二次函数图像信息题

二次函数图表信息题二次函数图表信息题 一 选择题 共 18 小题 1 已知二次函数 y x2 bx c 的图象过点 A 1 m B 3 m 若点 M 2 y1 N 1 y2 K 8 y3 也 在二次函数 y x2 bx c 的图象上 则下列结论正确的是 A y1 y2 y3B y2 y1 y3C y3 y1 y2D y1 y3 y2 2 抛物线 y x2 2x 1 与坐标轴交点为 A 二个交点B 一个交点C 无交点D 三个交点 3 已知 a 0 在同一直角坐标系中 函数 y ax 与 y ax2的图象有可能是 A B C D 4 抛物线 y 2x2 y 2x2 共有的性质是 A 开口向下B 对称轴是 y 轴 C 都有最高点D y 随 x 的增大而增大 5 如图是二次函数 y ax2 bx c 的图象的一部分 对称轴是直线 x 1 b2 4ac 4a 2b c 0 不等式 ax2 bx c 0 的解集是 x 3 5 若 2 y1 5 y2 是抛物线上的两 点 则 y1 y2 上述 4 个判断中 正确的是 A B C D 6 抛物线 y ax2 bx c 的顶点为 D 1 2 与 x 轴的一个交点 A 在点 3 0 和 2 0 之间 其部分图象如 图 则以下结论 b2 4ac 0 a b c 0 c a 2 方程 ax2 bx c 2 0 有两个相等的实数根 其中正确结论的个数为 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 7 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 1 1 和 1 0 下列结论 a b c 0 b2 4ac 当 a 0 时 抛物线与 x 轴必有一个交点在点 1 0 的右侧 抛物线的对称轴为 x 其中结论正确的个数有 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 8 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 给出下列四个结论 4ac b2 0 4a c 2b 3b 2c 0 m am b b a m 1 其中正确结论的个数是 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 9 如图是二次函数 y ax2 bx c a 0 图象的一部分 x 1 是对称轴 有下列判断 b 2a 0 4a 2b c 0 a b c 9a 若 3 y1 y2 是抛物线上两点 则 y1 y2 其中正确的是 A B C D 10 2014 天津 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 且关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c m 0 没有实 数根 有下列结论 b2 4ac 0 abc 0 m 2 其中 正确结论的个数是 A 0B 1C 2D 3 11 如图 二次函 y ax2 bx c a 0 图象的一部分 对称轴为直线 x 且经过点 2 0 下列说法 abc 0 a b 0 4a 2b c 0 若 2 y1 y2 是抛物线上的两点 则 y1 y2 其中说法正确 的是 A B C D 12 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 则下列说法 c 0 该抛物线的对称轴是直线 x 1 当 x 1 时 y 2a am2 bm a 0 m 1 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 13 二次函数 y ax2 bx c a 0 图象如图 下列结论 abc 0 2a b 0 当 m 1 时 a b am2 bm a b c 0 若 ax12 bx1 ax22 bx2 且 x1 x2 x1 x2 2 其中正确的有 A B C D 14 二次函数 y ax2 bx c a 0 的部分图象如图 图象过点 1 0 对称轴为直线 x 2 下列结论 4a b 0 9a c 3b 8a 7b 2c 0 当 x 1 时 y 的值随 x 值的增大而增大 其中正确的结论有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 15 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 分析下列四个结论 abc 0 b2 4ac 0 3a c 0 a c 2 b2 其中正确的结论有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 16 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 下列结论 abc 0 2a b 0 4a 2b c 0 a c 2 b2 其中正确的个数有 A1B 2C 3D4 17 二次函数 y ax2 bx c 图象如图 下列正确的个数为 bc 0 2a 3c 0 2a b 0 ax2 bx c 0 有两个解 x1 x2 当 x1 x2时 x1 0 x2 0 a b c 0 当 x 1 时 y 随 x 增大而减小 A 2B 3C 4D 5 18 如图 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 下列 4 个结论 abc 0 b a c 4a 2b c 0 b2 4ac 0 其中正确结论的有 A B C D 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 18 小题 小题 1 2014 承德二模 已知二次函数 