小学奥数复习讲义.doc

一、典型应用题1. 和差问题 2. 和倍问题3. 差倍问题4. 平均数问题 5. 归一问题6. 还原问题7. 植树问题8. 盈亏问题9. 年龄问题10. 鸡兔问题11. 方阵问题 二、行程问题1. 相遇问题2. 追及问题3. 过桥问题4. 流水问题三、行程问题 1相遇问题2追及问题3. 过桥问题4. 流水问题四、分数应用题1一般分数应用题2单位“1”的转化3逆推问题4工程问题五、百分数应用题1.一般百分数应用题2.利润问题3.浓度问题六、比和比例应用题1.比例尺应用题2.按比例分配应用题3.正比例、反比例应用题七、列方程节解应用题35一典型应用题1.和差问题和差问题：已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类问题叫和差问题。基本公式：（和差）2大数 （和差）2小数解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。解题思路：在于找出条件和问题的内在联系，确定和与差。有时问题中没有直接给出两数的和与差，这就要先取出两数的和与差再利用公式求解。例： 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 12 ） 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 87=7 （人） 习题（1） 今年小强7岁，爸爸35岁，当两人的年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？（2） 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得多少分？（3） 甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名学生，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲乙两校原来各有学生多少人？（4） 小红的书比小玲的多9本，比小雷的多2本，小玲和小雷共有书47本，问三人各有书多少本?（5） 把90米的绳子分成3段，要使后一段比前一段多3米，问三段绳子各多少米？2、和倍问题和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。 基本公式：和倍数和=标准数 标准数倍数=另一个数 解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。 例：汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？ 分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 列式为（ 115-7 ）（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 5+7=97 （辆） （1） 果园里新栽李树和桃树共380棵，李树是桃树的3倍，问李树和桃树各多少棵？（2） 两块小麦试验田共收小麦7500千克。已知第二块地比第一块地的产量多3倍，问两块地的产量各是多少千克？（3） 甲班有图书120本，乙班有图书30本，问甲班给乙班多少本图书，甲班的图书是乙班的2倍？（4） （4）甲、乙、丙三数之和是1160，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，问甲、乙、丙三数各是多少？（5） 某校把少先队员捐献的1180本书送给甲、乙、丙三所希望小学，已知甲校得到的本数是乙校的2倍，而乙校又比丙校多得200本，问甲、乙、丙三校各的多少本书？3、差倍问题差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 基本公式：两个数的差（倍数1 ）= 标准数 标准数倍数=另一个数。 例： 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）（ 3-1 ） =17 （米）乙绳剩下的长度， 17 3=51 （米）甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）剪去的长度。 （1） 甲乙两桶油重量相等，如果从甲桶取出27千克放入乙桶，那么一桶油的重量正好是甲桶油的4倍。甲乙两桶原来各有油多少千克？（2） 甲粮仓比乙粮仓多存粮140吨，如果甲粮仓运进60吨，而乙粮仓运出60吨，则甲粮仓存粮是乙粮仓的3倍，问甲乙粮仓原来各存粮多少？（3） 农具厂第二季度生产的农具是第一季度的4倍少3000套。已知第二季度比第一季度多生产农具24000套，问两季度各生产农具多少套？（4） A、B两数，如果数A加上320就等于数B，如果数B加上460就等于数A的3倍，问A、B两数各是多少？（5） 有两袋大米，如果从第一袋中取出12千克放入第二袋，那么两袋大米的重量相等；如果从第二袋中取出19千克放入第一袋，第一袋大米的重量就相当于第二袋的2倍，问两袋大米各有多少千克？4.平均数问题平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和数量的个数=算术平均数。 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。 数量关系式 （部分平均数权数）的总和（权数的和）=加权平均数。 