数学建模企业的营销管理问题.doc

答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目： 企业的营销管理问题（A题） 组 别： 本科生参赛队员信息(必填)： 姓 名专业班级及学号联系电话参赛队员1梁飞网络081080402013515045024045参赛队员2陈飞网络081080402012513684518375参赛队员3王斌鹏网络081080402010913684519548 参赛学校： 哈尔滨理工大学答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：评阅情况（学校评阅专家填写）：学校评阅1.学校评阅2.学校评阅3. 评阅情况（联赛评阅专家填写）：联赛评阅1.联赛评阅2.联赛评阅3. 企业的营销管理问题 摘要本文对大多数企业所面临的生产销售问题做了初步的假设分析，力求解决公司的利润最大化，营销部的收入最大化等问题。在对具体问题的分析上，根据所求不同，列出不同的假设变量，并求解出不同的生产和销售方案。 本题中给定宏宇公司及其一些基本情况，包括公司生产能力，签约量（已签和意向），营销部的工作行为，发放的经费，客户的情况等。公司在已签约情况下须履行合约，完成生产，对意向签约量须有选择的安排生产，以达到所得利润最大。营销部作为公司的主力，须努力提高签约量以及尽大可能的销售公司产品。此外客户的意向考虑在内给问题的求解增加了点实际色彩，故我们先假设在理想情况下即客户意向为100%情况下求解出方案，然后一一考虑不同客户的意向需求量，根据不同商家的期望值，及产品的不同利润有选择的进行生产。本题为典型的求生产“最优”问题，这就用到数学建模中的规划模型。在本题中用到了非线性规划（数学上用来确定多变量线性函数在变量满足线性约束条件下的最优值），并用到了Matlab软件用来作图分析，绘制函数图形，更形象直观的论述了问题。关键词利润最大化 非线性规划 最优问题 期望值 拟合函数一 问题重述 本题所论述的是企业生产及销售问题给定宏宇公司及其一些基本情况，包括公司生产能力，签约量（已签和意向），营销部的工作行为，发放的经费，客户的情况等。公司在已签约情况下须履行合约，完成生产，对意向签约量须有选择的安排生产，以达到所得利润最大。营销部作为公司的主力，须努力提高签约量以及尽大可能的销售公司产品。此外客户的意向考虑在内给问题的求解增加了点实际色彩。在此题中，请分别按以下要求为宏宇电器公司制定相应的生产、销售方案：（1）使公司的利润达到最大；（2）使营销部的总收入极大化；（3）兼顾公司和营销部二者的利益；（4）兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求，尽量做到均衡销售；（5）公司为了调动营销部的积极性，为公司多创利润，规定对于计划外销售的产品，营销部可以自行定价。统计数据显示，自行定价后每单位产品的销售价格上涨或下降5，则三类小家电的可能销售量相应的减少或增加10。试确定使营销部总收入最大的定价、生产及销售方案。二 问题分析与假设2.1问题分析该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题，初步分析题意后可知所求函数是非线性的。在对题目分析时，应理解企业一些运作情况。首先，公司是必须先完成已签约量之后，再对意向签约量有选择的进行生产。企业要达到最大利润，得选择盈利最多的产品进行生产并销售。除了计划内（签约）要生产销售的产品，企业要多生产一些产品，让销售部额外销售。在产品的成本问题上，企业有自己的打算。一般企业（如本题）单位产品成本会随着产量的增多而降低，故企业总希望尽量多的生产产品以减小成本赢利。销售方面，单位产品的价格会随着订购量的增加而减小。在此题中，营销部的任务是尽量争取与意向签约的客户签订正式合约，还需努力多销售一些产品。对于所签约的销售合同和意向签约量（计划内），企业根据销售量向营销部发放经费（包括工资以及宣传费用等）；对于计划外销售的产品，实行承包制，营销部向企业缴纳利润。这里要说明的是计划外的产品营销部要承担产品的宣传费用，并上缴一部分利润，但一般计划外卖出的产品利润较多，故营销部是赢利的，所以销售部希望在计划外能多卖出产品。对于意向签约的概率，这里在问题中先以100%计算以求得利润最在，然后再一次展开讨论，并计算出各意向用户的需求期望和需求区间，使结果较准确的接近实际所求。产品的销量与产品单价有一定的关系，故提高或降低价格会减少或增加销量，根据本题所给的数据建立关系求解。2.2问题假设1） 第一二三问时，将意向客户的需求概率设为100%；2） 将生产量，需求量，销售量看成连续的；3） 意向客户需求量的期望值看为客户实际需求；4） 此题中企业及其周围各种因素保持稳定；5） 该企业生产的产品均为合格。三 符号说明：营销部自行定价后价格以5%幅度上涨的倍数；: 第i种产品的产量；: 第i种产品计划内的产量；: 第i种产品的已签约量;: 第i种产品最大的签约量；: 第i种产品计划内最大的签约量；: 第i种产品签约量的期望值; -:计划外销售的最大量:签约用户第j种家电的第i个订单的签约量表；:意向用户第j种家电的第i个订单的签约量表；：计划外第j种家电的第i个订单的签约量表;: 第i种产品利润； ：公司的总利润；：营销部的总收入；：营销部自行定价后的总收入；：兼顾公司和营销部二者的利益；：兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求均衡销售的利益；: 第i种产品的成本函数；:计划内第i种产品的经费函数；: (x):营销部计划外第i种上缴的利润函数；:第i种产品的销售额函数；:第i种产品的宣传费用函数；四 模型建立41数据分析 1）对表中公司利润数据的分析用Matlab对原题中表2(成本数据)，4（销售额）数据进行绘图，并将同类产品所得曲线放在一起（如热水壶1，2，3）进行比较（如下表）。