y x2 bx c 的图象过点 A 1 m B 3 m 若点 M 2 y1 N 1 y2 K 8 y3 也在二次函数 y x2 bx c 的图象上 则下列结论正确的是 A y1 y2 y3B y2 y1 y3C y3 y1 y2D y1 y3 y2 考点 二次函数图象上点的坐标特征 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 利用 A 点与 B 点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线 x 2 然后根据点 M N K 离对称轴的远近求 解 解答 解 二次函数 y x2 bx c 的图象过点 A 1 m B 3 m 抛物线开口向上 对称轴为直线 x 2 M 2 y1 N 1 y2 K 8 y3 K 点离对称轴最远 N 点离对称轴最近 y2 y1 y3 故选 B 点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征 二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式 2 2014 宁波一模 抛物线 y x2 2x 1 与坐标轴交点为 A 二个交点B 一个交点C 无交点D 三个交点 考点 抛物线与 x 轴的交点 菁优网版权所有 分析 因为 x2 2x 1 0 中 2 2 4 1 1 0 有两个相等的实数根 图象与 x 轴有一个交点 再加当 y 0 时的 点即可 解答 解 当 x 0 时 y 1 当 y 0 时 x 1 抛物线 y x2 2x 1 与坐标轴交点有两个 故选 A 点评 解答此题要明确抛物线 y x2 2x 1 的图象与 x 轴交点的个数与方程 x2 2x 1 0 解的个数有关 还得考虑与 y 轴相交 3 2014 宁夏 已知 a 0 在同一直角坐标系中 函数 y ax 与 y ax2的图象有可能是 A B C D 考点 二次函数的图象 正比例函数的图象 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 本题可先由一次函数 y ax 图象得到字母系数的正负 再与二次函数 y ax2的图象相比较看是否一致 也 可以先固定二次函数 y ax2图象中 a 的正负 再与一次函数比较 解答 解 A 函数 y ax 中 a 0 y ax2中 a 0 但当 x 1 时 两函数图象有交点 1 a 故 A 错误 B 函数 y ax 中 a 0 y ax2中 a 0 故 B 错误 C 函数 y ax 中 a 0 y ax2中 a 0 但当 x 1 时 两函数图象有交点 1 a 故 C 正确 D 函数 y ax 中 a 0 y ax2中 a 0 故 D 错误 故选 C 点评 函数中数形结合思想就是 由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号 由函数解析式各项系数的性 质符号画出函数图象的大致形状 4 2014 毕节地区 抛物线 y 2x2 y 2x2 共有的性质是 A 开口向下B 对称轴是 y 轴 C 都有最高点D y 随 x 的增大而增大 考点 二次函数的性质 菁优网版权所有 分析 根据二次函数的性质解题 解答 解 1 y 2x2开口向上 对称轴为 y 轴 有最低点 顶点为原点 2 y 2x2开口向下 对称轴为 y 轴 有最高点 顶点为原点 3 y x2开口向上 对称轴为 y 轴 有最低点 顶点为原点 故选 B 点评 考查二次函数顶点式 y a x h 2 k 的性质 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象具有如下性质 当 a 0 时 抛物线 y ax2 bx c a 0 的开口向上 x 时 y 随 x 的增大而减小 x 时 y 随 x 的增大而增大 x 时 y 取得最小值 即顶点是抛物线的最低点 当 a 0 时 抛物线 y ax2 bx c a 0 的开口向下 x 时 y 随 x 的增大而增大 x 时 y 随 x 的增大而减小 x 时 y 取得最大值 即顶点是抛物线的最高点 5 2014 达州 如图是二次函数 y ax2 bx c 的图象的一部分 对称轴是直线 x 1 b2 4ac 4a 2b c 0 不等式 ax2 bx c 0 的解集是 x 3 5 若 2 y1 5 y2 是抛物线上的两点 则 y1 y2 上述 4 个判断中 正确的是 A B C D 考点 二次函数图象与系数的关系 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数与不等式 组 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 根据抛物线与 x 轴有两个交点可得 b2 4ac 0 进而判断 正确 根据题中条件不能得出 x 2 时 y 的正负 因而不能得出 正确 如果设 ax2 bx c 0 的两根为 那么根据图象可知不等式 ax2 bx c 0 的解集是 x 或 x 由此判断 错误 先根据抛物线的对称性可知 x 2 与 x 4 时的函数值相等 再根据二次函数的增减性即可判断 正确 解答 解 抛物线与 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 b2 4ac 故 正确 x 2 时 y 4a 2b c 而题中条件不能判断此时 y 的正负 即 4a 2b c 可能大于 0 可能等于 0 也可能 小于 0 故 错误 如果设 ax2 bx c 0 的两根为 那么根据图象可知不等式 ax2 bx c 0 的解集是 x 或 x 故 错误 二次函数 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 1 