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经济数学教案经济数学教案 第一讲第一讲 线性规划问题的提出及其数学模型线性规划问题的提出及其数学模型 教学目的 教学目的 了解线性规划就是研究哪一类实际问题的 掌握建立数学模型的方法 教学重点 教学重点 利用线性规划的理论和方法解决生产实际和自然科学中的具体问题的两个步骤 教学难点 教学难点 根据实际问题建立数学模型 内容提要 内容提要 1 生产计划问题 例 1 2 营养配餐问题 例 2 3 运输问题 例 3 4 合理下料问题 例 4 5 项目投资问题 例 5 6 线性规划问题的数学模型的共同特征 1 每一个问题都用一组变量表示某一种方案 其中叫做决策变量 njxj 2 1 2 存在一定的限制条件 称之为约束条件 这些约束条件可用一组决策变量的线性等 式或线性不等式来表示 3 都有一个要求达到的目标 它可用决策变量的线性函数 称之为目标函数 来表示 按问题的不同 要求目标函数实现最大化或最小化 7 线性规划问题的标准形式 njx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ts xcxcxcz j mnmnmm nn nn nn 2 10 max 2211 22222121 11212111 2211 8 线性规划问题标准形式的缩写形式 0 max X bAX ts XCz T 9 线性规划模型的标准化及举例 1 将极小化目标函数转化为极大化目标函数 2 把不等式约束转化为等式约束 3 若决策变量为无约束 可令 其中 0 0 k x kkk xxx k x k x 4 若决策变量 0 只须令 即可 k x k x k x 例 6 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 80 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P63 1 提问 无提问 无 作业 作业 P63 2 经济数学教案经济数学教案 第二讲第二讲 线性规划问题的解及其性质线性规划问题的解及其性质 教学目的 教学目的 掌握线性规划问题解的概念 了解凸性的几个基本概念 教学重点 教学重点 基可解的概念与确定 教学难点 教学难点 基可解的概念与确定 内容提要 内容提要 1 线性规划问题解的概念 1 可行解 满足线性规划约束条件的解称为线性规划问题的可 T n xxxX 21 行解 而所有可行解的集合称为可行域 2 最优解 使模型中目标函数式成立的可行解称为线性规划问题的最优解 3 基底 设为约束方程组的阶系数矩阵 其秩为 则中任意个线Anm mAm 性无关的列向量构成阶子矩阵称为线性规划问题的一个基底 基矩阵或简称为一个mm 基 一般记为 B 组成基的个列向量称为基向量 其余个列向量称为非基向量 与个基向量mmn m 相对应的个变量被称为基变量 其余个变量则被称为非基变量 显然 基变量随mmn 着基的变化而改变 当基被确定之后 基变量和非基变量也随之确定了 4 基本解 令约束条件中非基变量等于零 对基变量求解所得到的解称之为基本 解 5 基本可行解 满足非负条件的基本解称之为基本可行解 简称基可解 对应于 基可解的基 称之为可行基 例 1 2 凸性的几个基本概念 定义 3 2 1 设为维欧氏空间中的一个集合 如果对于任意 Cn n E CYX 10 有 则称集合为凸集 CYX 1C 定义 3 2 2 设 如果不能用中不同的两个点和表示为CXEC n XCYZ 则称为的一个极点 10 1 ZYXXC 定义 3 2 3 设是维欧氏空间中的个点 若存在 且 k XXX 21 n n Ek k 21 使则称是的 ki i 2 110 i i 1 k kX XXX 2 2 1 1 X k XXX 21 凸组合 性质 3 2 1 3 2 5 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P63 7 提问 提问 10 分钟分钟 P63 1 作业 作业 P63 7 经济数学教案经济数学教案 第三讲第三讲 单纯形法单纯形法 教学目的 掌握单纯形法的基本思想和计算过程教学目的 掌握单纯形法的基本思想和计算过程 教学重点 单纯形法的计算过程教学重点 单纯形法的计算过程 教学难点 单纯形法的计算过程教学难点 单纯形法的计算过程 内容提要 内容提要 1 单纯形法的基本思想 根据线性规划的解的性质 在可行域中找到一个基本可行解作初始解 并检验此解是否是 最优解 若是最优解可结束计算 否则就转到另一个基本可行解 并使目标函数值得到改进 然后对新解进行检验 以决定是否需要继续进行转换 一直到求得最优解为止 2 用例题介绍单纯形法的计算过程 求解线性规划模型 0 0 7689 4045 3643 3032max 21 21 21 21 21 xx xx xx xx ts xxz 第一步 将上述不等式改写成等式 