辽宁省庄河市高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列课件 新人教A版选修23辽宁省庄河市高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列课件 新人教A版选修23.ppt

1 2 1排列 2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺 在男子4 100米接力决赛中 由莫有雪 谢震业 苏炳添和张培萌组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军 这也是亚洲队伍在世界大赛中取得最好成绩 讨论 莫有雪 谢震业 苏炳添和张培萌有多少种不同的接力顺序 问题1 从甲 乙 丙3名同学中选出2名参加一项活动 其中1名同学参加上午的活动 另1名同学参加下午的活动 有多少种不同的选法 探究 分析 题目转化为顺序排列问题 把上面问题中被取的对象叫做元素 于是问题 就可以叙述为 从3个不同的元素a b c中任取2个 然后按照一定的顺序排成一列 一共有多少种不同的排列方法 ab ac ba bc ca cb 问题2 从1 2 3 4这4个数中 每次取出3个排成一个三位数 共可得到多少个不同的三位数 叙述为 从4个不同的元素a b c d中任取3个 然后按照一定的顺序排成一列 共有多少种不同的排列方法 abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb 由此可写出所有的三位数 123 124 132 134 142 143 213 214 231 234 241 243 312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432 问题1从甲 乙 丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动 其中1名参加上午的活动 1名参加下午的活动 有哪些不同的排法 实质是 从3个不同的元素中 任取2个 按一定的顺序排成一列 有哪些不同的排法 问题2从1 2 3 4这4个数中 每次取出3个排成一个三位数 共可得到多少个不同的三位数 实质是 从4个不同的元素中 任取3个 按照一定的顺序排成一列 写出所有不同的排法 定义 一般地说 从n个不同的元素中 任取m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列 基本概念 1 排列 从n个不同元素中取出m mn 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 说明 1 元素不能重复 2 按一定顺序 就是与位置有关 这是判断一个问题是否是排列问题的关键 3 两个排列相同 当且仅当这两个排列中的元素完全相同 而且元素的排列顺序也完全相同 4 m n时的排列叫选排列 m n时的排列叫全排列 5 为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏 可以采用 树形图 有序性 互异性 练习1下列问题是排列问题吗 1 从1 2 3 4四个数字中 任选两个做加法 其不同结果有多少种 2 从1 2 3 4四个数字中 任选两个做除法 其不同结果有多少种 3 从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标 可得多少个不同的点的坐标 4 平面上有5个点 任意三点不共线 这五点最多可确定多少条射线 可确定多少条直线 5 10个学生排队照相 则不同的站法有多少种 从中归纳这几类问题的区别 是排列 不是排列 是排列 是排列 不是排列 是排列 2 排列数 从n个不同的元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数 用符号表示 排列 和 排列数 有什么区别和联系 问题 中是求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 记为 已经算得 问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数 记为 已经算出 探究 从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少 呢 呢 1 排列数公式 1 当m n时 正整数1到n的连乘积 叫做n的阶乘 用表示 n个不同元素的全排列公式 2 排列数公式 2 说明 1 排列数公式的第一个常用来计算 第二个常用来证明 为了使当m n时上面的公式也成立 规定 2 对于这个条件要留意 往往是解方程时的隐含条件 排列数公式 常用于计算含有数字的排列数的值 常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证 小结 排列 从n个不同元素中选出m m n 个元素 并按一定的顺序排成一列 关键点 1 互异性 被选 所选元素互不相同 2 有序性 所选元素有先后位置等顺序之分 排列数 所有排列总数 例1计算 6 6 5 4 3 2 1 720 例题与练习 变式练习 17 14 n n 1 90 10 3 由乘积式写出排列数的符号 m 2 m 3 m k 3 例2 解方程 1 n 3 2 m 6 例3求证下列各式 你能用学过的方法 举一实际的例子说明 1 2 吗 变式练习 求证 1 2 2 3 3 n n n 1 1 分析 n n n 1 n 证明 n n n 1 n 左边 注意阶乘的几种变形 小结 1 排列的定义 不同元素 2 排列数公式 3 几种阶乘变形 排列应用题 概念复习 1 排列的定义 理解排列定义需要注意的几点问题 从n个不同元素中 任取m m n 个元素 这里的被取元素各不相同 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数的定义 排列数的计算公式 例1 某段铁路上有12个车站 共需要准备多少种普通客票 一 无限制条件的排列问题 例2 某年全国足球甲级 a组 联赛共有14队参加 每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次 共进行多少场比赛 1 从5种不同的蔬菜种子中选3种分别种在3块不同土质的土地上 共有多少种不同的种法 分析 把5个种子分别标上1 2 3 4 5 用123表示种子1种在第1块土地上 种子2种在第2块土地上 种子3种在第3块土地上 因此3个数的一个排列就是一种种植方法 从5个不同数中取出3个数的一个排列就是一种种植方法 多少个排列就有多少种种法 变式练习 2 公共汽车上有4位乘客 其中任何两个人都不在同一车站下车 汽车沿途停靠6个站 那么这4位乘客不同的下车方法有多少种 分析 个车站分别标上1 2 3 4 5 6 如1246表示第一位乘客在1号站下 第二位乘客在2号站下 第三位乘客在4号站下 第四位乘客在6号车站下 不同的排列表示不同的下法 有多少个不同的排列就有多少种不同的下法 共有a46 