x 2 与 x 4 时的函数值相等 4 5 当抛物线开口向上时 在对称轴的右边 y 随 x 的增大而增大 y1 y2 故 正确 故选 B 点评 主要考查图象二次函数图象与系数的关系 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数的性质 以及二次函 数与不等式的关系 根的判别式的熟练运用 6 2014 孝感 抛物线 y ax2 bx c 的顶点为 D 1 2 与 x 轴的一个交点 A 在点 3 0 和 2 0 之间 其部分图象如图 则以下结论 b2 4ac 0 a b c 0 c a 2 方程 ax2 bx c 2 0 有两个相等的实数根 其中正确结论的个数为 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 考点 二次函数图象与系数的关系 抛物线与 x 轴的交点 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b2 4ac 0 有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线 x 1 则根据抛 物线的对称性得抛物线与 x 轴的另一个交点在点 0 0 和 1 0 之间 所以当 x 1 时 y 0 则 a b c 0 由抛物线的顶点为 D 1 2 得 a b c 2 由抛物线的对称轴为直线 x 1 得 b 2a 所以 c a 2 根据二次函数的最大值问题 当 x 1 时 二次函数有最大值为 2 即只有 x 1 时 ax2 bx c 2 所以说方程 ax2 bx c 2 0 有两个相等的实数根 解答 解 抛物线与 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 所以 错误 顶点为 D 1 2 抛物线的对称轴为直线 x 1 抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点 3 0 和 2 0 之间 抛物线与 x 轴的另一个交点在点 0 0 和 1 0 之间 当 x 1 时 y 0 a b c 0 所以 正确 抛物线的顶点为 D 1 2 a b c 2 抛物线的对称轴为直线 x 1 b 2a a 2a c 2 即 c a 2 所以 正确 当 x 1 时 二次函数有最大值为 2 即只有 x 1 时 ax2 bx c 2 方程 ax2 bx c 2 0 有两个相等的实数根 所以 正确 故选 C 点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象为抛物线 当 a 0 抛物 线开口向上 对称轴为直线 x 抛物线与 y 轴的交点坐标为 0 c 当 b2 4ac 0 抛物线与 x 轴有 两个交点 当 b2 4ac 0 抛物线与 x 轴有一个交点 当 b2 4ac 0 抛物线与 x 轴没有交点 7 2014 十堰 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 1 1 和 1 0 下列结论 a b c 0 b2 4ac 当 a 0 时 抛物线与 x 轴必有一个交点在点 1 0 的右侧 抛物线的对称轴为 x 其中结论正确的个数有 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 常规题型 分析 将点 1 0 代入 y ax2 bx c 即可判断 正确 将点 1 1 代入 y ax2 bx c 得 a b c 1 又由 得 a b c 0 两式相加 得 a c 两式相减 得 b 由 b2 4ac 4a a 2a 4a2 2a 2 当 a 时 b2 4ac 0 即可判断 错误 由 b2 4ac 2a 2 0 得出抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴有两个交点 设另一个交点的横坐标为 x 根 据一元二次方程根与系数的关系可得 1 x 1 即 x 1 再由 a 0 得出 x 1 即可判断 正确 根据抛物线的对称轴公式为 x 将 b 代入即可判断 正确 解答 解 抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 1 0 a b c 0 故 正确 抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 1 1 a b c 1 又 a b c 0 两式相加 得 2 a c 1 a c 两式相减 得 2b 1 b b2 4ac 4a a 2a 4a2 2a 2 当 2a 0 即 a 时 b2 4ac 0 故 错误 当 a 0 时 b2 4ac 2a 2 0 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴有两个交点 设另一个交点的横坐标为 x 则 1 x 1 即 x 1 a 0 0 x 1 1 即抛物线与 x 轴必有一个交点在点 1 0 的右侧 故 正确 抛物线的对称轴为 x 故 正确 故选 B 点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征 二次函数图象与系数的关系 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质 不等式的性质 难度适中 8 2014 资阳 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 给出下列四个结论 4ac b2 0 4a c 2b 3b 2c 0 m am b b a m 1 其中正确结论的个数是 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系 