第二步 建立初始单纯形表 第三步 进行迭代得新的单纯形表 第四步 继续迭代 换入 换出 2 x 5 x 第五步 由于 按如上方法继续进行换入换出 继续迭代 0 4 4 x 3 x 3 单纯形法的计算步骤 1 建立初始单纯形表 2 检验所得的基本可行解是否为最优解 若所有的 0 则已获得最优解 停 j 止计算 否则 转入下一步 3 基变换 确定所对应的非基变量为换入变量 变为基 0 max 1 jj nj k k x 变量 确定所对应的基变量为换出变量 lk l ik ik i ni il a b a a b 0 minmin 1 l x 4 进行迭代得新的单纯形表 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 75 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P64 8 1 提问 提问 5 分钟分钟 P63 7 作业 作业 P64 8 经济数学教案经济数学教案 第四讲第四讲 大大 M 法与两阶段法法与两阶段法 教学目的 熟练掌握大教学目的 熟练掌握大 M 法和两阶段法的计算过程及应用范围法和两阶段法的计算过程及应用范围 教学重点 大教学重点 大 M 法和两阶段法的计算过程法和两阶段法的计算过程 教学难点 大教学难点 大 M 法和两阶段法的计算过程法和两阶段法的计算过程 内容提要 内容提要 1 引入人工变量的目的及方法 在模型中 系数矩阵中没有一个单位矩阵为基 由此可见该约束方程没有一个明显的 初始基本可行解 为了迅速地找到一个初始基本可行解 就必须使方程组的系数矩阵中存 在一个三阶单位矩阵 为此 我们在模型某些约束条件的左边 人为地分别加上非负变量 为引入的人工变量 例 1 2 大 M 法 根据所给定的线性规划问题 列出其标准型 然后考察标准型的系数矩阵是否包含一 个单位子矩阵 即方程是否有一个明显的初始基本可行解 若没有 可把人工变量引进到 目标函数中去 并取人工变量的价值系数为 M 在最小化问题中取 M 这里 M 是一个很 大的正数 通常称 M 为惩罚因子 对引入不为零的人工变量的一种惩罚 由于人工变量对 目标函数有很大的负面影响 单纯形方法的寻优机制会自动将人工变量驱逐出基外 从而 找到原问题的一个基本可行解 例 2 3 两阶段法 两阶段法是处理人工变量的另一种方法 顾名思义 这种方法是将加入人工变量后的 线性规划问题分两个阶段来解 1 第一阶段 根据所给定问题的标准型构造出辅助问题 目标函数是极小化 取人工变量的价值系数为 1 其他变量的系数均为 0 然后用单纯形 法求辅助问题的最优解 2 第二阶段 把作为原问题的初始基本可行解 对原问题的目标函数进行优化 即在改变目标函 X 数后 第一阶段的最终表格转变成第二阶段的初始表格 继续运用单纯形法以寻求最优解 4 两阶段法与大 M 法的区别 两阶段法与大 M 法不同的是 第一阶段的辅助问题只能为原问题提供初始基本可行解 而不能直接得到原问题的最优解 事实上 当辅助问题最小值为零时 表明所有的人工 变量均从基变量中退出 原问题已获得基本可行解 若的最小值不等于 0 表明原问题 无可行解 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P64 5 1 提问 提问 10 分钟分钟 P63 8 2 作业 作业 P64 5 经济数学教案经济数学教案 第五讲第五讲 单纯形法与人工变量法的巩固与深入单纯形法与人工变量法的巩固与深入 教学目的 熟练单纯形法和人工变量法的迭代过程 了解用矩阵法表示的单纯形法教学目的 熟练单纯形法和人工变量法的迭代过程 了解用矩阵法表示的单纯形法 教学重点 熟练单纯形法迭代过程教学重点 熟练单纯形法迭代过程 教学难点 矩阵法表示的单纯形法教学难点 矩阵法表示的单纯形法 内容提要 内容提要 1 人工变量法举例 321 635maxxxxz 无约束 321 321 321 321 0 10 1632 182 xxx xxx xxx xxx ts T X4 0 14 2 单纯形表中未知数的求法 举例 下表为某线性规划问题用单纯形法迭代至某一步的表 其中目标函数为 约束条件为 表中 为松驰变量 表中解代入目标函 654 228maxxxxz 1 x 2 x 3 x 数得 14 z 表表 3 17 j c 0002812 B C B Xb 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 2 6 xa30 14 3011 0 2 x56d205 20 28 4 x00ef100 j bc 00 1 g 求 1 的值 ga 2 表中解是否为最优解 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 60 分钟分钟 练习 练习 30 分钟分钟 P65 10 P66 13 提问 提问 无无 作业 作业 P66 13 