2020届安徽省蚌埠市高三年级第二次教学质量检查考试文科数学试题（解析版）

蚌埠市2020届高三年级第二次教学质量检查考试数学（文史类）一、选择题：1.若集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集运算求解即可.【详解】,故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，一元二次不等式，属于容易题.2.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法法则运算即可求解.详解】,故选：A【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的模，属于容易题.3.已知点为边延长线上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算及差向量的几何意义即可求解.【详解】,即,故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及差向量的几何意义，属于容易题.4.海水稻就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻，具有抗旱抗涝、抗病虫害、抗倒伏抗盐碱等特点.近年来，我国的海水稻研究取得了阶段性成果，目前已开展了全国大范围试种.某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各株，测量了它们的根系深度（单位：），得到了如下的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（ ）A. 海水稻根系深度的中位数是B. 普通水稻根系深度的众数是C. 海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数D. 普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差【答案】D【解析】【分析】由茎叶图可知两组数据，分别计算中位数，均值，方差即可求解.【详解】A中，海水稻根系深度中位数为，正确；B中普通水稻根系深度的众数由茎叶图知是，正确；C中，由茎叶图可知海水稻根系深度平均数大于普通稻根系深度的平均数，正确；D中，分别计算两组数据的方差，海水稻根系深度的平均值为，普通水稻根系深度的平均值为海水稻,普通稻，所以海水稻根系深度方差小，错误.故选：D.【点睛】本题主要考查了茎叶图，均值，方差，中位数，众数，属于中档题.5.若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的焦距为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程可知渐近线方程为，即可求解.【详解】,渐近线方程为，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，属于容易题.6.已知函数，则曲线过点的切线条数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标 ,利用导数求出过切点的切线方程，代入点，再利用导数求解关于的方程的解的个数，即可求解.【详解】设切点坐标 ,由，得，切线斜率，所以过的切线方程为，即，切线过点，故，令,则，由，解得或，当时，当时，所以的极大值极小值分别为，故其图像与x轴交点2个，也就是切线条数为2.故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，属于中档题.7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5，则框图中处可以填入（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】按循环结构的知识依次执行相关步骤即可.【详解】第一次循环：，不满足条件，；第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，不满足条件，；第四次循环：，不满足条件，；第五次循环：，满足条件，输出的值为5.所以判断框中的条件可填写“”故选：C.【点睛】本题主要考查循环结构中已知输出的结果求出判断框中的内容的问题，属常规考题.8.若等差数列满足，则其前项和（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件列出方程，求首项和公差，代入前n项和公式求解.【详解】由得：，又，解得，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，属于中档题.9.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，.当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由及函数是定义在上的偶函数可得周期为2，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且对任意，所以，所以，即函数的周期为，故，由时，得：，令，由得：，所以故选：D【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，考查了推理计算能力，属于中档题.10.在中，角，所对的边分别为，.已知，则的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化简可得，得A，根据余弦定理及即可求出，利用面积公式求解.【详解】 , ,故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，属于中档题.11.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据球的性质可知球心在OM上，也在过M与平面ABC垂直的线上，故M即为球心.【详解】是等腰直角三角形，外接圆的圆心为的中点,取中点，连接，,二面角为直二面角,且为交线,平面，过球心，又为，且为斜边为的外接圆圆心，故球心在过的直线上，由知，球心为，,，,故选：A【点睛】本题主要考查了外接球半径，面积，直角三角的外接圆心，球的几何性质，属于中档题.12.已知函数.有下列四个结论：函数的值域为； 函数的最小正周期为；函数在上单调递增； 函数的图像的一条对称轴为.其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦余弦函数的图像和性质，逐项判断即可.【详解】对于，因为，的最小值为，所以，故错误；对于，因为，所以是周期，且没有比小的，所以正确；对于，当时，时，函数不单调，故错误；对于，因为，即取得最小值，所以函数的图像的一条对称轴为正确.故选：B【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象与性质，属于中档题.二、填空题：.13.“五行”是中国古代哲学的一种系统观，广泛用于中医、堪舆、命理、相术和占卜等方面.古人把宇宙万物划分为五种性质的事物，也即分成木、火、土、金、水五大类，并称它们为“五行”.中国古代哲学家用五行理论来说明世界万物的形成及其相互关系，创造了五行相生相克理论.相生，是指两类五行属性不同的事物之间存在相互帮助，相互促进的关系，具体是：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.相克，是指两类五行属性不同的事物之间是相互克制的关系，具体是：木克土，土克水，水克火、火克金、金克木.现从分别标有木，火，土，金，水的根竹签中随机抽取根，则所抽取的根竹签上的五行属性相克的概率为_.