表2 10种小家电产量与成本关系表产量（千件）家电1357101520253035401924.339.653.5572.9102.6129.6153175.5195.3208.829.826.4643.1258.3179.38111.7141.2166.6191.1208.3227.4310.227.5444.8860.6982.62116.3146.9173.4198.9221.3236.642366.55104.6140.1188.6265.7335.8391441.6491.1515.2526.575.52120.6161.4217.3298.1386.9450.5508.8565.8593.6627.277.52123.6165.6223.1314.2397.1462.4522.2580.7609.372879.8126166.6224315380.8434462509.656083085.5135178.5240337.5408465495546600931.790.3142.6188.6253.6356.6431.1491.3523.1576.96341032.592.146.2193.4260365.6442503.7536.2591.5650说明：表2中的数据为每种家电在相应产量下的总成本（单位：万元）。表4 每种小家电的销售额随订购量变化表订购量（千件）家电1234567891011112.622.933.343.151.960.16875.782.189.794.3213.7225.336.346.656.565.174.181.188.797.6102.6314.2826.537.748.458.868.277.183.892.5101.6108432.261.891.2114.7137157.8177.9194.8210.9231.9246.2537.171.9103.5131.6158181.9204.9224.7245.1267.3283.3638.0874.4106.2134.9161.9186.9210.3230.4249.9274.4292.7739.275.3109.3137.9165.1188.7211.6230.8251.8275.5294.684280.2117.1147.8176.8202.3226.7248.7270.3295.2314.9944.3884.8123.7156.1186.8213.6239.5252.9275.2311.9331.81045.586.9126159.6191.5219245.6269.4292.1319.8341.3说明：表4中的数据为每种小家电在相应订购量下的销售额（单位：万元）。表4 .1.1 每种小家电的利润随订购量变化表订购量（千件）家电13571013.6912.314.5516.823.929.8413.3815.7918.2234.0810.2413.9216.4118.9849.224.6532.437.143.3510.627.9837.443.550610.8828.6838.344.751.3711.229.539.14551.581231.641.848.252.5912.6833.444.250.958.310133445.352.259.8说明：表4.1.1中的数据为每种小家电在相应订购量下的销售额（单位：万元）。比较得同类产品订购量相同情况下升数大的产品利润较大，即同类产品的利润有下列关系：， 故公司应多生产Q3,Q6,Q10等产品以加大赢利； 通过表2 ，用Matlab拟合函数，可得产品成本函数;通过表4，可得产品销售额函数公司赢利公式：公司利润销售额成本经费+计划外上缴利润2）对营销部利润数据的分析表3 每种小家电的宣传费用随着销售量变化表产量（千件）家电13571015202530354010.882.333.634.766.288.6910.9812.9614.7416.4117.5420.962.543.965.196.839.4611.9614.1116.0517.4919.1312.644.125.397.119.8512.4414.6916.7118.5919.8742.256.389.5912.4516.2322.5128.4533.1237.0941.2543.2752.67.2411.0614.3418.7125.2532.7738.1642.7447.5249.8662.677.4311.3314.7219.2126.6133.6339.1643.8648.7851.1872.747.6511.5614.8119.2826.6732.2636.7638.8142.8147.0482.948.1912.3815.8720.6628.5934.5639.3841.5845.8650.493.118.6613.0816.7621.8330.2136.5141.6243.9448.4653.26103.188.8213.4117.1922.3830.9737.4542.6645.0449.6954.6说明：表3中的数据为每种小家电在相应销售量下的宣传费用（单位：万元）。