高中数学 2.1.3两条直线的位置关系课件 北师大版必修2 .ppt

判断两直线平行 垂直的方法 两条直线平行与垂直的判断 判断两直线的位置关系首先分析直线斜率是否存在 例1 判断下列各对直线是否平行或垂直 1 l1 3x 4y 5 0 l2 6x 8y 10 2 l1 3x 5y 7 l2 5x 3y 9 3 l1 l2 4 l1 x 2 l2 y 2 审题指导 把 1 2 化成斜截式 借助k1与k2及b1与b2的关系作出判断 把 3 4 画出草图 借助图形作出判断 规范解答 1 把直线l1 l2分别化为 l1 l2 l1 l2 2 把直线l1 l2分别化为 l1 l2 k1 k2 且k1 k2 1 1 l1与l2既不平行也不垂直 3 如图 1 所示 l1 l2 两直线的斜率均不存在 l1 l2或重合 4 如图 2 所示 l1 x 2 l2 y 2 l1的斜率不存在 l2的斜率为0 l1 l2 变式训练 已知a 2 3 b 4 0 p 3 1 q 1 2 试判断直线ba与pq的位置关系 并证明你的结论 解析 直线ba与pq平行 证明如下 直线ba的斜率直线pq的斜率 k1 k2 直线ba与pq可能平行也可能重合 又直线bp的斜率k2 k3 即点p 3 1 不在直线ba上 故直线ba与pq平行 误区警示 本题在求解过程中常因只验证k1 k2 而忘记检验点p 3 1 是否在直线ba上 而盲目下结论 1 平行直线的求法 1 求与直线y kx b平行的直线方程时 根据两直线平行的条件可巧设为y kx m m b 然后通过待定系数法 求参数m的值 2 求与直线ax by c 0平行的直线方程时 可设方程为ax by m 0 m c 代入已知条件求出m即可 利用两条直线平行与垂直的条件求直线方程 2 垂直直线的求法 1 求与直线y kx b k 0 垂直的直线方程时 根据两直线垂直的条件可巧设为然后通过待定系数法 求参数m的值 2 求与直线ax by c 0 a b不同时为零 垂直的直线时 可巧设为bx ay m 0 然后用待定系数法 求出m 对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论 例2 如图 在平行四边形oabc中 点a 3 0 点c 1 3 1 求ab所在直线的方程 2 过点c作cd ab于点d 求cd所在直线的方程 审题指导 已知四边形oabc是平行四边形 可以利用平行四边形的有关性质求ab的斜率 利用两条直线垂直的条件求cd的斜率 进而求相应直线的方程 规范解答 1 点o 0 0 点c 1 3 oc所在直线的斜率为又在 oabc中 ab oc 所以kab koc 3 又点a 3 0 所以ab所在直线的方程为y 3 x 3 即3x y 9 0 2 在 oabc中 ab oc cd ab cd oc cd所在直线的斜率为 cd所在直线的方程为即x 3y 10 0 互动探究 在本例题设不变的情况下 求点d的坐标 解题提示 点d在直线ab上 又在直线cd上 联立方程组求解 即可得到点d的坐标 解析 点d在直线ab上 又在直线cd上 设点d的坐标为 x y 由题意可知解得所以点d的坐标为 3 7 2 1 对用一般式表示的两直线位置关系的判定方法设直线l1与l2的方程分别为 a1x b1y c1 0 a1 b1不同时为0 a2x b2y c2 0 a2 b2不同时为0 利用直线的平行与垂直求参数的值 由此 我们得到了更一般的判定两直线平行与垂直的结论 这一结论在解决含有参数 字母 的直线平行与垂直问题时 可避开讨论斜率是否存在 从而减少了因考虑不周而造成失误的可能性 例3 已知直线l1 ax 3y 1 0 l2 x a 2 y a 0 求满足下列条件的a的值 1 l1 l2 2 l1 l2 审题指导 直线l1和l2的方程均以一般式的形式给出 要判断l1 l2及l1 l2时 参数a的取值 求解思路有二 一是把方程均化成斜截式利用斜率及在y轴上截距的关系求解 