经济数学教案经济数学教案 第六讲第六讲 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题 教学目的 了解线性规划的对偶问题可以解决什么样的实际问题 掌握建立数学模型的方法教学目的 了解线性规划的对偶问题可以解决什么样的实际问题 掌握建立数学模型的方法 教学重点 对偶问题的数学模型的建立 各类的线性规划问题与对偶问题的相互转化教学重点 对偶问题的数学模型的建立 各类的线性规划问题与对偶问题的相互转化 教学难点 各类的线性规划问题与对偶问题的相互转化教学难点 各类的线性规划问题与对偶问题的相互转化 内容提要 内容提要 1 对偶问题举例 例 1 例 2 0 601 02 02 0 503 02 01 0 5 04 03 0min 321 321 321 321 xxx xxx xxx ts xxxz 0 5 01 03 0 4 02 02 0 3 02 01 0 6050max 21 21 21 21 21 yy yy yy yy ts yy 2 对称型对偶关系的一般形式 原始问题 0 max 21 2211 22222121 11212111 2111 n mnmnmm nn nn nn xxx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ts xcxcxcz 其对偶问题为 0 min 21 2211 22222112 11221111 2211 m nmmnnn mm mm mm yyy cyayaya cyayaya cyayaya ts ybybyb 3 非对称型对偶关系 首先把非对称型问题化为对称型问题 问题就转换成对称型后 可写出对偶问题 例 3 写出下列线性规划的对偶问题 例 4 5 0 13 662 2 52max 321 321 321 31 321 xxx xxx xxx xx ts xxxz 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P90 5 2 提问 提问 10 分钟 分钟 P90 5 1 作业 作业 P90 5 经济数学教案经济数学教案 第七讲第七讲 对偶单纯形法对偶单纯形法 教学目的 了解对偶关系的一些基本性质 熟练掌握对偶单纯形法的计算过程教学目的 了解对偶关系的一些基本性质 熟练掌握对偶单纯形法的计算过程 教学重点 对偶单纯形法的计算过程教学重点 对偶单纯形法的计算过程 教学难点 对偶单纯形法的计算过程教学难点 对偶单纯形法的计算过程 内容提要 内容提要 1 对偶关系的一些基本性质 1 对称性 对偶问题的对偶是原始问题 2 弱对偶性 若为原始问题的一个可行解 为对偶问题的一个可行解 则有 XY YbXC TT 3 最优性 若是原始问题的可行解 对偶问题的可行解 且 X Y 则和分别为原始问题与对偶问题的最优解 YbXC TT X Y 4 无界性 若线性规划原始问题的目标函数无上界 则对偶问题无可行解 若对 偶问题的目标函数无下界 则原始问题无可行解 5 对偶定理 若原始问题和对偶问题之一有最优解 则另一个也有最优解 并且 目标函数值相等 2 对偶单纯形法与单纯形法的区别 在对偶单纯形法计算中 我们要使所有变量都逐渐成为非负 可行 其计算步骤和原 来的单纯形法相反 单纯形法是先从非基变量中选择进基变量 然后在基变量中选择离基 变量 而对偶单纯形法是先从基变量中确定离基变量 然后在非基变量中选择进基变量 3 对偶单纯形法的计算步骤与举例 1 根据标准形式 列出初始表 2 在所有取值为负的基变量中 选绝对值最大者对应的变量为离基变量 设为 q x 3 确定进基变量 计算选择对应列的非基变量 qk k jqj qj j a a a 0 0min 为进基变量 k x 4 以为主元 在单纯形表中进行迭代运算 即所谓的 Gauss Jordan 消去法 qk a 得到新的单纯形表 5 重复 1 4 步 直到所有值均为正 满足可行性 即得到最优解 i b 例 1 例 2 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P91 6 1 提问 提问 10 分钟分钟 P90 5 3 作业 作业 P91 6 经济数学教案经济数学教案 第八讲第八讲 对偶问题的经济意义与灵敏度分析初步对偶问题的经济意义与灵敏度分析初步 教学目的 明确影子价格的经济意义 掌握单纯形法计算的矩阵表示教学目的 明确影子价格的经济意义 掌握单纯形法计算的矩阵表示 教学重点 影子价格的经济意义 单纯形法计算的矩阵表示形式教学重点 影子价格的经济意义 单纯形法计算的矩阵表示形式 教学难点 影子价格的经济意义 单纯形法计算的矩阵表示形式教学难点 影子价格的经济意义 单纯形法计算的矩阵表示形式 内容提要 内容提要 1 影子价格的定义经济意义 当某种资源增加一定数量时 也能够使总收益增加相应的数量 这种增加某种资源单位 数量 相应增加的总收益量通常称作资源的边际价值 