6 5 4 3 360 3 有5名男生 4名女生排队 1 从中选出3人排成一排 有多少种排法 2 全部排成一排 有有多少种排法 3 排成两排 前排4人 后排5人 有多少种排法 例3某信号共用红 黄 蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示 每次可以任挂1面 2面或3面 并且不同的顺序表示不同的信号 一共可以表示多少种不同的信号 变式 将题中的 3面旗 改为 3种色颜色的旗子n面 n 3 结论如何 课堂练习 1 20位同学互通一封信 那么通信次数是多少 2 由数字1 2 3 4 5 6可以组成多少个没有重复数字的正整数 3 5个班 有5名语文老师 5名数学老师 5名英语老师 每个班上配一名语文老师 一名数学老师和一名英语老师 问有多少种不同的搭配方法 例4 用0到9这十个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 分析1 由于百位上的数字不能为0 只能从1到9这9个数字中任选一个 有种选法 再排十位和个位上的数字 可以从余下的9个数字中任选2个 有种选法 根据分步计数原理 所求三位数的个数是 分析2 所求的三位数可分为 不含数字0的 有个 含有数字0的 有个 根据分类计数原理 所求三位数的个数是 分析3 从0到9这十个数字中取3个的排列数为 其中以0为百位数字的排列数为 故所求三位数的个数是 特殊位置预置法 特殊元素预置法 排除法 二 有限制条件的排列问题 小结一 对于 在 与 不在 等有特殊元素或特殊位置的排列问题 通常是先排特殊元素或特殊位置 称为优先处理特殊元素 位置 法 优限法 优限法 变 1 用0到9这十个数字 可以组成多少个没有重复数字的且能被5整除的三位数 2 用1到9这九个数字 可以组成多少个没有重复数字的且能被3整除的三位数 例55个人站成一排 共有多少种排法 其中甲必须站在中间 有多少种不同的排法 其中甲 乙两人必须相邻 有多少种不同的排法 其中甲 乙两人不相邻 有多少种不同的排法 其中甲 乙两人不站排头和排尾 有多少种不同的排法 其中甲不站排头 乙不站排尾 有多少种不同的排法 小结二 对于相邻问题 常用 捆绑法 先捆后松 捆绑法 小结三 对于不相邻问题 常用 插空法 特殊元素后考虑 插空法 例55个人站成一排 其中甲 乙两人不站排头和排尾 有多少种不同的排法 解 甲 乙两人不站排头和排尾 则这两个位置可从其余3人中选2人来站 有种排法 剩下的人有种排法 共有种排法 特殊位置预置法 特殊元素预置法 排除法 例55个人站成一排 其中甲不站排头 乙不站排尾 有多少种不同的排法 解 甲站排头有种排法 乙站排尾有种排法 但两种情况都包含了 甲站排头 乙站排尾 的情况 有种排法 所以共有种排法 用直接法 如何分类 一类 甲站排尾 二类 甲站中间 所以共有种排法 7 甲与乙中间必须排2名 有几种排法 例55个人站成一排 例6有4名男生 3名女生 3名女生高矮互不等 将7名学生排成一行 要求从左到右 女生从矮到高排列 有多少种排法 顺序固定问题用 除法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先将这几个元素与其它元素一同进行排列 然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数 所以共有种 分析 先在7个位置上作全排列 有种排法 其中3个女生因要求 从矮到高 排 只有一种顺序故只对应一种排法 本题也可以这样考虑 对应于先将没有限制条件的其他元素进行排列 有种方法 再将有限制条件 顺序要求 的元素进行排列 只有一种方法 故 总的排列方法数为 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 1 若其中的a小孩必须站在b小孩的左边 有多少种不同的排法 变式练习 解法2 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是一个男孩 三家是一个女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 2 若三个女孩要站在一起 有多少种不同的排法 解 将三个女孩看作一人与四个男孩排队 有种排法 而三个女孩之间有种排法 所以不同的排法共有 种 变式 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 3 若三个女孩要站在一起 四个男孩也要站在一起 有多少种不同的排法 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 4 若三个女孩互不相邻 有多少种不同的排法 解 先把四个男孩排成一排有种排法 在每一排列中有五个空档 包括两端 再把三个女孩插入空档中有种方法 所以共有 种 排法 变式 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成一排照相留念 5 若三个女孩互不相邻 四个男孩也互不相邻 有多少种不同的排法 相间问题 七个家庭一起外出旅游 若其中四家是男孩 三家是女孩 现将这七个小孩站成两排照相留念 6 若前排站三人 后排站四人 其中的a b两小孩必须站前排且相邻 有多少种不同的排法 解 a b两小孩的站法有 种 其余人的站法有 种 所以共有 种 排法 解 连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开 如图 表示没有命中 命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有a25 5 4 20种排法 2 某人射击8枪 命中4枪 4枪命中恰好3枪连在一起的不同种数有多少 课堂练习 1 4个学生和3个老师排成一排照相 老师不能排两端 且老师必须排在一起的不同排法种数是 a b c d 2 停车场上有一排七个停车位 现有四辆汽车要停放 若要使三个空位连在一起 则停放的方法有种 3 用0 1 2 3 4 5六个数字 可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数 4 在7名运动员中选出4名组成接力队 参加4 100米接力赛 那么甲 乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种 d 法一 法二 拓展性练习 1 把15个人分成前后三排 每排5人 不同的排法数为 2 计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 4幅油画 5幅国画 排成一行陈列 要求同一品种的画必须连在一起 那么不同的陈列方式有 3 由1 2 3 4 5这5个数字组成无重复数字的五位数 其中奇数有个 c b 4 某城市在中心广场建造一个花圃 花圃分为6个部分 如右图 现要栽种4种不同颜色的花 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 不同的栽种方法有 种 以数字作答 所以 共有4