毕业论文-关于数学分析中极限求解的若干方法.doc

关于数学分析中极限求解的若干方法 摘要： 在数学分析中极限是一个蕴含深刻辩证法的数学概念其中渗透着常数与变数、有限与无限、精确与近似等.研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限如连续、导数、定积分、级数等等.因此极限是数学分析中非常重要的一个概念.本文主要探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法结合具体的例子分析了一般极限的求解过程给出了一般极限求解的方法和技巧揭示了极限求解的解题思路 关键词：函数；极限；方法 Some Solutions of Getting Limit in Mathematical Analysis Abstract: Limit contains profound dialectical mathematical concepts it contains constan-t and variable limited and infinite precise and approximate .In the mathematical analysis it h-as a variety of forms of limits.This paper mainly discusses some ideas and methods in solvingthe limits of mathematical analysis analysis the solving process of a general limitgives the g-eneral solution and skill of limit and also reveals the thoughts of geting the limitwhich is co-mbined with concrete examples. Key words: Function Limit Solution1引言 极限是数学分析中最基本的概念之一用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.纵观数学的发展我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.它把初等数学扩展为一个新的阶段变量数学整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学学科.从不同的数学角度去体验和理解极限这一数学概念对于学好数学分析和其他相关课程具有很重要的意义.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结.2 数学分析中极限求解的方法2.1 利用定义求极限 1 定义 1 设函数 f x 在点 x0 的某个空心邻域 U 0 x0 内有定义 A 为定数.若对任给的 0 存在正数 使得当 0 x x0 时有 f x A ，则称函数 f x 当 x 趋于 x0 时以 A 为极限记作 lim f x A 或 f x A x x0 . x x0 用极限的定义证明 lim 1 x 2 1 x0 x0 1 . 2 例 1 x x0 证 由于 x 1 x0 1 因此 x0 x 2 2 x x0 x x0 2 x x0 1 x 1 x0 2 2 . 1 x 2 1 x0 1 x0 1 x0 2 2 2于是对任给的 0不妨设0 1 取 1 x0 2 2则当 0 x x0 时有 1 x 2 1 x0 . 2 注 用极限的定义时只需要证明存在 N 或 故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧但不能把含有 n 的因子移到不等式的另一边再放大而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大有时还需加入一些限制条件限制条件必须和所求的 N 或 一致最后结合在一起考虑.2.2 利用极限的运算法则求极限 1 定理 1 已知 lim f x lim g x 都存在极限值分别为 A B 则 x x0 x x0 1 lim f x g x A B ； x x0 2 lim f x g x A B ； x x0 f x A 3 lim （此时需 B 0 成立. x x0 g x B 1 x 1 x 2 例 2 求 lim . x 0 x2 1 x 2 1 x2 1 x 4 解 原式 lim 2 x 0 x 1 x 1 x 2 21 x 2 1 lim x 0 2 x 1 x 1 x 2 1 x 2 1 2 lim x 0 1 x 1 x 2 1 x 1 2 1 . 4 注 1 对于和、差、积、商形式的函数求极限可以采用极限运算法则使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等. 注 2 运用极限法则时必须注意只有各项极限都存在对商还要分母极限不为零时才能适用.2.3 利用单调有界准则求极限 定理 2 1 在实数系中有界的单调数列必有极限. 例 3 证明数列 xn 3 3 3 （n重根式的极限存在. 分析 显然 xn 1 xn 故数列 xn 单调增加.下面证 xn 有界.由于数列由递推关系xn 1 3 xn 给出解题时通常先估计出它的上下界再用数学归纳法证明.下界显然是x1 取 上 界 时考 虑 单 调递 增 数 列的 极 限 是它 的 最 小上 界 可 先假 设 极 限存 在 且 设lim xn A 再由 xn 1 3 xn 易得 xn 1 xn 3 对其两边求极限得 A 2 A 3 解得 2n 1 13 1 13A 3 显然所有大于 的实数都是 xn 的上界为便于计算取 xn 的上界 2 2为3然后用数学归纳法加以证明. 