【答案】【解析】【分析】计算从5种不同属性的物质中随机抽取2中，抽到相生的概率，再根据对立事件即可求解.【详解】标有木，火，土，金，水的根竹签中随机抽取根,共有种,而相生的有5种,则抽到两种物质相克的概率,故答案为: 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算,考查了对立事件的概率性质,属于容易题.14.已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】分，两种情况求解即可.【详解】当时，由得：，解得，当时，由得：解得或，所以，综上或，故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数，不等式的解法，属于中档题.15.过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，其中点位于第一象限.若，则直线的斜率为_.【答案】【解析】【分析】设，根据可得，设直线方程联立抛物线，由根与系数关系得出，即而求出B点，根据斜率公式求解即可.【详解】设，【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，斜率公式，属于中档题.16.现有一个圆锥形的钢锭，底面半径为，高为.某工厂拟将此钢锭切割加工成一个圆柱形构件，并要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为_.【答案】【解析】【分析】设内接圆柱的底面半径为，高为，根据比例得到二者关系，写出圆柱体积，利用导数求最值即可.【详解】设内接圆柱的底面半径为，高为，则，即，所以，令，解得或（舍去），当时，,当时，在上递增，在上递减，故当时，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆柱的体积，利用导数求函数的最值，属于中档题.三、解答题：17.某知名电商在双十一购物狂欢节中成交额再创新高，月日单日成交额达亿元.某店主在此次购物狂欢节期间开展了促销活动，为了解买家对此次促销活动的满意情况，随机抽取了参与活动的位买家，调查了他们的年龄层次和购物满意情况，得到年龄层次的频率分布直方图和“购物评价为满意”的年龄层次频数分布表.年龄层次的频率分布直方图：“购物评价为满意”的年龄层次频数分布表：年龄（岁）频数（1）估计参与此次活动的买家的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）；（2）若年龄在岁以下的称为“青年买家”，年龄在岁以上（含岁）的称为“中年买家”，完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为中、青年买家对此次活动的评价有差异？评价满意评价不满意合计中年买家青年买家合计附：参考公式：.【答案】（1）岁（2）列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，每个年龄段取中值，求均值即可（2）列表，根据的计算公式计算，根据结果即可判断.【详解】（1）各年龄段区间，对应的频率分别为，所以估计参与此次活动的买家的平均年龄为岁.（2）列联表如下：评价满意评价不满意合计中年买家青年买家合计由表中数据计算得：，所以没有的把握认为中、青年买家对此次活动的评价有差异.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，相关性检验，列联表，属于容易题.18.已知数列满足：，设，证明：数列是等比数列；设数列的前n项和为，求【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）证明为常数即可（2）利用条件（1）可求得，利用分组求和方法即可求解【详解】解：数列满足：，由，那么，；即公比，数列是首项为2，公比为2的等比数列；由可得，那么数列的通项公式为：数列的前n项和为【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及等比数列的通项公式和前n项和公式，还考查了等差数列的前项和公式，还考查了分组求和法方法，属于中档题19.如图所示，在正三棱柱中，点是的中点，点是的中点，所有的棱长都为.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由条件可证明平面，得，由此可证明平面，即可证明（2）利用三棱锥等体积法，即，分别计算两个棱锥的体积，即可求出点到平面的距离.【详解】（1）在正三棱柱中，底面为正三角形，而点为的中点，所以.又侧棱底面，平面，则.而，所以平面，且平面，从而.正三棱柱所有棱长均相等，点是的中点，所以，从而.由，得.又点，所以平面，从而.（2）记点到平面的距离为，则三棱锥的体积为.由（1）证明过程可知，平面，且平面，从而.由条件计算得，的面积为，从而.在正三棱柱中，过点作的垂线交于点，又侧棱底面，平面，则.而，所以平面，即是三棱锥的高，且，.而，所以，即点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查了线面垂直，线线垂直的判定与性质，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.20.已知椭圆的左焦点为，经过点的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为坐标原点.当直线的斜率为时，直线的斜率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右顶点，过的动直线交该椭圆于，两点，记的面积为，的面积为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由点差法及椭圆的几何性质即可求出椭圆的标准方程（2）设直线的方程为，求出三角形面积得，联立方程组，由根与系数的关系可得关于m的函数式，换元后由均值不等式求最值即可.【详解】（1）设，则点，由条件知，直线的斜率为，直线的斜率为，而，两式作差得，所以，即，又左焦点为，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，记，过标为，则，所以.联立方程，消去，得，所以，令，则，且，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，均值不等式求最值，属于中档题.21.已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求函数导数，根据零点及定义域列表求最值即可（2）原不等式可转化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性,由单调性求a的取值范围.【详解】（1），令，解得，列表如下：单调递减最小值单调递增结合表格可知函数的最小值为.（2），即，令，则，易知在上单调递增.当时，从而上单调递增，此时，即成立.当时，存在，使得，当时，从而在上单调递减，此时，即，不满足条件.综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，单调性，不等式恒成立，属于中档题.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线（为参数）与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标公式转化直角坐标方程，消去参数t得普通直线方程（2）根据圆心距，半径，半弦长构成直角三角形求解即可.【详解】（1）根据题意，即，从而曲线的直角坐标方程为，即，又，消去参数可得直线的普通方程为.（