差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。 数量关系式：（大数小数）2=小数应得数 最大数与各数之差的和总份数=最大数应给数 最大数与个数之差的和总份数=最小数应得数。 例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是，汽车共行的时间为= , 汽车的平均速度为 2 =75 （千米）（1） 有两块小麦的，一块12公顷，平均每公顷产小麦4500千克；另一块8公顷平均每公顷产小麦4000千克。问着两块地平均每公顷产小麦多少千克？（2） 某校有100名学生参加数学竞赛，平均得分63分，其中男同学平均60分，女同学平均70分。问男同学比女同学多多少人？（3） 汽车从甲地开往乙地，每小时行45千米，4小时到达乙地。从乙地返回甲地时，由于上坡路较多，平均每小时行36千米。问汽车在往返途中平均每小时行多少千米？（4） 某次考试，甲、乙、丙、丁四位同学的成绩统计是：甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁平均分95分，问甲得了多少 ？5.归一问题归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。 根据求单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。数量关系式：单一量份数=总数量（正归一） 总数量单一量=份数（反归一） 例： 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 6930 （ 4774 31 ） =45 （天） （1） 3台车床4小时可以加工零件180个。照这样计算，5台车床加工600个零件需要几个小时？（2） 工程队用3台压路机5小时可以压路3000米。照这样计算5台压路机8小时可以压路多少米？（3） 5个工人加工735个零件，两天加工了135个。已知2天中有一人因事请假1天。照这样的工作效率，如果以后几天无人请假，还要多少天才能完成任务？（4） 甲有桌子若干张，乙有椅子若干把。如果乙用全部椅子换回数量同样多的桌子，需补给甲320元；如果乙不补钱，就要少换回5张桌子。已知3张桌子要比5把椅子的价钱少48元，问乙原有椅子多少把？6.还原问题还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。 解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。 解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。 根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。 例： 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调3人到三班，三班调 6人到二班，二班调6人到一班，一班调2人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？ 分析：当四个班人数相等时，应为 168 4 ，以四班为例，它调给三班3人，又从一班调入2人，所以四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。四班原有人数列式为 168 4-2+3=43 （人）； 一班原有人数列式为 168 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 4-6+6=42 （人）；三班原有人数列式为 168 4-3+6=45 （人）。 （1） 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根是第一根的3倍，问两根绳子各长多少米？（2） 一桶油，第一次用去全部的一半，第二次用去剩余的一半，还剩下12千克，问着桶油原来重多少千克？（3） 修路队修一段公路，第一天修了这段路的一半又50米，第二天修了剩下的一半又50米，第三天将剩下的100米全部修完，问这段公路全长多少米？（4） 小明在计算一道两位数加减法算式题时，由于粗心，将其中一个加数个位上的5看成了9，把另一个加数十位上的7看成了1，结果所得的和是52.这道题的正确答案是多少？7.植树问题植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。 解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 数量关系式：沿线段植树 棵树=段数+1 棵树=总路程株距+1 株距=总路程（棵树-1） 总路程=株距（棵树-1） 沿周长植树 棵树=总路程株距 株距=总路程棵树 总路程=株距棵树 例： 沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。 分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。解： 50 （ 301-1 ）（ 201-1 ） =75 （米）（1） 沿一个周长为48米的圆形水池旁种杨柳树，每隔12米种一棵，可以种的树棵？（2） 一个正方形鱼塘的周长是1200米，在4个角上都种上树后每边都种了16棵树，求每棵树之间相距多少米？（3） 解放军一个加强连244人排成四路纵队过一座桥，从队伍第一排上桥到最后一排离桥共用了15分钟。已知队伍前后两排相距2米，行进的速度是每分钟60米，求桥长多少米？