需要根据图形 逐一判断 解答 解 抛物线和 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 4ac b2 0 正确 对称轴是直线 x 1 和 x 轴的一个交点在点 0 0 和点 1 0 之间 抛物线和 x 轴的另一个交点在 3 0 和 2 0 之间 把 2 0 代入抛物线得 y 4a 2b c 0 4a c 2b 错误 把 1 0 代入抛物线得 y a b c 0 2a 2b 2c 0 b 2a 3b 2c 0 正确 抛物线的对称轴是直线 x 1 y a b c 的值最大 即把 m 0 m 1 代入得 y am2 bm c a b c am2 bm b a 即 m am b b a 正确 即正确的有 3 个 故选 B 点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系 在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状 对称轴 特殊点的关系 也要掌握在图象上表示一元二次方程 ax2 bx c 0 的解的方法 同时注意特殊点的运用 9 2014 聊城 如图是二次函数 y ax2 bx c a 0 图象的一部分 x 1 是对称轴 有下列判断 b 2a 0 4a 2b c 0 a b c 9a 若 3 y1 y2 是抛物线上两点 则 y1 y2 其中正确的是 A B C D 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系 需要根据图形 逐一判断 解答 解 抛物线的对称轴是直线 x 1 1 b 2a b 2a 0 故 正确 抛物线的对称轴是直线 x 1 和 x 轴的一个交点是 2 0 抛物线和 x 轴的另一个交点是 4 0 把 x 2 代入得 y 4a 2b c 0 故 错误 图象过点 2 0 代入抛物线的解析式得 4a 2b c 0 又 b 2a c 4a 2b 8a a b c a 2a 8a 9a 故 正确 根据图象 可知抛物线对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小 抛物线和 x 轴的交点坐标是 2 0 和 4 0 抛物线的对称轴是直线 x 1 点 3 y1 关于对称轴的对称点的坐标是 1 y1 y2 1 y1 y2 故 正确 即正确的有 故选 B 点评 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系 在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状 对称轴 特殊点的关系 也要掌握在图象上表示一元二次方程 ax2 bx c 0 的解的方法 同时注意特殊点的运用 10 2014 天津 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 且关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c m 0 没有实 数根 有下列结论 b2 4ac 0 abc 0 m 2 其中 正确结论的个数是 A 0B 1C 2D 3 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 由图象可知二次函数 y ax2 bx c 与 x 轴有两个交点 进而判断 先根据抛物线的开口向下可知 a 0 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系 根据对称轴在 y 轴右侧得 出 b 与 0 的关系 然后根据有理数乘法法则判断 一元二次方程 ax2 bx c m 0 没有实数根 则可转化为 ax2 bx c m 即可以理解为 y ax2 bx c 和 y m 没 有交点 即可求出 m 的取值范围 判断 即可 解答 解 二次函数 y ax2 bx c 与 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 故 正确 抛物线的开口向下 a 0 抛物线与 y 轴交于正半轴 c 0 对称轴 x 0 ab 0 a 0 b 0 abc 0 故 正确 一元二次方程 ax2 bx c m 0 没有实数根 y ax2 bx c 和 y m 没有交点 由图可得 m 2 故 正确 故选 D 点评 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系 会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系 以及二次函数与 方程之间的转换 根的判别式的熟练运用 11 2014 齐齐哈尔 如图 二次函 y ax2 bx c a 0 图象的一部分 对称轴为直线 x 且经过点 2 0 下列说法 abc 0 a b 0 4a 2b c 0 若 2 y1 y2 是抛物线上的两点 则 y1 y2 其 中说法正确的是 A B C D 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 根据抛物线开口方向 对称轴位置 抛物线与 y 轴交点位置求得 a b c 的符号 根据对称轴求出 b a 把 x 2 代入函数关系式 结合图象判断函数值与 0 的大小关系 求出点 2 y1 关于直线 x 的对称点的坐标 根据对称轴即可判断 y1和 y2的大小 解答 解 二次函数的图象开口向下 a 0 二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一点 c 0 对称轴是直线 x b a 0 abc 0 故 正确 由 中知 b a a b 0 故 正确 把 