高中数学第三讲3.3排序不等式课堂导学案新人教选修.docx

3.3 排序不等式课堂导学三点剖析一、利用排序不等式证明不等式【例1】 已知a,b,cR+,求证:.证明：不妨设abc0,则00,则a+ba+cb+c0,0,0,对应用排序原理,得,+,得2()a+b+c,(当且仅当a=b=c时,等号成立).二、利用排序不等式证明条件不等式【例2】 设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数,求证:.证明:不妨设abcd0,则a+b+ca+b+da+c+db+c+d0,得0,令S=,对于应用排序原理,得S,S,S,+,可得3Sa2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da=1.S(当且仅当a=b=c=d=时,等号成立).类题演练2设a1,a2,，an是1,2,n的一个排列,求证:+.证明:设b1,b2,bn-1是a1,a2,an-1的一个排列,且b1b2bn-1;c1,c2,cn-1是a2,a3,an的一个排列,且c1c2cn-1,则且b11,b22,bn-1n-1;c12,c23,cn-1n.利用排序不等式有.变式提升1设实数x1x2xn,y1y2yn,z1,z2,zn是y1,y2,yn的一个置换,证明22.证明:显然所需证明之不等式等价于,这由排序不等式可直接得到.三、利用排序不等式解决其他问题【例3】 有十个人各拿一只水桶去打水,设水龙头灌满第i个人的水桶需要ti分钟,且这些ti(i=1,2,10)各不相等,试问:(1)只有一只水龙头供水时,应如何安排这十个人打水的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?(2)若有两个相同的水龙头供水时,应如何安排这十个人的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?解析：(1)设按某次序打水时水龙头灌满第i个人的水桶需要si分钟,则第一人花费的时间为s1分钟,第二人花费的时间为(s1+s2)分钟,第十人花费的时间为(s1+s2+s10)分钟,总的花费时间为s1+(s1+s2)+(s1+s2+s10)=10s1+9s2+2s9+s10.其中,序列s1,s2,s10是t1,t2,t10的一个排列.由题设,这些ti各不相同,不妨设t1t2t10,则由排序原理知10s1+9s2+2s9+s1010t1+9t2+2t9+t10，即按任意一个次序打水花费的总时间不小于按如下顺序打水的时间:先按打水所需时间从小到大依次排队,然后逐个打水,此时花费时间最省,总的花费时间为(10t1+9t2+2t9+t10)分钟.(2)如果有两个水龙头,设总时间最少时有m个人在第一个水龙头打水,设依次所用时间为p1,p2,pm;有10-m个人在第二个水龙头打水,依次所需时间设为q1,q2,q10-m.显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人,不妨设为第一个水龙头,也不可能有一个水龙头没人去打水,则5m10.由(1)知p1p2pm,q1q2q10-m.总的花费时间为T=mp1+(m-1)p2+pm+(10-m)q1+(9-m)q2+q10-m.其中p1,p2,pm,q1,q2,q10-m=t1,t2,t10,t1t25,我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去,则总的花费时间变为T=(m-1)p2+pm+(11-m)p1+(10-m)q1+q10-m.所以T-T=(2m-11)p10,即当m5时,我们让第一个水龙头的第一人到第二个水龙头去后,总时间减少.故在m=5时,总时间可能取得最小值.由于m=5,故两个水龙头人一样多.总用时为T=(5p1+4p2+3p3+2p4+p5)+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5).由于p1p2p5,q1q2q5.不妨设p1=t1.下证q10,即经交换后总时间变少.因此q1p2,也即q1=t2.类似地,我们可以证明piqiqi+1(i=1,2,3,4),p5q5.从而最省时的打水顺序为水龙头一:t1,t3,t5,t7,t9;水龙头二:t2,t4,t6,t8,t10.其中t1t2t10.类题演练3设a1,a2,an是n个正数,证明,当且仅当a1=a2=an时等号成立.证法一:记G=,令bi=(i=1,2,n),则原不等式b1+b2+bnn,其中b1b2bn=1.取x1,x2,xn,使b1=,b2=,bn-1=,则bn=,由排序不等式易证b1+b2+bn=+n,当且仅当x1=x2=xn时等号成立.所以所证不等式成立,当且仅当a1=a2=an时等号成立.证法二:令ti=a(i=1,2,n),则tn=1.从而正数序列t1,t2,tn及对应两项大小次序正好相反,由排序原理得n=t1+t2+tnt1+t2+tn,即n=,从而G,当且仅当a1=a2=an时等号成立.变式提升2设a,b,c是某三角形的三边长,T是该三角形的面积,证明a2+b2+c2T,并问何时取等号?证明:根据Heron公式,需证明不等式等价于(a2+b2+c2)23(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=3(b+c)2-a2a2-(b-