（4） 一条长7200米的公路两旁从起点到终点原来每隔120米种有一棵树，现在要在树与树之间等距离增加5棵树，求公路两旁现在共有多少棵树？（5） 公园里有一个湖，湖边周长是3600米，按等距离共种了120棵杨树。现在要在每3棵杨树间等距离安放一条长椅供游人休息。沿湖边安放一周需要多少条长椅？椅与椅之间的距离是多少米？8.盈亏问题盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。 解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。 解题规律：总差额每人差额=人数 总差额的求法可以分为以下四种情况： 第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足 例： 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？ 分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了（25-5） =20 支，2个人多出20支，一个人分得10支解：（ 25-5 ）（ 12-10 ） =10 （支） 10 12+5=125 （支）。 （1） 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动。如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，就少2块。问这班少先队员有几人？要搬的砖共有多少块？（2） 学校为新生分配宿舍。每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间。问宿舍有多少间？新生有多少人？ （3） 少先队员去植树。如果每人种5棵，还有3棵每人种；如果其中2人各种4棵，其余人各种6棵，这些树苗正好种完。问有多少少先队员参加植树？一共种了多少树苗？（4） 红山小学学生乘车到香山春游。如果没车坐45人，则有5人不能乘上车；每车多做5人，恰多余一辆车，问一共有几辆汽车？有多少学生？9.年龄问题年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。 解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。 例 ：父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？ 分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（ 48-21 ）（ 4-1 ） =12 （年） （1） 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄的和事78岁，问：母亲今年多少岁？（2） 2005年爷爷的年龄是孙子的10倍，再过12年爷爷的年龄是孙子的4倍，2005年孙子是多少岁？（3） 小丽今年的年龄比小娜的3倍小2岁。而小丽8年前与小娜6年后的年龄相等，求小丽和小娜今年各几岁？（4） 姐姐对妹妹说“当我是你今年的岁数时，你才6岁。”妹妹对姐姐说“当我的岁数是你现在的岁数时，你将21岁。”姐姐和妹妹今年各几岁？10.鸡兔问题鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。 基本公式：（总腿数鸡腿数总头数）一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=（总腿数-2总头数）2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=（4总头数-总腿数）2 兔的头数=总头数-鸡的只数 例：鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？ 解：兔子只数 （ 170-2 50 ） 2 =35 （只） 鸡的只数 50-35=15 （只） （1） 一个停车场上，汽车、摩托车共停了60量，一共有190个轮子。问停车场上汽车、摩托车各有打算量？（2） 小明买回8角一本的练习本和4角一本的练习本共50本，付出人民币32元。问8角一本的练习册有打算本？（3） 蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有118条腿，翅膀20对。问蜻蜓有打算只？（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两队翅膀；蝉6腿，一队翅膀。）（4） 李师傅为单位老职工外出春游准备小食品。他到食品店买了A、B、C三种小食品共33千克已知A每种9元，B每种12元，C每种16元，A的千克数是B的2倍，共支付人民币384元。李师傅买三种小食品各打算千克？二行程问题行程问题：行程问题是研究物体的运动速度、时间和路程三者之间数量关系的问题。基本公式：路程速度时间 路程速度时间 路程时间速度问题关键：确定运动过程中的位置相遇问题：速度和相遇时间相遇路程 相遇时间相遇路程速度和追及问题：追及时间路程差速度差过桥问题：车长桥长速度时间流水问题：顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 船速（顺水速度逆水速度） 2 水速（顺水速度逆水速度） 2平均问题：平均速度总路程总时间基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）任意两个量，求第三个量。