高中数学第一章1.6三角函数模型的简单应用课堂导学案.docx

1.6 三角函数模型的简单应用课堂导学三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题【例1】 某港口的水深y（米）是时间t(0t24,单位：小时）的函数，下面是水深数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asint+b的图象.(1)试根据以上数据，求出y=Asint+b的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间）？思路分析：（1）从拟合曲线可知，函数y=Asint+b中的b，由t=0时的函数值取的，t=3时取得最大值，进而可求得、A、b的值，即得函数的表达式.(2)根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可回答题中的两问.解:（1）从拟合曲线可知：函数y=Asint+b在一个周期内由最大变到最小需9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此=12,=.又当t=0时，y=10;当t=3时，ymax=13.b=10,A=13-10=3.于是所求的函数表达式为y=3sinx+10.(2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）.由拟合曲线可知，一天24小时，水深y变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3点前进港，而从第二个周期中的下午15点后离港.令y=3sinx+1011.5，可得sinx.2k+x2k+ (kZ).12k+1x12k+5(kZ).取k=0，则1x5；取k=1，则13x17.而取k=2时，则25x29（不合题意）.从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时.2.从实际问题中抽象出三角函数模型【例2】 如右图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).(1)求函数h=f(t)的关系式；（2）画出函数h=f(t)的图象.解：(1)如下图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.设点A的坐标为（x,y），则h=y+0.5.设OO1A=,则cos=,y=-2cos+2.又=t,即=t，所以y=-2cost+2,h=f(t)=-2cost+2.5.(2)函数h=-2cost+2.5的图象如下温馨提示 呈现周期性变化规律的实际问题的解决往往与三角函数有关. 实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同于常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：（1）自变量的变化范围.（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.（3）要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当数学模型.3.绝对值对周期函数的影响【例3】画出下列函数图象并观察其周期性.（1）y=sinx;（2）y=cosx.思路分析：本题中含有x，故应先对x进行分类讨论去掉绝对值.根据绝对值的意义可知，x0的部分应是y=sinx,y=cosx右半平面的部分，由于这几个函数都是偶函数，其图象应关于y轴对称，于是可作出x0部分的图象.解：(1)y=sinx=其图象如下图所示：从图中可以看出y=sinx不再是周期函数.(2)y=cosx=其图象如下图所示：从图中可以看出y=cosx仍是周期函数，其周期为2,而且y=cosx的图象与y=cosx的图象相同.各个击破类题演练1已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0t24，单位小时）的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b.(1)根据以上数据，求出函数y=Acost+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：（1）由上表中数据，知周期T=12.=.由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.由t=3,y=1.0,得b=1.0.A=0.5,b=1,振幅为，y=cost+1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放,cost+11,cost0.2k-t2k+,即12k-3t12k+3.0t24,故可令中k分别为0,1,2得0t3或9t15或21t24.在规定时间上午8:00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00.变式提升1(2006广东模拟)如下图某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin（x+）+b.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；（2）写出这段曲线的函数解析式.解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.(2)观察图象可知，从814时的图象是y=Asin（x+）+b的半个周期的图象.A=(50-30)=10,b=(50+30)=40.=14-8,=,y=10sin(x+)+40.将x=8,y=30代入上式，解得=,所求解析式为y=10sin(x+)+40，x8，14.类题演练2要在宽为6米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时，才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大？（已知：电灯对课桌的照度E=cos,I为电灯的光度，b、如右图所示）.解：由题设E=及b=得E=sin2cos要使靠墙的课桌得到最大亮度，即E值最大.是常数，且cos的值使得（sin2cos）2与sin2cos同时达到最大值，因（sin2cos）2=cos2(1-cos2)2=2cos2(1-cos2)(1-cos2),又由为锐角，且2cos2+(1-cos2)+(1-cos2)=2为定值，当2cos2=1-cos2，即cos=时（sin2cos）2最大.亦即E最大，这时h=(米).注：若x+y+z=k,k为定值，x0,y0,z0,则当且仅当x=y=z时xyz有最大值.变式提升2将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如右图所示坐标系中，轮胎以角速度 rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针到轴（O）的距离为r cm，求气针（P）的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期.当=，r=1时，作出其图象.解：过P作x轴的垂线，设垂足为M，则PM就是正弦线.y=sin(t+)，因此T=