高三数学一轮复习 第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件 理.ppt

理数课标版 第三节等比数列及其前n项和 1 等比数列的有关概念 1 定义 i 文字语言 从 第2项起 每一项与它的前一项的 比都等于 同一个常数 教材研读 ii 符号语言 q n n q为非零常数 2 等比中项 如果a g b成等比数列 那么 g叫做a与b的等比中项 即 g是a与b的等比中项 a g b成等比数列 g2 ab 2 等比数列的有关公式 1 通项公式 an a1qn 1 2 前n项和公式 sn 3 等比数列的性质 1 通项公式的推广 an am qn m m n n 2 对任意的正整数m n p q 若m n p q 则am an ap aq 特别地 若m n 2p 则am an 3 若公比不为 1的等比数列的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 即 s2n sn 2 sn s3n s2n 4 数列 an 是等比数列 则数列 pan p 0 p是常数 也是等比数列 5 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 k n 公比为qk 1 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q a b 2c 2d 答案d由通项公式及已知得a1q 2 a1q4 由 得q3 解得q 故选d 2 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s3 a2 10a1 a5 9 则a1 a b c d 答案c由已知条件及s3 a1 a2 a3得a3 9a1 设数列 an 的公比为q 则q2 9 所以a5 9 a1 q4 81a1 得a1 故选c 3 2015课标 4 5分 已知等比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7 a 21b 42c 63d 84答案b设 an 的公比为q 由a1 3 a1 a3 a5 21得1 q2 q4 7 解得q2 2 负值舍去 a3 a5 a7 a1q2 a3q2 a5q2 a1 a3 a5 q2 21 2 42 4 2015安徽 14 5分 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和等于 答案2n 1解析由已知得 a1a4 a2a3 8 又a1 a4 9 解得或又 数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 a1 1 a4 8 从而q3 8 即q 2 则前n项和sn 2n 1 5 已知等比数列 an 的前n项和sn 4n a 则a 答案 1解析当n 1时 a1 s1 4 a 当n 2时 an sn sn 1 4n a 4n 1 a 4n 4n 1 3 4n 1 又 该数列为等比数列 4 a 3 40 即a 1 考点一等比数列的基本运算 考点突破 典例1已知等比数列 an 的前n项和为sn 且a1 a3 a2 a4 则 a 4n 1b 4n 1c 2n 1d 2n 1答案d解析设等比数列 an 的公比为q 由 可得 2 q 代入 解得a1 2 an 2 sn 4 2n 1 故选d 方法技巧解决等比数列有关问题的常用思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 当q 1时 数列 an 的前n项和sn na1 当q 1时 数列 an 的前n项和sn 1 1 2016河南洛阳统考 设等比数列 an 的前n项和为sn 若a1 8a4 0 则 a b c d 答案c在等比数列 an 中 因为a1 8a4 0 所以q 所以 1 2设 an 是公比大于1的等比数列 sn为数列 an 的前n项和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 则an 答案2n 1解析由已知得 解得a2 2 设数列 an 的公比为q 由a2 2 可得a1 a3 2q 又s3 7 所以 2 2q 7 即2q2 5q 2 0 解得q1 2 q2 由题意得q 1 所以q 2 所以a1 1 故数列 an 的通项an 2n 1 考点二等比数列的判定与证明典例2 2016课标全国 17 12分 已知数列 an 的前n项和sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 2 若s5 求 解析 1 由题意得a1 s1 1 a1 故 1 a1 a1 0 2分 由sn 1 an sn 1 1 an 1得an 1 an 1 an 即an 1 1 an 由a1 0 0得an 0 所以 因此 an 是首项为 公比为的等比数列 于是an 6分 2 由 1 得sn 1 由s5 得1 即 解得 1 12分 方法技巧1 等比数列的识别依据 1 若数列 an bn 项数相同 是等比数列 则 an 0 an bn 仍然是等比数列 2 an c qn c q均是不为0的常数 n n an 是等比数列 3 数列 an 的前n项和sn k qn k k为常数且k 0 q 0 1 an 是等比数列 2 证明等比数列的两种基本方法 1 定义法 证明 q an 0 n n q为非零常数 2 等比中项法 证明 an an 2 an 0 n n 2 1成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 2 数列 bn 的前n项和为sn 求证 数列是等比数列 解析 1 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为7 d 10 18 d 依题意 有 7 d 18 d 100 解得d 2或d 13 舍去 故 bn 的第3项为5 公比为2 由b3 b1 22 即5 b1 22 解得b1 所以 bn 是以为首项 2为公比的等比数列 其通项公式为bn 2n 1 5 2n 3 2 证明 数列 bn 的前n项和sn 5 2n 2 即sn 5 2n 2 所以s1 2 因此是以为首项 2为公比的等比数列 典例3 1 2016湖南师大附中月考 已知各项不为0的等差数列 an 满足a6 a8 0 数列 bn 是等比数列 且b7 a7 则b2 b8 b11 a 1b 2c 4d 8 2 已知 an 为各项都是正数的等比数列 sn为其前n项和 且s10 10 s30 70 那么s40 a 150b 200c 150或 200d 400或 50答案 1 d 2 a解析 1 由等差数列的性质 得a6 a8 2a7 结合a6 a8 0 可得a7 2 所以b7 a7 2 由等比数列的性质得b2 b8 b11 b2b7b12 23 8 2 依题意 s10 s20 s10 s30 s20 s40 s30成等比数列 因此 s20 s10 2 s10 s30 s20 即 s20 10 2 10 70 s20 故s20 20或s20 30 又s20 0 因此s20 30 s20 s10 20 所以s40 s30 s10 80 s40 s30 s40 s30 70 80 150 易错警示 1 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 巧用性质可以减少运算量 提高解题速度 2 在应用相应性质解题时 要注意性质中使结论成立的前提条件 此外 解题时还要注意对设而不求思想的运用 3 1已知x y z r 若 1 x y z 3成等比数列 则xyz的值为 a 3b 3c 3d 3答案c由题意知y2 3 y y与 1 3符号相同 y 又y2 xz xyz y3 3 3 2已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1a2a3 5 a7a8a9 10 则a4a5a6 a 5b 7c 6d 4答案a由题易知a1a2a3 a4a5a6 a7a8a9成等比数列 所以 a4a5a6 2 a1a2a3 a7a8a9 50 又an 0 a4a