1相遇问题.相遇问题：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类问题叫相遇问题。基本公式：相遇时间总路程（甲速乙速） 总路程（甲速乙速）相遇时间例：甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：两人几小时后相遇？ 分析： 相遇时间相遇路程速度和 解：30(46)3(小时)（1） （1）甲、乙两量汽车从A、B两城同时相向开出，4个小时在途中相遇。已知甲汽车每小时行40千米，乙汽车每小时行55千米，问A、B两城相距多少千米？（2） 甲乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问二人几小时后相遇？（3） （3）甲、乙二人从相距100千米的AB两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走的过程中，甲车发生故障，修车用了1小时，在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度是乙的2倍，且相遇时甲车一修好，问甲乙二人速度各是多少？（4） 一辆货车和一辆客车同时从相距299千米的两地相向而行，货车每小时行40千米，客车每小时行52千米，问几小时后两车第一次相距69千米？几小时后两车第二次相距69千米？2追及问题.追及问题：两个运动的物体在不同地点出发（或在相同地点而不是同时出发、或在不同地点又不是同时出发作同向运动，在前面的行进速度慢些，在一定时间内，后面的追上前面的物体。这类问题叫追及问题。基本公式：追及时间路程差速度差例： 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。解： 2 8 （ 16-9 ） =4 （小时）（1） 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？（2） 甲乙二人在同一条路上前后相距9千米，他们同时同向一个方向前进，甲在前，以每小时5千米的速度步行，乙在后，以每小时19千米的速度骑自行车追甲。问几小时后乙能追上甲？（3） 甲乙二人同地同方向出发，甲每小时走7千米，乙每小时走5千米。乙先走2小时，甲才开始走，问甲追上乙需几小时？（4） 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一列火车以每小时 90千米的速度也从甲地开往乙地。在甲乙两地的中点处火车追上汽车，问甲乙两地相距多少千米？（5） 甲船每小时行30千米，乙船每小时行26千米，两船同时同地背向出发巡逻，两小时后，甲船返回追乙船，问几小时能追上乙船？3.过桥问题例：一条隧道长360米，某列火车从车头进洞到全车进洞用了8秒，从车头进洞到全车出洞用了20秒。这列火车长多少米？分析：火车8秒行的路程是火车的全长，20秒行的路程是隧道长加火车长的和。因此，火车行隧道长（360米）所用的时间是（208）秒，即可求出火车的速度。 解：火车的速度360（208）30（米/秒） 火车的长308240（米）例：一车队由12量同样的汽车组成，每两辆车之间间隔5米，车队以每秒20米的速度通过一座桥，从第一辆车上桥到整个车队通过用了7秒，已知桥长55米。问：每一辆汽车长多少米？分析：车队的速度车队通过桥的时间车队长桥长，车队的长由12量车长加上12辆车的间距（即：511） 解： 车队长 2075585（米） 车长 （85511）122.5（米）（1） 一列火车通过一个信号灯用了10秒，通过一座长900米的大桥用了46秒，问这列火车的长？（2） 一座桥长1800米，一列火车以每秒25米的速度通过这座桥，火车长200米。问火车从上桥到离桥需多少时间？（3） 两列火车，一列长280米，另一列长320米，两列火车都以每秒30米的速度向西而行，两车从相遇到离开需多少时间？（4） 小明站在立交桥上，一公交车以每秒10米的速度通过立交桥，小明发现公交车驶过立交桥的时间恰好为3秒，已知立交桥的宽度是公交车长的2倍，求高技术有多长？4.流水问题流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。 基本公式：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）2 流水速度=（顺流速度逆流速度）2 路程=顺流速度顺流航行所需时间 路程=逆流速度逆流航行所需时间 例： 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米 ，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？ 分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为： 逆水速度2842=20 （千米） 202=40 （千米）40（42）=5（小时） 甲乙两地路程285=140 （千米）。 （1） 一只渔船在静水中的速度是每小时4千米，它逆水4小时行驶了12千米，问水流的速度是多少？（2） 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用了8小时。已知水速是每小时3千米。问此船从乙港返回甲港所需的时间？（3） 甲乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中的速度是每小时20千米，水流速度是每小时4千米。