通过对表3中数据分析，用Matlab拟合函数，可得产品宣传费用函数营销部的收入经费+计划外卖出产品的利润上缴利润宣传费3)对意向用户和计划外销售的概率分析表5 八个签约订单的签约量表家电订单1234567891010.450.80.10.350.50.250.0820.50.3530.350.450.20.450.450.350.0740.250.350.250.350.40.30.350.10.1560.450.40.250.40.30.270.650.3580.950.5说明：表5中的数据为已签约的每个订单中对应小家电的数量（单位：万个）。表6 五家意向签约客户的最大意向签约量表（万个）家电意向客户1234567891010.150.10.10.10.250.220.150.20.10.10.40.10.230.30.150.140.20.350.150.20.350.2表7 意向客户1可能签订订购合同量的概率表家电签约量（万个）1234567891000.30.60.550.30.10.10.30.40.450.70.10.30.150.40.20.20.40.70.250.2表8 意向客户2可能签订订购合同量的概率表家电签约量（万个）1234567891000.20.30.50.40.10.20.10.10.30.20.50.60.10.80.30.150.50.30.30.40.20.20.20.20.30.20.40.1表9 意向客户3可能签订订购合同量的概率表家电签约量（万个）1234567891000.30.40.50.10.10.20.50.150.30.40.20.20.30.1表10 意向客户4可能签订订购合同量的概率表家电签约量（万个）1234567891000.400.70.10.30.10.30.150.20.30.20.10.30.30.10.350.2表11 意向客户5可能签订订购合同量的概率表家电签约量（万个）1234567891000.50.20.20.10.30.20.50.20.20.30.30.30.20.350.1表12 计划外可能签订订购合同量的概率表产品合同量1234567891000.10.10.20.10.10.40.10.050.20.20.10.40.30.10.30.30.30.10.10.50.20.20.20.40.20.30.40.20.30.250.20.50.30.20.10.40.20.10.10.40.30.10.10.40.10.10.10.10.10.10.20.50.1通过对意向用户和计划外需求的概率表分析，根据期望计算公式 E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),p(Xn)为这几个数据的概率函数可得出产品的需求期望如下表表4.1.3 各产品的需求期望单位（千件）产品12345678910期望3.6503.2503.0503.9504.7501.8004.3008.0003.7003.9004）其它所需函数表分析对题目中表1和表12进行分析，可得每种产品最多签约量表，如下表表4.1.4每种产品计划内产量Di与最大签约量Ci表单位（万个）产品12345678910Di1.12.31.21.52.51.71.52.71.30.9Ci1.52.71.61.92.92.02.03.21.61.2序 号12345678910已签约量Bi（万个）0.82.01.01.02.01.51.11.71.00.5表13 企业向营销部发放计划内销售产品的经费（万元）表销售量（千件）家电13571015202530354011.8724.686.3967.5148.73611.1814.14416.69218.25220.33221.73622.03845.11686.95768.21089.474412.2215.39218.219.86421.63223.60832.12165.28327.23848.53329.869612.68816.06818.92820.69623.03624.59644.78412.81816.84819.65622.51629.01636.71242.69245.91651.06453.5655.51214.54919.44822.622632.55242.22449.19252.93658.81261.72465.657614.91319.91623.24426.67634.3243.36850.49254.28860.37263.33675.82415.3420.33223.426.7834.37241.647.37248.04852.98858.2486.2416.43221.73625.06428.70436.86844.56450.75251.4856.78462.496.593617.36822.98426.46830.31638.94847.0653.66454.39260.00865.936106.7617.6823.55627.14431.09639.93648.25655.01655.74461.51667.6对表13数据分析可得出，企业向营销部发放计划内销售产品的经费函数 表14 