也就是我们后面所提到的影子价 格 2 影子价格的经济意义 影子价格是以线性规划为基础 反映资源得到配置时的对偶变量的最优解 影子价格 的经济含义是某种资源 增加一个单位数量而使总收益 增加的数量 即局部或个 i y i b z 体的产出增量所获得的整体经济效果 利用影子价格 可以说明生产过程中资源的价值 能够及时地反映资源的短缺程度及供求矛盾 当资源没有充分利用时 即原始问题的最优 解中 此项资源所对应的松驰变量不为零 则该项资源的影子价格为零 影子价格实际上是某个特定约束条件右端常数项每增加一个单位的边际值 所以说 影 子价格是资源的边际价格 例 1 说明影子价格在企业管理中的应用 2 单纯形法计算的矩阵表示 初始表与最优表中关系如下 非基变量基变量 基解 B X N X I X I C I XbBNI jjj zc BCC T I T B NCC T N T N 0 基变量非基变量 基解 B X N X I X B C B X bB 1 INB 1 1 B jjj zc 0NBCC T B T N 1 1 BCC T B T I 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 75 分钟分钟 练习 练习 5 分钟分钟 P90 2 3 提问 提问 10 分钟分钟 P91 6 作业 作业 P90 3 经济数学教案经济数学教案 第九讲第九讲 灵敏度分析灵敏度分析 教学目的 熟练掌握各参数的灵敏度分析教学目的 熟练掌握各参数的灵敏度分析 教学重点 各参数的灵敏度分析教学重点 各参数的灵敏度分析 教学难点 各参数的灵敏度分析教学难点 各参数的灵敏度分析 内容提要 内容提要 1 目标函数中的变化 j c 的变化仅仅影响到检验数的变化 因此计算非基变量的检验数 若 j c jj zc 最优解保持不变 若 用单纯形法继续迭代求出0 1 NBCC T B T Nj 0 1 NBCC T B T N 最优解 2 约束条件中的变化 j b 的变化反映在最终单纯形表上将引起最优解列数据的变化 若 用对偶单 i bb0 1 bB 纯形法继续迭代 若 最优解保持不变 0 1 bB 3 增加一个变量的变化 j x 设在目标函数中的系数为 在约束条件中的系数向量为 j x j c j P 首先计算 jj PBP 1 然后计算增加变量的检验数 j T Bjj PCc 若 则原最优解不变 只需将与直接写入单纯形表 则单纯形表中增加一0 j j P j 列 若 则按单纯形法继续迭代以找出最优解 0 j 4 约束条件中的变化 ij a 1 若在最终单纯形表中为非基变量 则处理方法同 3 j x 2 若在最终单纯形表中为基变量 则将引起表中所有数据变化 其分析步骤为 j x 1 jj PBP 1 2 j T Bjj PCc 代入最终单纯形表中 将其作为进基变量 变化前的变量作为出基变量进行迭代 若此 j x 时出现原问题与对偶问题均为非可行解 需引进人工变量将原问题解转化为可行解 再用 单纯形法求解 5 增加一个约束条件 先将原问题最优解代入新增的约束条件 若满足 则原最优解不变 否则 将新增约束 反映到单纯形表中 同时增加一个单位向量 该约束条件的松驰变量或人工变量 再进一 步分析 例 1 2 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 80 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P92 7 提问 无提问 无 作业 作业 P92 9 经济数学教案经济数学教案 第十讲第十讲 最佳指派问题的线性规划模型最佳指派问题的线性规划模型 与标准指派问题的匈牙利法与标准指派问题的匈牙利法 教学目的 了解那些问题属于最佳指派问题 理解与掌握标准指派问题的匈牙利法教学目的 了解那些问题属于最佳指派问题 理解与掌握标准指派问题的匈牙利法 教学重点 理解与掌握标准指派问题的匈牙利法教学重点 理解与掌握标准指派问题的匈牙利法 教学难点 理解与掌握标准指派问题的匈牙利法教学难点 理解与掌握标准指派问题的匈牙利法 内容提要 内容提要 1 最佳指派问题的线性规划模型 通过例 1 了解什么问题属于最佳指派问题 并给出指派问题的标准形式 当指派 n 个人 去完成 n 项任务时 其数学模型如下 10 2 1 1 2 1 1 min 1 1 11 或 ij n i ij n j ij n i n j ijij x njx nix ts xcz 2 匈牙利法的基本原理 1 指派问题最优解的性质 假设是指派问题的价值系数矩阵 现将它的某一行 或某一列 的各个元素都 nn ij c 减去一个常数 可为正 也可为负 得到矩阵 那么以为价值系数矩阵kk nn ij b nn ij b 的新的指派问题的最优解与原指派问题的最优解相同 但其最优值比原来减小 k 2 关于矩阵中 0 元素的定理 系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数 