问汽艇从甲码头顺水到乙码头需几小时？从乙码头逆水到甲码头需几小时？（4） 一条大河，河中间（主航道） 的水流速是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶了260千米。这只船沿岸边返回需多少小时？三分数应用题1 一般分数应用题分数加减法应用题： 分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。 分数乘法应用题： 是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。 分数除法应用题： 求一个数是另一个数的几分之几是多少。 甲是乙的几分之几:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。 甲比乙多（或少）几分之几：甲减乙比乙多（或少）几分之几。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数 。 已知一个数的几分之几 ,求这个数。 例：一桶油，第一次用去，正好是4升，第二次又用去这桶油的，还剩多少升？分析：题中的两个分数和都是把这桶油的总数作为单位一，我们要先求出这桶油有多少升。解： 这桶油的总数为412(升) 剩下的油是这桶油的1 剩下油的数量125（升）例：某工厂计划生产一批零件，第一次完成计划的，第二次完成计划的，第三次完成450个，结果超出计划的，计划生产零件多少个?分析：依题意450个零件可以分为两部分，一是完成剩下的任务（1）；二是超出计划的。解：计划生产零件的个数为450（1）1400（个）（1） 一辆汽车，从车站出发时坐满了人，途中到达某站，有的乘客下车，又有21人上车，这时有6为乘客没有座位，这时车内有乘客多少人？（2） 两堆煤，从甲堆运走，乙堆煤运走一部分后剩下，这时甲堆煤的重量是乙堆的，甲堆原有120吨，乙堆原有多少吨？（3） 一条水渠，第一天挖了25米，第二天挖了余下的，这时剩下的与挖好的相等。问这条水渠有多长？2.单位“1”的转化解题关键：（1）根据题意，能够转化题中的单位“1”，统一单位“1”。 （2）根据“甲数的几分之几等于乙数的几分之几”这种类型的关键句，转化出甲、乙两数之比来解答分数应用题。 （3）善于发现题中的不变量，抓住不变量进行分析。利用“不变量”作为中间条件进行解答；以不变量作为单位“1”，转换题中的关键句，统一单位“1”，然后再进行解答。例：甲乙两组共有54人，甲组人数的与乙组人数的相等，甲组比乙组少多少人？分析：“甲组人数的与乙组人数的相等。”这句话我们可以改写成下面的等式：甲组人数=乙组人数 即，甲组人数：乙组人数=：解：甲组人数：乙组人数=：=4：5 54=6（人）例：甲、乙、丙、丁四人共植树60棵，甲植树的棵数是其余三人的，乙植树的棵数是其余三人的，丙植树的棵数是其余三人的，丁植树多少棵？分析：题目中出现了三次“其余三人”，但它们所包含的对象不同，因此三个单位“1”是不同的。我们可以把四人的总植树棵数作为单位“1”，甲植树的棵数是其余三人的，可以理解为甲植树棵数占1份，其余三人占2份，那么甲植树的棵数占总棵数的。同理，乙植树的棵数占总棵数的，丙植树的棵数占总棵数的。这一过程就是所谓的转换 单位“1”，使单位“1”转换为“总棵数”。那么，丁植树的棵数就是总植树棵数60的（1）解： 60（1）=60 =13（棵）（1） 玩具厂三个车间共同做一批玩具，第一车间做了总数的，第二车间做了1600个，第三车间做的个数是一二车间总和的一半，这批玩具一共有多少个？（2） 一个长方形的周长是130厘米。如果长增加，宽减少，得到新的长方形的周长不变。求原来长方形的长、宽各是多少厘米？（3） 图书馆原有文艺书和科技书共5400本，其中科技书比文艺书少，最近又买来一批科技书，这时科技书与文艺书的比是9：10。图书馆买来科技书多少本？（4） （4）甲、乙两人原来的钱数的比是3:4，后来甲给乙50元，这时甲的钱数是乙的。问甲、乙二人原来各有多少钱？3逆推问题逆推问题：所谓的逆推问题就是在分析问题时需要反向思考。例：山顶有棵桃树，一只猴子去偷吃桃子，第一天偷吃了，以后三天分别偷了当天现有桃子的，第五天把树上剩余的10个桃子全部偷光。问树上原来有多少个桃子？分析：采用逆推法，根据第五天偷吃的（即第四天剩余的）10个和第四天偷，可以求出第三天剩余的桃子：10（1-）=20（个）如此类推，可以分别求出第二天、第一天剩余的桃子以及原来桃子的数量。解：第三天剩下的桃子数量10（1-）=20（个）第二天剩下的桃子数量20（1-）=30（个）第一天剩下的桃子数量30（1-）=40（个）原来桃子的数量40（1-）=50（个）解法二：由题可设原有桃子x个，然后列方程x（1）(1)（1）（1）=10解得x= 50（1） 甲乙个存款若干元，甲拿了存款的给以后，乙再拿出现有存款的给甲，这时他们各有180元。他们原来各有存款多少元？（2） （2）一队西瓜，第一次卖出总数的又4个，第二次卖出了余下的又2个，第三次又卖出余下的又2个，还剩2个，这堆西瓜共有多少个？（3） 小王看一本小说，第一天看了全书的还多16页，第二天看了全书的少2页，还剩下88页。问这本书共有多少页？（4） 某校五年级共有学生152人，选出男生的和5名女生参加科技小组，剩下的男、女生人数刚好相等。问五年级男、女生各有多少人？（5） 甲、乙两班共有62人参加科技小组活动，甲班参加人数的比乙班参加人数的少2人。问甲、乙两班各有多少人参加科技小组活动？4工程问题工程问题：是指研究工作量、工作效率和者之间关系的问题。