x 2 代入 y ax2 bx c 得 y 4a 2b c 抛物线经过点 2 0 当 x 2 时 y 0 即 4a 2b c 0 故 错误 2 y1 关于直线 x 的对称点的坐标是 3 y1 又 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 3 y1 y2 故 正确 综上所述 正确的结论是 故选 A 点评 本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用 注意 当 a 0 时 二次函数的图象开口向上 当 a 0 时 二次函数的图象开口向下 12 2014 威海 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 则下列说法 c 0 该抛物线的对称轴是直线 x 1 当 x 1 时 y 2a am2 bm a 0 m 1 其中正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 分析 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理 进而对所 得结论进行判断 解答 解 抛物线与 y 轴交于原点 c 0 故 正确 该抛物线的对称轴是 直线 x 1 故 正确 当 x 1 时 y a b c 对称轴是直线 x 1 b 2a 1 b 2a 又 c 0 y 3a 故 错误 x m 对应的函数值为 y am2 bm c x 1 对应的函数值为 y a b c 又 x 1 时函数取得最小值 a b c am2 bm c 即 a b am2 bm b 2a am2 bm a 0 m 1 故 正确 故选 C 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 系数符号由抛物线开口方向 对称 轴 抛物线与 y 轴的交点 抛物线与 x 轴交点的个数确定 13 2014 南充 二次函数 y ax2 bx c a 0 图象如图 下列结论 abc 0 2a b 0 当 m 1 时 a b am2 bm a b c 0 若 ax12 bx1 ax22 bx2 且 x1 x2 x1 x2 2 其中正确的有 A B C D 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 根据抛物线开口方向得 a 0 由抛物线对称轴为直线 x 1 得到 b 2a 0 即 2a b 0 由抛物线与 y 轴的交点位置得到 c 0 所以 abc 0 根据二次函数的性质得当 x 1 时 函数有最大值 a b c 则当 m 1 时 a b c am2 bm c 即 a b am2 bm 根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在 1 0 的右侧 则当 x 1 时 y 0 所以 a b c 0 把 ax12 bx1 ax22 bx2先移项 再分解因式得到 x1 x2 a x1 x2 b 0 而 x1 x2 则 a x1 x2 b 0 即 x1 x2 然后把 b 2a 代入计算得到 x1 x2 2 解答 解 抛物线开口向下 a 0 抛物线对称轴为性质 x 1 b 2a 0 即 2a b 0 所以 正确 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方 c 0 abc 0 所以 错误 抛物线对称轴为性质 x 1 函数的最大值为 a b c 当 m 1 时 a b c am2 bm c 即 a b am2 bm 所以 正确 抛物线与 x 轴的一个交点在 3 0 的左侧 而对称轴为性质 x 1 抛物线与 x 轴的另一个交点在 1 0 的右侧 当 x 1 时 y 0 a b c 0 所以 错误 ax12 bx1 ax22 bx2 ax12 bx1 ax22 bx2 0 a x1 x2 x1 x2 b x1 x2 0 x1 x2 a x1 x2 b 0 而 x1 x2 a x1 x2 b 0 即 x1 x2 b 2a x1 x2 2 所以 正确 故选 D 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 二次项系数 a 决定抛物线的开口方 向和大小 当 a 0 时 抛物线开口向上 当 a 0 时 抛物线开口向下 一次项系数 b 和二次项系数 a 共 同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左侧 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对 称轴在 y 轴右侧 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 0 c 抛物线与 x 轴交点个数 由 决定 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 14 2014 烟台 二次函数 y ax2 bx c a 0 的部分图象如图 图象过点 1 0 对称轴为直线 x 2 下列结 论 4a b 0 9a c 3b 8a 7b 2c 0 当 x 1 时 y 的值随 x 值的增大而增大 其中正确的结论有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 代数几何综合题 数形结合 分析 根据抛物线的对称轴为直线 x 2 则有 4a b 0 观察函数图象得到当 x 3 时 函数值小于 0 则 9a 3b c 0 即 9a c 3b 由于 x 1 时 y 0 则 a b c 0 易得 c 5a 所以 8a 7b 2c 8a 28a 10a 30a 再根据抛物线开口向下得 a 0 于是有 