二是直接利用系数a b c间的关系求解 规范解答 方法一 1 对于l1 若l1 l2 则存在 2 若l1 l2 则也存在 解得 方法二 由题可知a1 a b1 3 c1 1 a2 1 b2 a 2 c2 a 1 当l1 l2时 有即解得a 3 所以 当a 3时 l1 l2 2 当l1 l2时 有a1a2 b1b2 a 1 3 a 2 0 即4a 6 0 解得所以 当时 l1 l2 变式训练 已知直线l1的斜率为直线l2经过点a 3a 2 b 0 a2 1 且l1 l2 求实数a的值 解析 直线l1的斜率为且l1 l2 故直线l2的斜率一定存在 且k1 kab 1 又解得a 1或a 3 当a 1或a 3时 l1 l2 对直线方程综合应用的认识结合直线方程的形式及两直线平行和垂直的条件 通过方程的观点来研究生产实际问题 体现方程思想在生产实践中的应用 直线方程的综合应用 例 在路边安装路灯 路宽23m 灯杆长2 5m 且与灯柱成120 角 路灯采用锥形灯罩 灯罩轴线与灯杆垂直 当灯柱高h为多少米时 灯罩轴线正好通过道路路面的中线 精确到0 01m 审题指导 本题应先画出一个示意图 再通过建系 转化成有关直线问题 规范解答 记灯柱顶端为b 灯罩顶为a 灯杆为ab 灯罩轴线与道路中线交于点c 以灯柱底端o为原点 灯柱ob为y轴 建立如图所示的直角坐标系 点b的坐标为 0 h 点c的坐标为 11 5 0 oba 120 直线ab的倾斜角为30 则点a的坐标为 2 5cos30 h 2 5sin30 即 ca ba 由直线的点斜式方程得ca的方程为 灯罩轴线ca过点c 11 5 0 解得h 14 92 m 故灯柱高h约为14 92m 变式备选 2011 深圳高一检测 过点a 1 1 向直线l作垂线 垂足为b 3 1 求直线l与坐标轴围成的三角形的面积 解析 由题知ab所在的直线的斜率为设直线l的斜率为k 直线l的方程为 y 1 2 x 3 即2x y 7 0 直线l与坐标轴的交点坐标为 直线l与坐标轴围成的三角形的面积 典例 12分 已知a 0 3 b 1 0 c 3 0 求d点的坐标 使四边形abcd为直角梯形 a b c d按逆时针方向排列 审题指导 解答本题可先对直角梯形中哪个角为直角进行讨论 然后借助于平行 垂直的关系列方程组求d点的坐标 规范解答 设所求点d的坐标为 x y 如图所示 由于kab 3 kbc 0 kab kbc 0 1 即ab与bc不垂直 故ab bc都不可作为直角梯形的直角腰 2分 若cd是直角梯形的直角腰 则bc cd ad cd kbc 0 cd的斜率不存在 从而有x 3 又kad kbc 此时ab与cd不平行 故所求点d的坐标为 3 3 7分 若ad是直角梯形的直角腰 则ad ab ad cd 又由于ad ab 又ab cd 9分 解 可得此时ad与bc不平行 即所求d点的坐标为 11分综上可知 使四边形abcd为直角梯形的点d的坐标为 3 3 或 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 已知四边形abcd的顶点坐标试判断四边形abcd的形状 解析 ab边所在直线的斜率 cd边所在直线的斜率 bc边所在直线的斜率 da边所在直线的斜率 kab kcd kbc kda ab cd bc da 四边形abcd为平行四边形 又所以ab bc 又故kac kbd 0 1 ac与bd不垂直 四边形abcd为矩形 1 下列各组中的两条直线平行的有 1 2x y 11 0 x 3y 18 0 2 2x 3y 4 04x 6y 8 0 3 3x 4y 7 012x 16y 7 0 a 0组 b 1组 c 2组 d 3组 解析 选b 1 两直线的斜率不相等故不平行 2 两直线重合 3 两直线的斜率相等 且在y轴上的截距不相等 故平行 2 直线l过点 1 2 且与直线2x 3y 4 0垂直 则l的方程是 a 3x 2y 1 0 b 