文科高数习题(一)答案在(三)中.doc

一、极限1.证明：不存在.2.证明：当时，与是同阶无穷小量.3.证明：.4.当时，两无穷小和中哪一个是高阶的？5.当时，无穷小和下列无穷小是否同阶？是否等价？(1); (2).6.设当时，求的值.7.求极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)8.求极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9)(10) (11)(12) (13)(14) (15)(16) (17)(18) (19)(20) (21) (22) (23)(24) (25)*9.若，求，的值.10.求下列极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24)(25) (26)11.已知，求常数.二、连续函数12.设函数，求，.13.设，求，.14.设，求，.15.设，求.16.设，求.17.设，求.18.设函数，当时，求及.19.设 ，求函数的定义域.20.设为定义在上的奇函数，且在上单调减少. 试证明：在上也单调减少.21.设函数在内单调增加，且对一切有. 证明：.22.证明任一定义在区间上的函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.23.求下列各函数的定义域：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)24.求函数的定义域与值域.25.求下列函数的反函数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)26.已知，求及其定义域.27.设函数的定义域为，求下列各函数的定义域：(1) (2) (3) 28.求函数当，时的增量.29.求函数当，时的增量.30.若，求.31.下列函数在处是否连续？为什么？(1) (2)(3)32.讨论函数 在处的连续性.33.设，已知在处连续，试确定，的值.34.设，要使在内连续，应当怎样选择？35.求极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)36.求证：当时，.37.求函数的连续区间，并求.*38.若，求的值.*39.若，求，的值.40.根据连续函数的性质，验证方程至少有一个根介于1和2之间.41.证明方程在开区间内至少有一个根.42.试证方程至少有一个小于1的正根.43.试证方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过.44.证明方程在区间内各有一个实根.45.证明曲线在与值之间至少与轴有一个交点.*46.若函数在闭区间上连续，. 证明：至少有一点，使得.三、导数与微分47.按照导数定义，求下列函数的导数：(1) (2)48.一物体的运动方程为，求该物体在时的瞬时速度.49.求在抛物线上点处的切线方程.50.求曲线在点处的切线方程.51.曲线上哪一点处的切线与直线平行？52.试求曲线在它与直线的交点处的切线方程和法线方程.53.求曲线在点处的切线方程和法线方程.54.确定，之值，使曲线与直线相切于点.55.设曲线与都通过点，且在点有公共切线，求，的值.*56.设函数可导，且，证明曲线与曲线在交点处相切.57.设，求.58.设，求.59.设在处可导，求.*60.设 ，求，.*61.设 ，又在处可导，求.*62.设函数在处连续，且，求.63.求下列函数的导数： (1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24) (25) (26) *(27)(28) (29)(30) (31)(32) (33)(34)64.求下列隐函数的导数（其中，为常数）：(1) (2)(3) (4)(5)65.方程确定是的函数，求.66.方程确定y是x的函数，求.67.求下列函数的导数：(1) (2)(3) (4)68.已知，求.69.求下列函数的二阶导数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)70.求下列函数的二阶导数（其中函数二阶可导）：(1) (2) (3) (4)(5) 71.设函数由方程确定，求.72.设函数，当时，求.73.求下列函数的微分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)74.求函数当由变到的微分.75.求由，复合而成的复合函数的微分.四、中值定理导数的应用76.证明：，. 77.证明：，其中0 a 1.78.设在内具有二阶导数，又. 证明在内至少存在一点，使.79.求极限：(1) (2)(3)（为任何实数）(4) (5)(6) (7)(8) (9)(10) (11)(12) (13)(14) （为正整数，）(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24)(25) (26)(27) (28)(29) (30)(31) (32)(33) (34)(35) (36)(37) (38)*(39) *(40)*(41) *(42)*(43) *(44)80.证明函数在区间上单调增加，而在区间上单调减少.81.求下列函数的单调区间：(1) (2)(3) (4)82.证明不等式：(1) (2)(3) (4) (5) (6) ， .83.求下列函数的极值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)84.求下列函数在所给区间的最大值与最小值：(1) (2) (3)85.求函数的单调区间，并求该函数在区间上的最大值与最小值.86.试证方程只有一个正实根.87.讨论方程有几个实根.88.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？89.欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？90.欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的2倍. 问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？