计划外销售部分营销部向企业缴纳利润表销售量（千件）家电123456789101112.163.755.46.697.388.1158.679.429.6910.0810.47622.3524.3025.9047.0868.0288.6319.4749.76210.16410.93211.25332.4484.5786.0967.3148.3529.099.2469.4810.31411.38812.21845.5210.21514.7917.47519.4421.2722.6823.12424.28225.98026.50856.3612.53416.78820.12422.4424.5426.126.80227.8583031.10466.52813.22417.20820.60422.9825.3826.8227.38429.38230.78032.02876.7212.8417.72123.4625.442728.12229.36430.932.64087.213.4718.9622.5325.0827.3328.9229.8230.5133.1234.44097.60814.2820.0423.7926.5228.830.5431.58431.96233.7835.760107.814.7920.424.327.1829.5231.3232.2832.5834.6837.308对表14进行分析，可得营销部计划外上缴的利润函数表5 八个签约订单的签约量表家电订单1234567891010.450.80.10.350.50.250.0820.50.3530.350.450.20.450.450.350.0740.250.350.250.350.40.30.350.10.1560.450.40.250.40.30.270.650.3580.950.5说明：表5中的数据为已签约的每个订单中对应小家电的数量（单位：万个）。4.2模型建立4.2.1公司利润最大模型根据公司利润销售额成本经费+计划外上缴利润销售额+;成本;经费;计划外上缴利润;故+； 加上约束项 X1+X2+X3 =5； X4+X5+X6 =6.5; X7+X8+X9+X10 =6.2; Ti=Xi; Xi=Ci; Ti=Di;4.2.2 营销部总收入极大化模型营销部的收入经费+计划外卖出产品的利润上缴利润宣传费经费;计划外卖出产品的利润=;上缴利润宣传费;加上约束项+ =5； +=6.5; +=6.2; = =; =;4.2.3兼顾公司和营销部二者的利益建模要兼顾公司和营销部二者的利益，将公司和营销部看为整体求解，即将两者函数加和：销售额成本+计划外卖出产品的利润宣传费 =+；加上约束项+ =5； +=6.5; +=6.2; = =; =; -=-;4.2.4兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求均衡销售模型要做到均衡销售，需考虑客户的需求概率和期望，销售额成本+计划外卖出产品的利润宣传费=+；加上约束项+ =5； +=6.5; +=6.2; = =; =; -=-;=+;4.2.5营销部可自行定价后收入模型 营销部自行定价后，每单位产品的销售价格上涨或下降5%则销售量相应的减少或增加10%，即销售额上涨或下降5%则销售量相应的减少或增加10%。： ;约束条件：+ =5； +=6.5; +=6.2; = =;五模型求解5.1公司利润最大模型求解 说明：在具体求解中需注意函数中单位的使用，保持一致。 根据模型，可得出目标函数和约束条件如下： +； 加上约束项 X1+X2+X3 =5； X4+X5+X6 =6.5; X7+X8+X9+X10 =6.2; Ti=Xi; Xi=Ci; Ti=Di; 用MATLAB拟合函数，可得出成本函数（具体代码见附表）=0.0002-0.0735+7.7904x+1.8542;= 0.0005-0.0949+8.7093x+1.4070; = 0.0002-0.0834+8.8314x+12.0939; = 0.0004-0.2036+20.3812x+5.7324; = 0.0000-0.2010+22.8334x+802020; = 0.0005-0.2436+24.1736x+6.2363; = 0.0065-0.6369+29.0853x-3.4501; = 0.0070-0.6824+31.1628x-3.6965; = 0.0073-0.7210+32.9269x-3.9249; = 0.0076-0.7409+33.7949x-4.2823; 销售额函数=0.0003-0.2720+11.4429 x+1.3576;=0.0078-0.4139+12.8769 x+1.2185;=0.0165-0.5603+13.9414 x+0.7558;=0.0682-1.9654+36.0104 x-2.0803;=0.0584-1.9019+39.7564 x-0.5955;=0.0783-2.2395+41.9655 x-1.5942;=0.1045-2.7425+44.6484 x-3.1439;=0.0985-2.7237+49.9763 x-2.6833;=0.1870-4.3020+55.7898 x-9.0291;=0.1408-2.9051+50.6082 x-2.7303; 企业向营销部发放计划内销售产品的经费函数 =0.0001-0.0136+0.8422 x+1.8398; =0.0002-0.0163+0.9403 x+1.9451; =0.0001-0.0153+0.9539 x+2.0766; =0.0003-0.0363+2.1923 x+4.9782; =0.0003-0.0385+2.4607 x+5.8576; =0.0004-0.0437+2.6204 x+5.7752; =0.0010-0.0844+3.1029 x+4.9506; =0.0011-0.0906+3.3277 x+5.2847; =0.0011-0.0954+5.5112 x+5.5989; =0.0012-0.0984+3.6110 x+5.6761;营销部计划外上缴的利润函数=0.0070-0.2024+2.3288 x-0.0140;=0.0101-0.2572+2.6463 x-0.0346;=0.0189-0.3986+3.2644 