8a 7b 2c 0 由于对称轴为直线 x 2 根据二次函数的性质得到 当 x 2 时 y 随 x 的增大而减小 解答 解 抛物线的对称轴为直线 x 2 b 4a 即 4a b 0 故 正确 当 x 3 时 y 0 9a 3b c 0 即 9a c 3b 故 错误 抛物线与 x 轴的一个交点为 1 0 a b c 0 而 b 4a a 4a c 0 即 c 5a 8a 7b 2c 8a 28a 10a 30a 抛物线开口向下 a 0 8a 7b 2c 0 故 正确 对称轴为直线 x 2 当 1 x 2 时 y 的值随 x 值的增大而增大 当 x 2 时 y 随 x 的增大而减小 故 错误 故选 B 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 二次项系数 a 决定抛物线的开口方 向和大小 当 a 0 时 抛物线向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 一次项系数 b 和二次项系数 a 共 同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对 称轴在 y 轴右 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于 0 c 抛物线与 x 轴交点个数由 决定 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 2 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 1 个交点 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 15 2014 贵港 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 分析下列四个结论 abc 0 b2 4ac 0 3a c 0 a c 2 b2 其中正确的结论有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 分析 由抛物线的开口方向 抛物线与 y 轴交点的位置 对称轴即可确定 a b c 的符号 即得 abc 的符号 由抛物线与 x 轴有两个交点判断即可 分别比较当 x 2 时 x 1 时 y 的取值 然后解不等式组可得 6a 3c 0 即 2a c 0 又因为 a 0 所 以 3a c 0 故错误 将 x 1 代入抛物线解析式得到 a b c 0 再将 x 1 代入抛物线解析式得到 a b c 0 两个不等式相乘 根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后 得到 a c 2 b2 解答 解 由开口向下 可得 a 0 又由抛物线与 y 轴交于正半轴 可得 c 0 然后由对称轴在 y 轴左侧 得到 b 与 a 同号 则可得 b 0 abc 0 故 错误 由抛物线与 x 轴有两个交点 可得 b2 4ac 0 故 正确 当 x 2 时 y 0 即 4a 2b c 0 1 当 x 1 时 y 0 即 a b c 0 2 1 2 2 得 6a 3c 0 即 2a c 0 又 a 0 a 2a c 3a c 0 故 错误 x 1 时 y a b c 0 x 1 时 y a b c 0 a b c a b c 0 即 a c b a c b a c 2 b2 0 a c 2 b2 故 正确 综上所述 正确的结论有 2 个 故选 B 点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 系数符号由抛物线开口方向 对称 轴 抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 16 2014 莱芜 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 下列结论 abc 0 2a b 0 4a 2b c 0 a c 2 b2 其中正确的个数有 A 1B 2C 3D 4 考点 二次函数图象与系数的关系 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 由抛物线开口方向得 a 0 由抛物线对称轴在 y 轴的左侧得 a b 同号 即 b 0 由抛物线与 y 轴的交点 在 x 轴上方得 c 0 所以 abc 0 根据抛物线对称轴的位置得到 1 0 则根据不等式性质即可得到 2a b 0 由于 x 2 时 对应的函数值小于 0 则 4a 2b c 0 同样当 x 1 时 a b c 0 x 1 时 a b c 0 则 a b c a b c 0 利用平方差公式展开得到 a c 2 b2 0 即 a c 2 b2 解答 解 抛物线开口向下 a 0 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧 x 0 b 0 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方 c 0 abc 0 故 正确 1 0 2a b 0 故 正确 当 x 2 时 y 0 4a 2b c 0 故 正确 当 x 1 时 y 0 a b c 0 当 x 1 时 y 0 a b c 0 a b c a b c 0 即 a c b a c b 0 a c 2 b2 0 故 正确 综上所述 正确的个数有 4 个 故选 D 点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象为抛物线 当 a 0 抛物 线开口向上 对称轴为直线 x 抛物线与 y 轴的交点坐标为 0 c 当 b2 4a