五、不定积分91.求下列不定积分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)92.求下列不定积分：(1) (2) (3)93.设，求.94.已知一个函数的导函数为，并当时，这个函数值等于，求这个函数.95.已知曲线上任一点的切线的斜率为，且时，是极大值，求和的极小值.96.已知的图形过点，的图形是过点且不平行于坐标轴的直线，2是的极值，求.97.求下列不定积分：(1) (2) (3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10) (11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24) (25) (26)(27) (28)(29) (30)(31) (32)(33) (34)(35) (36) 98.求下列不定积分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13)99.求下列不定积分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)*(23)100.设的原函数为，求.101.设，求.102.求下列不定积分：(1) (2)(3) *(4)*(5) *(6)六、定积分103.求下列函数的导数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)*104.设是连续函数，且，求.105.设 ，其中有连续的导数且. 研究：(1)在处的连续性；(2)在处的可导性.*106.试求由所确定的隐函数对于的导数.*107.设，求.108.求下列极限：(1) (2) 109.判断函数在区间上的单调性.110.求函数的极值.111.求函数在上的最大值与最小值.*112.设函数在内可微，且，试求.113.求下列定积分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8) (9) (10)(11)114.设在上连续，试证 .115.证明，其中为连续函数.116.证明.117.证明.118.求下列定积分：(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)119.已知，求.120.求下列定积分：(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8)(9) (10)121.已知常数，且，求的值.*122.设，求.123.求下列各题中平面图形的面积：(1)曲线与轴所围成的图形.(2)曲线在区间0，1上的曲边梯形.(3)曲线与所围成的图形.(4)曲线与直线、所围成的图形.(5)在区间上，曲线与直线所围成的图形.(6)曲线与直线所围成的图形.(7)曲线与直线所围成的图形.124.求由抛物线，横轴及直线所围成的图形的面积.125.求由曲线，横轴及直线所围成的图形的面积.126.求由曲线，纵轴与直线，(ba0)所围成的图形的面积.127.求由抛物线与横轴所围成的图形的面积.128.抛物线分割圆成两部分，分别求出这两部分的面积.129.求下列平面图形分别绕轴、轴旋转产生的立体的体积：(1)曲线与直线所围成的图形.(2)在区间上，曲线与直线所围成的图形.(3)曲线与直线所围成的图形.(4)曲线与所围成的两个图形中较小的一块.130.求曲线与直线，及所围成的图形绕轴旋转所成旋转体的体积.131.设平面图形由，所围成，(1)求此平面图形的面积；(2)求此平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积.132.证明圆锥体的体积为其底面积与高的乘积的三分之一.133.求下列广义积分：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(9) (10) (11) 134.计算与直线之间位于第一象限内的平面图形绕轴旋转产生的旋转体的体积.习题答案与部分题解1.证 ，即 ， 不存在.2.证 ，与是同阶无穷小量. 3.提示：只要证明.4.为等价无穷小 5.(1)为同阶无穷小 (2)为等价无穷小 6.7.(1)解 ， 根据无穷大与无穷小的关系，原式 =.(2)（根据无穷大与无穷小的关系） (3) (4)解 当时，根据无穷小与有界量的乘积仍为无穷小，原式 = 0 .(5)（根据无穷小与有界量的乘积仍为无穷小） (6) (7)解 原式 =8. (1)解 . （无穷小量分出法） (2) （利用无穷小量分出法）(3)解 (4)解 (5) (6) (7) (8) (9).注：令 ，得.比较等式两边的同次幂的系数，得 ，解得 .于是 . （此法称为待定系数法）(10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)解 (17) (18) 1 (19) (20) (21) (22)(23) (24) (25)解 .9.解 原式 =要使上等式成立，当且仅当 ，即 ，10.(1)解 (2) (3) (4) (5) (6) (7)解 (8) (9) (10)解 (11)解 (12)解 .(13) (14) (15) (16)解 (17) (18) (19) (20) (21) (22)(23)解 (24) (25) (26) 11. 12. ；13.；14.；15.解 ； .16. 17.解 令，则， ，18.； 19. 20. 略 21. 略 22. 略23. (1) (2)(3) (4) (5)(6) (7)24.定义域为；值域为.25. (1)， (2)，(3)， (4)，(5)， (6)26.；27. (1)(2)， 或，(3)当时，定义域为；当时，定义域为.当时，定义域为；当时，定义域为.28. 29. 30.31.(1)解 即在处的极限不存在，所以在处不连续.(2)解 ，在处连续. (3)解 ，在处连续. 32.不连续33.解 ，在处连续，有，即，即，.34.解 当或时，为初等函数，连续. 要使在内连续，当且仅当在处连续.，.35.(1)解 (2) (3) (4)解 在处不连续，所以不能直接利用连续函数求极限的法则.令，当时，. 在处连续，所以原式 =另解：原式 = (5) (6)36.证 ，37.； 38.解 设，时，为时的无穷小，即有. 又是连续函数，有，即，即.39.