3 结合例题给出匈牙利法的求解步骤 第一步 变换价值系数矩阵 使各行各列都出现 0 元素 1 将系数矩阵的每行都减去本行的最小元素 2 将上步所得新的价值系数矩阵的每列都减去本列的最小元素 第二步 进行试指派 以寻求最优解 1 进行行检验 2 进行列检验 3 反复进行 1 2 直到下列三种情况之一 4 对三种情况分别讨论 第三步 作最少的直线覆盖当前所有 0 元素 包括标记上 和的 第四步 对上步所得矩阵进行变换 以增加其 0 元素 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 80 分钟分钟 练习 练习 10 分钟 分钟 P109 3 提问 无提问 无 作业 作业 P109 3 经济数学教案经济数学教案 第十一讲第十一讲 非标准指派问题非标准指派问题 教学目的 掌握非标准指派问题的标准化及其匈牙利法应用教学目的 掌握非标准指派问题的标准化及其匈牙利法应用 教学重点 非标准指派问题的标准化教学重点 非标准指派问题的标准化 教学难点 非标准指派问题的标准化及其匈牙利法应用教学难点 非标准指派问题的标准化及其匈牙利法应用 内容提要 内容提要 1 目标函数为求极大值的问题 当目标函数为 n i n j ijijx cz 11 max 时 记 ij nji cM 1 max njicMb ijij 2 1 得到一新矩阵 由最优解的性质知 以为价值系数矩阵的指派问题与以 nn ij b nn ij c 为价值系数矩阵的指派问题同时达到最优 且有相同的最优解 经过上述转换 即 nn ij b 可将极大化问题变为极小化问题 当达到最大时 也就是达到最小 n i n j ijijx c 11 n i n j ijijx b 11 两者的最优值相差一个常数 nM 2 价值系数矩阵中存在负元素 若价值系数矩阵的第 行 或第列 存在负元素 则第 行 或第列 每个元 nn ij c ijij 素都减去该行的最小元素 即可使价值系数矩阵满足非负条件 然后可以用匈牙利 nn ij c 法求解 例 1 3 价值系数矩阵不是方阵 若记人员 或设备 数为 任务 或加工件 数为 所谓价值系数矩阵不是方阵 mn 即 此时 需分情况讨论 nm 1 当时nm 1 且项任务又都必须完成时 此时 必有某个 些 人完成一项以上的任务 nm n 例 2 2 若 但每人只能完成一项任务 此时一定有某个 些 任务没有人去完成 nm 例 3 另外 如果人数少于任务数 而某项任务又必须完成 则在增加虚拟人时 将虚拟人完 成此项任务的系数设为 而虚拟人完成其他任务的系数设为 0 即可 如果某人就能力而 言可完成某项任务 而由于某种原因不允许该人完成某项任务 则可将相应的系数改为 即可 2 当时nm 可参照的情况处理 一般是增加虚拟工作 使系数矩阵为方阵 然后用匈牙利法求nm 解 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P109 4 6 提问 提问 10 分钟分钟 P109 3 作业 作业 P110 5 经济数学教案经济数学教案 第十二讲第十二讲 竞争型指派问题竞争型指派问题 教学目的 了解竞争型指派问题数学模型及其算法教学目的 了解竞争型指派问题数学模型及其算法 教学重点 竞争型指派问题的算法教学重点 竞争型指派问题的算法 教学难点 竞争型指派问题的算法教学难点 竞争型指派问题的算法 内容提要 内容提要 1 当今引进竞争机制后的企业 部门及社会的要求下 产生了竞争型指派问题 竞争型指派问题的数学模型为 njmix njx mikx ts xcz ij m i ij n j iij m i n j ijij 2 1 2 110 2 11 2 1 min 1 1 11 或 如果模型中且 则退化为标准指派问题 mn miki 2 11 由于竞争型指派问题中允许第 人承担任务数为 所以按照的取值可将竞争型指派i i k i k 问题加以分类 1 时称为自由竞争型指派问题 minki 2 1 2 且等号仅对个人成立时 称为半自由竞争型 2 1 1minki 0 mpp 指派问题 3 时 称为弱竞争型指派问题 此时若则退化为标准指 2 1 1miki nm 派问题 事实上已无竞争可言 其中的意义同标准指派问题所设 并规定此模型为标准化竞争型指派问题 ijij cx 2 竞争型指派问题的算法 第一步 列出价值系数矩阵 如果 则在中加上一个零列 相应 mxnij c m i i nk 1 mxnij c 的任务数取作则化为标准化竞争型指派问题 m i i nk 1 第二步 变换价值系数矩阵 使各行各列都出现 0 元素 本步同匈牙利法第二步 第三步 进行试指派 以寻求最优解 第四步 作最小数目的直线通过某些行和列使得所有 0 元素都被覆盖 特别注意 如果 第 行被划去 则所用的直线数目应记为 其它步骤与匈牙利法基本相同 只须将列改i i k 为行 第五步 与匈牙利法相同 