3x 2y 7 0 c 2x 3y 5 0 d 2x 3y 8 0 解析 选a 可得直线l的斜率为 l的方程为即3x 2y 1 0 选a 3 若直线l1 x y 3 0与l2 a 3 x y 2 0互相平行 则实数a的值是 解析 直线l1可化为 y x 3 直线l2可化为 y 3 a x 2 由l1 l2得3 a 1 解得a 4 答案 4 4 已知经过两点 3 2 和 m n 的直线l 1 若l与x轴平行 则m n的取值情况是 2 若l与x轴垂直 则m n的取值情况是 解析 1 l与x轴平行 由图 可知m r且m 3 n 2 2 l与x轴垂直 由图 可知m 3 n r且n 2 答案 1 m r且m 3 n 2 2 m 3 n r且n 2 5 已知p 2 1 直线l x y 4 0 1 求过点p与直线l平行的直线方程 2 求过点p与直线l垂直的直线方程 解析 1 设过点p与直线l平行的直线方程为x y m 0 由题意可知2 1 m 0 解得m 1 所以过点p与直线l平行的直线方程为x y 1 0 2 设过点p与直线l垂直的直线方程为x y n 0 由题意可知2 1 n 0 解得n 3 所以过点p与直线l垂直的直线方程为x y 3 0 一 选择题 每题4分 共16分 1 2010 安徽高考 过点 1 0 且与直线x 2y 2 0平行的直线方程是 a x 2y 1 0 b x 2y 1 0 c 2x y 2 0 d x 2y 1 0 解题提示 可设所求直线方程为x 2y c 0 代入已知点的坐标得c的值 进而得直线方程 解析 选a 设直线方程为x 2y c 0 又过 1 0 故c 1 所求方程为x 2y 1 0 2 经过 m 3 与 2 m 的直线l与斜率为 4的直线相互垂直 则m的值为 解析 选d 由题意可知解得 3 已知点p 0 1 点q在直线x y 1 0上 若直线pq垂直于直线x 2y 5 0 则点q的坐标是 a 2 1 b 2 1 c 2 3 d 2 1 解析 选c 设q x y 由题意可知kpq 2 又由得x 2 q 2 3 4 已知a 1 3 b 3 1 点c在坐标轴上 若 acb 90 则这样的点c的个数为 a 1 b 2 c 3 d 4 解题提示 由于题目只告诉点c在坐标轴上 没明确是x轴还是y轴 因此求解时应分类讨论 解析 选c 设c x 0 则由kac kbc 1 得 x 0或x 2 即c为 0 0 或 2 0 设c 0 y 则由kac kbc 1 得 y 0或y 4 即c为 0 0 或 0 4 故这样的点c有3个 故选c 方法技巧 分类讨论的依据在解题中同学们常常遇到含参数的问题 如果参数的变化对题目的结果产生了影响 我们一般会联想到解题时可能会用到分类讨论的思想 但有些题目不直接给出参数 而是通过图形的不确定性引发分类讨论 如本题因点c的不明确落在哪个轴上而引发讨论 另还有角的不明确性 方程的不明确性等等 学习中要多多注意总结 二 填空题 每题4分 共8分 5 已知直线mx 4y 2 0与2x 5y n 0垂直 垂足为 1 p 则m n p 解析 由mx 4y 2 0与2x 5y n 0垂直 知 m 10 又垂足为 1 p 解得 m n p 10 12 2 20 答案 20 6 2011 南京高二检测 如果直线ax 2y 2 0与直线3x y 2 0平行 则a 解析 直线3x y 2 0的斜率为3 直线ax 2y 2 0的斜率为 a 6 答案 6 三 解答题 每题8分 共16分 7 已知三角形的三个顶点坐标为a 2 4 b 1 2 c 2 3 求bc边上的高ad所在的直线方程 解析 直线bc的斜率为 ad bc 根据点斜式得bc边上的高ad所在的直线方程为即3x 5y 14 0 8 已知点m 2 2 n 5 2 点p在x轴上 分别求满足下列条件的p的坐标 1 mop opn o为坐标原点 2 mpn是直角 解题提示 1 由 mop opn可知直线mo pn 2 由 mpn是直角知mp np