x-0.4915;=0.0293-0.7339+7.0365 x-0.8632;=0.0367-0.8843+8.2061 x-0.8670;=0.0353-0.8619+8.1866 x-0.5205;=0.0387-0.9269+8.5683 x-0.9010;=0.0435-1.0373+9.4151 x-1.3150;=0.0446-1.0910+9.9706 x-1.4294;=0.0498-1.1772+10.4393 x-1.6511;建立非线性模型，并用数学软件进行求解，得公司最大利润 =2218.43123万元此时的生产方案和销售方案见下表表5.1.1 公司利润最大产品生产量及销售分配表（单位： 万个）家电订单1234567891010.450.80.10.350.50.250.0820.50.3530.350.450.20.450.450.350.0740.250.350.250.350.40.30.350.10.1560.450.40.250.40.30.270.650.3580.950.5意向用户0.10.30.20.20.50.21.00.1计划外0.40.20.40.40.30.50.3总量0.92.71.41.62.92.01.13.21.455.2营销部总收入极大化模型求解 根据模型和约束条件;加上约束项+ =5； +=6.5; +=6.2; = =; =; 以及用Matlab拟合函数，可得产品宣传费用函数=0.0000-0.0070+0.6594 x+0.3739;=0.0001-0.0089+0.7367 x+0.3601;=0.0000-0.0078+0.7456 x+0.4289;=0.0001-0.0192+1.7226 x+1.0658;=-0.0001-0.0150+1.8778 x+1.4710;=0.0001-0.0229+2.0429 x+1.2159;=0.0006-0.0559+2.4528 x+0.4251;=0.0006-0.0600+2.6299 x+0.4499;=0.0007-0.0633+2.7770 x+0.4818;=0.0007-0.0651+2.8525 x+0.4609;建立非线性模型，并用数学软件进行求解，得到销售部收入最大为=488.039329 万元此时生产方案和销售方案如下表表5.2.1 销售部收入最大产品生产量及销售分配表（单位： 万个）家电订单1234567891010.450.80.10.350.50.250.0820.50.3530.350.450.20.450.450.350.0740.250.350.250.350.40.30.350.10.1560.450.40.250.40.30.270.650.3580.950.5意向用户0.30.10.50.20.20.1计划外0.40.40.40.30.40.50.30.3总量1.52.51.01.52.42.01.82.21.395.3兼顾公司和营销部二者的利益建模若兼顾公司和营销部的利益，再考虑5.1与5.2的解之后，发现其相近很多，在考虑二者做为一个整体，当整最大时二者的利益便可兼顾。 ：销售额成本+计划外卖出产品的利润宣传费 =+；加上约束项+ =5； +=6.5; +=6.2; = =; =; -=-;加上以求的拟合函数，用数学软件求解得，当整体利润为2268.47921时，二者利益都兼顾，产品生产和销售方案如下表表5.3.1 兼顾公司和销售部产品生产量及销售分配表（单位： 万个）家电订单1234567891010.450.80.10.350.50.250.0820.50.3530.350.450.20.450.450.350.0740.250.350.250.350.40.30.350.10.1560.450.40.250.40.30.270.650.3580.950.5意向用户0.30.20.50.21.00.1计划外0.10.40.40.40.40.30.50.3总量0.92.71.41.62.92.01.13.21.40.55.4兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求均衡销售模型考虑到客户的需求，达到均衡销售，要把客户的需求概率，这里用数学期望来解决，在5.3基础上，约束跳件考虑客户期望。：销售额成本+计划外卖出产品的利润宣传费 =+；加上约束项+ =5； +=6.5; +=6.2; = =+; =; -=-; 求解得当=1176.33528时，产品生产和销售方案如下表表5.4.1 兼顾公司和销售部产品生产量及销售分配表（单位： 万个）家电订单1234567891010.450.80.10.350.50.250.0820.50.3530.350.450.20.450.450.350.0740.250.350.250.350.40.30.350.10.1560.450.40.250.40.30.270.650.3580.950.5意向用户0.10.10.30.1计划外0.30.40.30.40.40.20.40.50.30.3总量1.12.41.31.52.51.71.52.51.40.8 5.5营销部可自行定价后收入模型 营销部在计划外自行定价，在5.4基础上，计划内的订购量已经确定，只是计划外 的销售量随定价的变化变化，： ;约束条件：+ =5； +=6.5; +=6.2; = =8 千个; =20 千个； =10 千个； =11 千个； =21 千个； =15千个； =11 千个； =20 千个； =10千个； =5 千个；建立非线性模型求解得 =680.957535 万元；=r=3.2278