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P110 7 提问 提问 10 分钟 分钟 P110 5 1 作业 作业 P110 8 经济数学教案经济数学教案 第十三讲第十三讲 单因素的优选方法 教学目的 教学目的 明确优选法思想 步骤以及一维线性搜索的具体实现方式 教学重点 教学重点 优选法思想 步骤以及用思想构造具体优选方法 教学难点 教学难点 0 618 的确定 内容提要 内容提要 1 优选法的发展史 优选法又称搜索法 是最近多年来随着大工业和生产的发展而发展起来的一种应用数30 学方法 年代以来 日益发展的运筹学提出了很多通过建立数学模型 进行优选的方40 法 2 优选法的思想 优选法是以数学原理为指导 用最可能少的试验次数 尽快找到生产和科学实验中最优 方案的一种科学试验的方法 3 优选法的步骤 一 要明确优选目标 要进行优选 就要搞清目标 也就是通过试验想达到什么目 的 目标可以是一个 也可以几个同时考虑 目标可以是定量的也可以是定性的 二 要确定影响目标的主要因素 三 要根据问题的性质 确定主要因素的合理范围 正确地确定试验范围很重要 范围 太大 必然会增加试验次数 影响试验效率 相反 范围太小 很可能把最优点漏掉 四 选择适当的优选法 找出最佳方案 4 二分法的基本思想与步骤 5 0 618 法的计算公式 大 小 小 618 0 11 x 大 小 12 x 11 x 6 0 618 的确定 得方程 1211 1xx 12 2 11 xx 01 11 2 11 xx 这是一个一元二次方程 根据一元二次求根公式 得到 618033988 0 2 15 11 x 7 分数法 1 分数法与 0 618 法的区别与联系 2 分数法的特点与实现 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P21 2 提问 提问 10 分钟分钟 0 618 的其他确定方法 作业 作业 P21 3 经济数学教案经济数学教案 第十四讲第十四讲 双因素问题的优选法与正交试验法 教学目的 教学目的 两个主要的因素影响优选目标的双因素优选方法与正交试验法的初步介绍 教学重点 教学重点 坐标轮换法的思想 步骤 教学难点 教学难点 如何将一维线性搜索的各方法用到双因素优选上来 内容提要 内容提要 1 坐标轮换的实现与举例 首先按相对的重要性进行因素排序 重要的放在前面 然后除了第一个因素外 第二个 因素暂时固定 只对第一个因素进行优选 这时就可以按处理单因素问题的方法来进行试 验了 选出最优点后 就把第一个因素固定在好点的水平上 再对第二个因素进行优选 如此一步一步地进行下去 举例 例 1 例 2 2 平行线法的实现与举例 在实际问题中 经常会遇到由于设备或其它种种条件的限制而有一个因素不容易调 整 把不易调整的一个因素 固定在某个位置 对易于调整的另一个因素进行优选 比较 结果 得到最好点 3 以上两方法的区别与适用范围 区别为划掉的范围不同 适用范围是单峰或单谷函数 4 正交试验法的初步介绍 正交试验法是处理多因素的一种科学方法 它利用数理统计学观点 应用正交性原理 对多因素同时进行考察 用一套规格化正交表 合理安排试验 正交试验法具有试验结果 重复性好 可靠性高 适用面宽 试验次数少 配置容易 分析简便等优点 从而得到广 泛应用 举例 例 1 1 全面试验 当因素和水平数都不太大 且试验结果和因素之间的关系比较复杂时 全面试验常被推 荐使用 2 单因素试验轮换法 这种方法主要是将一个多因素试验化为多个单因素试验 单因素轮换法一般也能达到一 定的效果 但当因素间有交互作用时 这方法往往不能找到最佳组合 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 双因素优选方法练习 22 4 yxyxyxf 25 0 44 44 yx 提问 提问 10 分钟分钟 P21 3 作业 无作业 无 经济数学教案经济数学教案 第十五讲第十五讲 正交试验法正交试验法 教学目的 教学目的 了解正交设计与结果分析 明确网络图的两种表示方式 熟练掌握网络图的绘 制及与关系矩阵的关系 教学重点 教学重点 正交表与正交试验法的步骤 单代号网络图的绘制及其与关系矩阵之间的相互 转换 教学难点 教学难点 正交设计的要求与正交原理 网络图的特点及绘制网络图的规则 内容提要 内容提要 1 正交表 正交表是安排试验 分析试验的一种简单而容易掌握的有力工具 它是根据数理统计 原理归纳出来的一种合理安排试验的表格 所有正交表都具备以下两上特点 这正是 均 匀分散性 与 整齐可比性 两个特点 1 每一列中因素不同水平出现次数相同 2 任意两列横行组成的不同水平的搭配 在方案中都出现了 并且出现次数相同 2 正交试验法的基本步骤与举例 进行正交试验一般首先要明确试验目的 确定考核指标 其次要挑选参加试验的因素 及其水平 制定因素水平表 第三是选择合适的正交表 确定具体的试验方案 第四是进 行试验和结果分析 