解 设，时，有. 又连续，有，即，即 (1).将(1)代入原式，得，即，代入(1)，得.，. 40. 提示：利用零点定理 41. 略 42. 略43.证 设，在上连续， (1)当，即为所求；(2)当，则在内至少有一点，使，即为所求.综上得证. 44. 略 45. 略46.证 设，在上连续.，根据零点定理，在内至少有一个根，即，至少有一点，使得，即.47.(1) (2)48.， 49.50. 51.52.切线方程为 ；法线方程为 53.解 在方程两边对x求导，得将，代入上式，整理，得.所求切线方程为，或；法线方程为，或.54.， 55.， 56.证 设两曲线的交点为，则有，已知，有，从而有.，即，在交点处两曲线的切线斜率相等，所以两曲线在交点处相切.57.解 原式 =58. 59. 60.解 ，. 当时，.61.解 .，即.62.解 ，当时，与为同阶无穷小，即有又在处连续，有从而 ，即 63.(1) (2) (3)(4) (5) (6)(7) (8) (9)(10) (11) (12)(13) (14) (15)(16) (17)(18) (19) (20)(21) (22) (23)(24) (25)(26)(27)解 ， (28)解 ，(29) (30) (31)解 ， (32)解 ， (33)(34)64.(1)解 在方程两边对x求导，得，整理，得 .(2) (3) (4) (5)65.解 在方程两边对x求导，得， .66. 67.(1) 解 .(2) (3)(4)68.69.(1)(2) (3) (4)(5) (6)70.(1)解 ，.(2)解 ，.(3)(4)(5)71.解 在方程两边对x求导，得 (1)再在(1)两边对x求导，得 (2)当时，由原方程解得. 将，代入(1)，得.将，代入(2)，得.72.73.(1) (2) (3)(4) (5) (6) (7)74.解 由题设，x由变到，得.，.所求微分.75.76.证 设，在上满足拉格朗日中值定理的条件.在内至少存在一点，使得，即有 .，从而有. 77.提示：设，. 利用拉格朗日中值定理证.78.证 由题设，在内连续，可导，且有 ，根据罗尔定理，在内至少有一点，使得又 ，它在内连续，可导，且有，根据罗尔定理，在内至少有一点，使得79.(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (9) (10) (11) (12)(13) (14) (15) (16)解.(17) (18)解 .（当时，）(19)解 .(20)解 .(21) (22) (23) (24)解 ，. 原式 =.(25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35)解 ， ，原式 =.(36)解 令，则，即原式 =.(37) (38) (39) (40) (41) (42) (43)解 令，则，即，原式 =.(44)解 令，则，即原式 = .80. 略81.(1)解 ，令，得驻点：，.xy单调增加区间：；单调减少区间：.(2)单调增加区间：；单调减少区间：(3)单调增加区间：；单调减少区间：(4)解 函数的定义域为.，令，得驻点：.当，；当，. 函数的单调增加区间为；单调减少区间为.82.(1)证 设，在上连续，在上单调增加.又 ，当时，有 即，(3)证 设，在上单调增加. 又 在上连续，且，当时，有，即， ，83.(1)解 函数的定义域为.，令，得驻点：，.x01y极大极小为极大点，函数的极大值为；为极小点，函数的极小值为.(2)极大值：，；极小值：(3)极大值：；极小值：(4)极大值：；极小值：，(5)极大值：；极小值：(6)极小值：(7)解 函数的定义域为.，令，得驻点：，函数的不可导点：.x0y极大极小为极小点，函数的极小值为；为极大点，函数的极大值为.(8)极大值：；极小值：(9)极大值：；极小值：(10)极大值：84.(1)解 .令，得驻点：，（舍去）.，函数的最大值为；最小值为.(2)最大值：；最小值：(3)最大值：；最小值：85.单调增加区间为；单调减少区间为.函数在上的最大值为，最小值为.86.证 设，在上单调增加. 又在上连续，且， ，由根的存在定理及的单调性可知，方程在内有且仅有一个实根，即方程只有一个正实根.87.当时，方程无实根；当时，方程有一个实根；当时，方程有两个实根.88.解 设容器的底边长为，高为，则其容积为，即容器的表面积为 ，令，得驻点：. 由问题的性质知，容器的最小表面积一定存在. 现在只求得唯一驻点，故当底边长米时，容器表面积最小. 当时，. 即容器的底边长6米，高3米时，所用材料最省. 当底边长米，高时，所用材料最省.89.当土地的长米，宽米时，所用建筑材料最省.90.当池底半径米，高为底半径的2倍时，总造价最低.91.(1)(2) (3)(4) (5)(6) (7)(8) (9)(10) (11)(12) (13)(14)92.(1)解 .(2)解 .(3)93. 94.95.，极小值为96.解 由题意，设，. 从而有.的图形过点，有. 即，.是可导函数，且是它的唯一驻点，是的极值点，即有，解得.97.(1)解 当时，原式 =；当时，原式 =.(2)解 .(3)解 .(4)(5)解 .(6) (7)(8) (9)(10)解 . (11)解 (12) (13)解 .(14) (15)(16)解 .或 .(17) (18)(19)(20) (21) (22) (23)(24) (25)(26)解 .(27)解 .(28)解 .(29)(30)(31) (32)解 .(33) (34)解 .(35) (36)98.(1)解 令，则，.原式 = .(2)解 令，则.原式 =.(3)解 令，则，.原式 =.(4)解 令，则，.原式 = .(5)解 令，则.1x原式 = . (6) (7)解 令，则.xa原式 = .(8) (9)(10) (11)(12) (13)99.(1)解 .(2) (3)(4)(5)解 .(6)(7)(8)解 移项，整理，得 .(9) (10)解 .(11)(12) (13)解 移项，整理，得 .(14)(15)(16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23)100.解 (1) (2)将(2)代入(1)，得.101.102.(1)解 令 ，得，比较等式两边x同次幂的系数，得，解得.原式= .(2)解