证明 1 显然 xn 1 xn 故数列 xn 单调增加； 2 显然0 x1 3 3 假设 0 xn 3 则 0 xn 1 3 xn 3 ，再对式子 xn 1 xn 3 两边求极限得 2 1 13 A2 A 3 A 2从而 1 13 lim xn . n 2 注 利用单调准则证明极限存在主要针对递推数列必须验证数列两个方面的性质：单调性和有界性.解题的难点在于判断单调性一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项2.4 利用夹逼准则求极限 定理 3 1 设 lim f x lim h x A 且在 x0 某一空心邻域 U 0 x0 内有 x x0 x x0 f x g x h x ，则 lim g x A . x x0 1 1 例 4 求 lim sin x 2 sin . x 0 x x 解 当 x 0 时有 1 1 sin x 2 sin x 2 sin x 2 从而 x x 1 2 1 0 sin x sin x x x由夹逼准则得 1 1 lim sin x 2 sin 0 x 0 x x所以 1 1 lim sin x 2 sin 0 . x 0 x x 注 1 夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限.基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限. 注 2 利用夹逼准则求函数极限的关键 3 ： （1）构造函数 f x hx 使 f x g x hx ； （2） lim f x lim h x A 由此可得 lim g x A . x x0 x x0 x x02.5 利用两个重要极限求极限 x sin x 1 两个重要极限:（1 lim 1； 2 lim1 e . x 0 x x x 根据复合函数的极限运算法则可将以上两个公式进行推广: sin f x sin u 1 lim 1 lim f x 0 y u f x ； x x0 f x x x0 u 1 g x 1 u 2 lim 1 g x e lim g x y 1 u g x . x x0 x x0 u tan x sin x 例 5 求 lim . x 0 x3 tan x sin x sin x 1 cos x 1 解 lim lim x cos x 3 x 0 x x 0 x2 2 x sin x 2 sin lim 2 1 x 0 x x2 cos x x 2 sin x 1 sin lim lim 2 lim 1 x 0 x x 0 2 x x0 cos x 2 1 1 1 1 . 2 22.6 利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限 定理 4 1 设函数 f x g x h x 在 U x0 内有定义且有 f x g x x x0 . 1 若 lim f xh x A 则 lim g xh x A ； x x0 x x0 h x h x 2 若 lim B 则 lim B. x x0 f x x x0 g x 性质1 1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 1 有限个无穷小量的乘积为无穷小量； 性质3 1 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 定理 5 1 设 均为无穷小且 且 lim 存在则 lim lim . tan x sin x 例 6 计算 lim . x 0 sin x 3 sin x 解 由于 tan x sin x 1 cos x 而 cos x x2 sin x x x 0 1 cos x x 0 sin x 3 x 3 x 0 ， 2故有 x2 x tan x sin x 1 1 lim 3 lim 32 . x 0 sin x x 0 cos x x 2 注 1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换. 注 2 常用等价代换公式:当 x 0 时， sin x x arcsin x x tan x x arctan x x e x 1 x a x 1 x ln a 等.2.7 利用连续性求极限 定理 6 1 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续即如果 x0 是连续函数 f x的定义区间内的一点则 lim f x f x0 . x x0 ln1 x 2 例 7 求 lim . x 0 cos x ln1 x 2 解 由于0在初等函数 f x 的定义域之内由 f x 的连续性有 cos x ln1 x 2 lim f 0 0 . x 0 cos x 42.8 利用罗必达法则求极限 02.8.1 型不定式极限 0 定理 7 1 若函数 f x 和 g x 满足： 1 lim f x lim g x 0 ； x x0 x x0 2 在点 x0 的某空心邻域 U 0 x0 内两者都可导且 g x 0 ； f x 3 lim A A 可为实数也可为 x x0 g x则 f x f x lim lim A. x x0 g x x x0 g x2.8.2 型不定式极限 定理 8 1 若函数 f 和 g 满足： 1 lim f x lim g x ； x x0 x x0 2 在点 x0 的某空心邻域 U 0 x0 内两者都可导且 g x 0 ； f x 3 lim A A 可为实数也可为 x x0 g x则 f x f x lim lim A. x x0 g x x x0 g x 注 罗必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的在同一运算过程中可连续使用直到求出所求极限.但是，对于其他不定式的极限（如 0 1 0 等类型）如果无法 0 0 0判断其极限状态则罗必达法则失败但只需经过简单变换它