第五是根据分析结果 提出进一步试验的方案或选定满意的方案正式 投产 例 2 3 双代号表示法与单代号表示法介绍及举例 双代号表示法是将具体工作的名称写在箭杆上方 执行工作所需时间写在箭杆下方 箭头 箭尾均与结点相连 表示工作的开始和结束 结点用圆圈和里面的数字表示 数字 表示结点的编号 单代号表示法是将工作名称与持续时间均写在节点内 用结点表示工作 箭线仅表示工作之间的前后顺序关系 如例 1 4 前导后继关系 与某一工作有关的具体工作 可以根据它们之间的相互关系 分为先导 紧前 工作 后继 紧后 工作 箭头指向本工作的工作为其先导工作 本工作的箭头指向的工作为其 后继工作 一个工作的先导与后继可以不唯一 5 绘制网络图 举例 例 2 在绘制网络图时 应遵循以下规则 1 网络图只能且必须有一个总开始结点和总结束结点 SE 2 网络图中不能有缺口和回路 3 必须正确表示工作之间的先导 后继关系 4 会使用平行工作和交叉工作 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 70 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 P38 4 提问 提问 10 分钟分钟 P21 3 作业 作业 P38 4 经济数学教案经济数学教案 第十六讲第十六讲 时间序列分析之移动平均法与指数平均法时间序列分析之移动平均法与指数平均法 教学目的 明确时间序列分析的目的 熟练掌握移动平均法与指数平均法的计算过程教学目的 明确时间序列分析的目的 熟练掌握移动平均法与指数平均法的计算过程 教学重点 移动平均法与指数平均法的计算过程教学重点 移动平均法与指数平均法的计算过程 教学难点 移动平均法 按比例加权的平均量法与指数平均法的数学模型的推导过程教学难点 移动平均法 按比例加权的平均量法与指数平均法的数学模型的推导过程 内容提要 内容提要 1 时间序列分析简介 所谓时间序列是指观察或记录到的一组按时间顺序排列起来的数字序列 这些数列中每 一个观察值都被相等的时间间隔分开 且在时刻 的值为 1 1 ttt 11 ttt xxx 2 移动平均法 移动平均法分为 定区间平均量法 和 按比例加权平均量法 1 定区间平均量法 设是预测前的实际数据组成的时间序列 如果过早的数据已失去意义 不 n yyy 21 能反映当前数据的规律 那么预测值 1 111 knnnn yyy k y 例 1 2 按比例加权平均量法 如果考虑到不同时期的数据对预测影响的程度不一 可采用 按比例加权的平均量法 即预测值取 其中称为权 而且满足 k i inin yay 1 11 2 1 kiai 之后 按回车即可 例 3 例 4 矩阵的输入与运算 例 5 矩阵元 素的调用 对矩阵元素的调用 修改 增加是非常灵活的 这一点为编程人员提供了Matlab 极大的方便 例 6 关于向量的运算 例 7 关于特殊矩阵的生成 例 8 计算的 3 20cos e 值 例 9 Matlab中的逻辑运算与关系表达式 b Matlab 的语句流程与控制 作为编程语言的Matlab 它支持多种流程控制结构 比如循环结构 条件转移结构 开关结构 另外还支持一种全新的试探结构 循环语句有两种结构 for end 结构和 while end 结构 for end 语句的常用格式为 for 循环变量 S1 S2 S3 循环体语句组 end 例 11 用for循环结构给数组X赋予 1 到 10 这 10 个整数 while循环结构的调用格式为 while 循环控制表达式 循环体语句组 end 例 12 求的值 100 1i i 2 Matlab 的 M 文件的编写 Matlab 的 M 文件又称 M 函数 它是由 function 语句引导的 其基本格式如下 Function 返回变量列表 函数名 输入变量列表 注释说明语句段由引导 此部分为注释行 并不执行 是为了解释此函数 用以 提高程序的可读性 输入 返回变量格式的检测 函数体语句 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 80 分钟分钟 练习 练习 10 分钟分钟 用 用 while 语句求语句求 s n 提问 无提问 无 作业 无作业 无 经济数学教案经济数学教案 第二十三讲第二十三讲 常用数学软件的使用常用数学软件的使用 Sas 软件的使用软件的使用 教学目的 熟悉教学目的 熟悉 Sas 软件的基本程序结构 简单应用软件的基本程序结构 简单应用 Sas 系统的常用函数系统的常用函数 教学重点 教学重点 Sas 软件的基本程序结构软件的基本程序结构 教学难点 教学难点 Sas 软件的基本程序结构软件的基本程序结构 内容提要 内容提要 1 Sas 显示管理系统 启动 SAS 后 显示管理系统将屏幕自动分成三个基本窗口 各窗口的主要功能如下 1 程序编辑窗 PGM Program Editor 是 SAS 中最常用到的窗口 是前景工作区 