 2R 26 寸 故选 D 6 答案 D 解析 E F 两点到直线 AB 的距离之和为圆心 O 到 AB 距离的 2 倍 二 填空题 二 填空题 7 答案 2 8 答案 9 答案 10 答案 解析 因为 y 轴是两圆的对称轴 所以两圆的交点关于 y 轴对称 则 B 11 答案 解析 连接 OC 易求 CF CD 12 答案 5 2 2 2 2 21RR 3 2 1 5 2 AEAB 13 13 22 22 2 3cm 3 2 3cm 扫码关注作业帮一课初中服务号 做整条街资料最全的崽 每周六 10 点 作业帮一课初中 服务号定时上新独家资料 等你来抢 解析 易证 EF 是 APB 的中位线 EF 三 解答题三 解答题 13 答案与解析 连结OA CD 15 OA OC 7 5 OE 4 5 CE 3 14 答案与解析 因为 C 为的中点 CD 为直径 弦 AB 交 CD 于 P 点 所以 CD AB 由 BC 10cm 且 CE BE 3 2 得 CE 6cm BE 4cm 设则解得 15 答案与解析 1 证明 过 O 作 OE PB 于 E OF PD 于 F PO 平分 MPN OE OF PE PF AB CD BE DF PE BE PF DF PB PD 2 上述结论仍成立 如下图所示 证明略 16 答案与解析 连结 OM ON 分别交 AB AC 于 F G 点 1 5 2 AB 3 5OE OC 2222 2222 7 54 56 212633 5 AEOAOE ABAEACAECE ACB BPa CPb 222 2222 10 46 ab ab 2 10a 24 10