常微分方程初值问题答案

1.(10分）对常微分方程初值问题取步长 分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。解：（1） 改进的Euler方法： 代入公式得，即 2分 （2）标准的四阶Runge-Kutta方法：即 （4分）改进的Euler法经典四阶R-K法准确值0.10.90500000.90483750.90483740.20.81902500.81873090.81873080.30.74121760.74081820.74081820.40.67080200.67032030.67032000.50.60707580.60653090.60653070.60.54940350.54881200.54881160.70.49721020.49658560.49658530.80.44997530.44932930.44932900.90.40722760.40657000.40656971.00.36854100.36787980.36787942. 对常微分方程初值问题取步长 分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。解：（1） 改进的Euler方法： 代入公式得，即 .(2分) （2）标准的四阶Runge-Kutta方法：即(4分)改进的Euler法经典四阶R-K法准确值0.10.9512500.9512190.9512290.20.9048770.9048180.9048370.30.8607640.8606970.8607080.40.8188020.8186950.8187310.50.7788850.7787580.7788010.60.7409140.7407700.7408180.70.7047950.7046340.7046880.80.6704360.6702610.6703200.90.6377520.6375650.6376281.00.6066620.6064640.606531 . .(10分) 数值分析复习题一、填空题1.绝对误差限=末位的一半+单位，相对误差限=绝对误差限/原值*100%1. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。2. 测量一支铅笔长是16cm， 那么测量的绝对误差限是 ，测量的相对误差限是 。3. 称量一件商品的质量为50千克，则其绝对误差限为 ，相对误差限是 。2.利用平方差的方法4. 在数值计算中，当是较大的正数时，计算应变成_ 5. 在数值计算中，计算应变成 来计算。6. 在数值计算中，计算应变为 来计算。3.f的位数与f（x）的最高次相同的话，就是最高位的常数，大于的话为07. 若，则_， 。8. 函数关于三个节点的拉格朗日二次插值多项式为 3.f(x)=f(x0)(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2) ，4f（k/n）Pk(x)=x9. 当时， 。10. 代数式 _, _.11. 已知方程组，那么收敛的迭代格式为：，收敛的迭代格式为：收敛理由是 严格对角占优矩阵 , 12. 已知线性方程组，那么收敛的Jacobi迭代格式：12.化为线性方程2.调整排序收敛的G-S迭代格式： 。收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,13. 求积公式至少有n次代数精度的充要条件是_它是插值型_;当n是偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有_n+1_P103_次代数精度；高斯求积公式至少有_2n+1_P116_次代数精度。14. 设，则矩阵的特征值的界为 （2.2）与7的和、差为界 ，矩阵的特征值的界为 界的倒数 。max（1=i=n）(j(1,n)|aij|等价于每一列中最大值的和 max（1=j=n）(i(1,n)|aij|等价于每一行中最大值的和作业第五章12 P11615. 已知，那么 _, _, _, _, _, _,其中相等的范数有_.二、判断题1. 如果插值节点互不相同，则满足插值条件的次插值多项式是存在且唯一。（ x ） 2. 迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。 （ x ）3. 区间上的三次样条插值函数在上具有直到三阶的连续函数。（ ）4. 已知，那么。 （ 1 ）5. 求解的近似值，我们能用函数逼近的插值法，解方程的二分法以及迭代法中的牛顿法来完成。 （ 1 ）6. 插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。 （ 1 ）7.。 （ ）8. 在使用松弛法（SOR）解线性代数方程组时，若松弛因子满足，则迭代法一定不收敛。 （ 1 ）9. 求解单变量非线性方程，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。 （ 1）10. 常微分方程初值问题数值解法的理论根据是函数的泰勒展开。 （ 1 ）11. 解单变量非线性方程，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen迭代法，则为3阶收敛。 （ 1 ）三、计算解答题和证明题1、已知函数表如下：0.00.20.40.60.81.00001.22141.49181.82212.2255构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求和的近似值。1.列出牛顿的插值表2.Px=f（x0）+P322、用适当的二次插值多项式求和，并估计误差，函数表如下： 1.11.31.51.71.90.09530.26240.40550.53060.64193、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下：P75（1）13461.23.556（2）1234502254（3）13461.23.556（4）-2-11237521-14、二分法求根作业第七章1(1) 方程在1,2附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：）;(2) 方程在1,2附近的根，使绝对误差不超过0.01;(3) 方程,在-2,-1附近的根，使绝对误差不超过0.01。第六章5、用适当的方法解方程组：(1); (2); (3).作业第四章146、写出复合梯形公式、复合辛普生公式、复合柯特斯公式及龙贝格公式之间的关系，并用龙贝格方法计算积分，误差限不超过。7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分，已知，8、设方程组，写出迭代法和迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。9、对常微分方程初值问题 （1）（2）（3）取步长 分别用Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算，列表写出结果，并与准确值比较。10、求，至少用三种方法求值，并简要叙述求解过程。11、设是正交矩阵，证明。12、（1）当时，；（2）；（3）如果是正交阵，则。13、证明：适当选取待定参数, 求积公式 的代数精度可达到。14、试证明：适当选取待定参数, ，求积公式 的代数精度可达到。15、证明Chebyshev多项式满足微分方程 。16、已知方阵，（1） 证明：不能分解成一个单位下三角阵和一个上三角阵的乘积；（2） 试通过交换的行，进行分解。二、课本习题1每章的“复习与思考题”2. P48, 2,4,8,16;P94,7,10,13,16,19;P135,1,14;P176,7,8,9,10,13,19,20;P209,1,2;P238,1,3,7,12;P275,1,2;P315,1,4,10.1.(10分）对常微分方程初值问题取步长 分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和简要推导过程，并把结果填入表内。解：（1） 改进的Euler方法： 代入公式得，即 2分 （2）标准的四阶Runge-Kutta方法：即 （4分）改进的Euler法经典四阶R-K法准确值0.10.90500000.90483750.90483740.20.81902500.81873090.81873080.30.74121760.74081820.74081820.40.67080200.67032030.67032000.50.60707580.60653090.60653070.60.54940350.54881200.54881160.70.49721020.49658560.49658530.80.44997530.44932930.44932900.90.40722760.40657000.40656971.00.36854100.36787980.36787942. 对常微分方程初值问题取步长 分别用改进的Euler法和标准的四阶Runge-Kutta法作数值计算,写出公式和推导过程，并把结果填入表内。解：（1） 改进的Euler方法： 代入公式得，即 .(2分) （2）标准的四阶Runge-Kutta方法：即(4分)改进的Euler法经典四阶R-K法准确值0.10.9512500.9512190.9512290.20.9048770.9048180.9048370.30.8607640.8606970.8607080.