当前的 Program Editor 未命名 Untitle 2 运行记载窗 LOG 前景工作区 3 结果输出窗口 OUTPUT 是背景隐含工作区 2 Sas 的程序结构 典型SAS的程序都分两部分 第一部分准备数据 称为数据步 DATA Step 数据步 以 DATA语句开头 其作用是建立SAS数据集 存放需要处理的数据 第二部分分析数据 称为过程步 PROC Step 过程步以PROC语句开头 其作用是激活SAS 调用统计分析 过程 一 创建数据集 a 建立数据集 1 数据步的主要功能 2 数据步的基本结构 3 数据步中常用语句功能简介 b 建立数据集的其他途径 1 从外部数据文件中读入数据 2 从已建立的SAS数据集中获取数据 二 调用 SAS 统计分析过程的过程步 a 过程步的结构 b 过程步的基本语句 1 BY语句 2 CLASS语句 3 VAR 语句 4 WEIGHT 语句 5 ID语句 6 MODEL语句 7 OUTPUT语句 3 Sas 的主要函数介绍 SAS函数是一个子程序 它的作用是用来计算含有一个或多个参数的函数值 SAS函数 的标准格式为 函数名 参数表 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 90 分钟分钟 练习 无练习 无 提问 无提问 无 作业 无作业 无 经济数学教案经济数学教案 第二十四讲第二十四讲 常用数学软件的使用常用数学软件的使用 LINGO 软件的使用软件的使用 教学目的 初步掌握教学目的 初步掌握 LINGO 软件的基本操作与常用运算符和函数软件的基本操作与常用运算符和函数 教学重点 教学重点 LINGO 软件的基本操作软件的基本操作 教学难点 教学难点 LINGO 软件的基本操作软件的基本操作 内容提要 内容提要 1 LINGO 软件的基本操作 例 在命令窗口中输入 1 max x y x y 100 这就是一个最简单的线性规划 输入后 按求解键 LINGO 就会给出计算结 果 其中结果用求解窗口的形式给出 例 2 例 3 在LINGO中 输入约束条件时 如果约束条件很多 那么当某个限制条件出错时 LINGO给出的错误信息是一个行号 提示某行出现了错误 可以在限制条件前面加上用方 括号括起来的某个字符串 那么此时限制条件出错 LINGO给出的错误信息就会一目了 然 而且LINGO最后给出的分析结果的可读性也会得到提高 当然这个字符串应该符合变 量的定义规则 2 LINGO 软件的运算符和函数 算术运算符 1 逻辑运算符 2 关系运算符 3 函数 4 变量域函数 5 教学环节时间分配 教学环节时间分配 讲课 讲课 90 分钟分钟 练习 无练习 无 提问 无提问 无 作业 无作业 无 经济数学教案经济数学教案 第二十五讲第二十五讲 相关分析与回归分析相关分析与回归分析 教学目的 掌握相关分析与回归分析相同与不同之处 以及回归分析模型的建立教学目的 掌握相关分析与回归分析相同与不同之处 以及回归分析模型的建立 教学重点 回归分析模型的建立教学重点 回归分析模型的建立 教学难点 相关分析与回归分析相同与不同之处教学难点 相关分析与回归分析相同与不同之处 内容提要 内容提要 1 相关关系的提出 变量之间存在着一定的制约关系 但这种关系没有密切到可由一个决定另一个的程度 我们都认为这些成对变量之间有一定的关系 但由其中的一个不能确定另一个 我们称这 样的关系为 相关关系 2 相关关系的产生情况 变量之间有严格的确定性关系 但由于测量误差 误差是随机性的 使测量结果之1 间呈现出相关关系 两个变量 也可以是多个变量 之间存在着因果关系 从性质上看是因 2YX X 是果 但影响的原因可能有很多 只是其中的一个 它只能对的值起作用 并YYXY 不能决定 Y 还有一些变量之间表面上看有一定的关系 但它们可能都是受另一个因素的影响 3 而这个因素与所考察的变量之间存在着相关性 3 相关分析与回归分析研究的侧重点和应用面差别主要有 回归分析中变量称为因变量 处于被解释的地位 在相关分析中 变量与处于YYX 平等的地位 即研究和的密切程度同研究和之间的密切程度是一回事 相关分析YXXY 中所涉及的变量和都是随机变量 而回归分析中 因变量是随机变量 自变量YXY 可以是随机变量 也可以是非随机的确定性变量 通常的回归模型中 我们总假定X 是非随机变量 相关分析的研究主要是为刻画两类变量间线性相关的密切程度 而回X 归分析不仅可以揭示变量对变量影响的大小 还可以根据回归方程进行预测和控制 XY 4 确定回归函数的思想 可以通过研究与的条件期望值之间的关系来代表与之间的关系 即xYXY 就是时随机变量的条件数学期望 它随的变化而变 xfxXYEy xfxX Yx 化 在直角坐标系中它是一条普通的曲线 称为回归方程或回归曲线 5 5 确定回归函数的方法 现在我们对数据的结构来作一些分析 根据回归函数的意义 当取时 的期望X i xY 值应为 由于随机误差 观察值与之间有一定的差距 即 i xf i