解题关键：解答工程问题的关键是把工作量看做单位“1”，这样工作效率就等于工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量几分之几）基本公式：工作总量=工作效率工作时间 工作时间=工作总量工作效率 工作效率=工作总量工作时间例：一项工程，甲对单独做需要10天完成，乙对单独做需要15完成，现在两队合作，需要几天完成?分析：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出工程具体数单位以把这项工程看做“1”。甲对单独做需要10天完成，那么每天完成这项工程的，乙单独做需要15完成，那么每天完成这项工程的，现在两队合作，每天完成这项工程的（）。解：1（）=6（天）（1） 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？（2） 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？（3） 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？（4） 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？（5） 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？四百分数应用题1. 一般百分数应用题百分数应用题可以分为两种类型：（1） 求一个数是另一个数的百分之几？（2） 求一个数的百分之几是多少或已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例：某商品降价1000元后，售价4000元，问降价百分之几？分析：求降价百分之几，就是求降低的价格是原价的百分之几。那么，降价原价100就是所求问题。解：1000（10004000）100= 20（1） 纺织厂的女工占全厂人数的80，一车间的男工占全厂男工的25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？（2） 学校去年春季植树500棵，成活率为85，去年秋季植树的成活率为90。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？（3） 一次考试共有5道试题。做对第1，2，3，4，5题的人数分别占参加考试人数的85，95，90，75，80。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？（4） 育红小学四年级学生比三年级学生多25，五年级学生比四年级学生少10，六年级学生比五年级学生多10。如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？（5） 有三块地，第二块地的面积是第一块地的80，第三块地的面积比第二块多20，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。2浓度问题理解掌握：理清稀释、蒸发以及两种溶液混合等相关浓度问题的解题思路，会灵活运用各种方法来正确解答浓度问题。基本公式：浓度=溶质（溶液溶剂） 溶质=溶液浓度例：浓度为25的盐水60克，要稀释成浓度为6的盐水，问应加水多少克？分析：把浓度为25的盐水60稀释成浓度为6的盐水，期中盐的量不变，即问题中的“不变量”是盐。解：盐的含量为 6025=15（克） 稀释后盐水的重量为 156=250（克） 应加水 25060=190（克）（1） 有含糖量为7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？（2） 仓库运来含水量为90的一种水果100千克，一星期后再测，发现含水量降低到80。现在这批水果的总重量是多少千克？（3） 有酒精含量为30的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？（4） 配制硫酸含量为20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18和23的硫酸溶液各多少克？（5） 有一堆含水量14.5的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？3利润问题理解掌握：理清求利润、求成本、求利润率等相关利润问题的解题思路，会根据百分数应用题的解题方法来解答利润问题 。基本公式：利润率=利润成本=（定价成本）成本 定价=成本（1利润率）例：某商品按20的利润定价，然后8.8折卖出 ，共获得利润84元，求商品的利润是多少？分析：把商品的成本看做单位“1”,则定价为成本的120。解：打8.8折的卖价为（120）88=105.6实际利润为105.61=5.6商品的成本为 845.6=1500（元）（1） 某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？（2） 租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？（3） 张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若减价5，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商品的成本是多少元？（4） 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果