百校联盟2018届高三开学摸底联考数学（文）试卷（解析版）

2017-2018学年百校开学摸底联考数学文科试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为集合 ， ,所以 ，故选C.2.若，则复数在复平面内表示的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由，得，即，复数在复平面内表示的点的坐标为，所在的象限是第一象限，故选A.3.从1，3，5，7这四个数中随机取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：任取两个数组成个两位数，5的倍数有个，概率为故选C考点：古典概型4.等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则（ ）A. 5B. 6C. 9D. 11【答案】C【解析】等差数列的公差，由得,可得，则，若是与的等比中项，既有，即为，由不为，可得，解得舍去），故选C.5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为在上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化为在上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得，则只需即可，解不等式求得结果.【详解】由题意得：在上单调递增 在上恒成立又 在上恒成立当时， ，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数在一段区间内单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.6. 某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是100分，在答题过程中，各小组每答对1题都可以使自己小队的积分增加5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是4道，7道，7道，2道，则四个小组积分的方差为（ ）A. 50B. 75.5C. 112.5D. 225【答案】C【解析】试题分析：四个小组积分分别为120,135,135,110，其均值为则方差为，选C考点：方差的计算7.某长方体被一平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是223=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示,则这个几何体的体积为 .本题选择D选项.8.执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】根据给定的程序可知，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环， , 第十次循环，不成立，此时结束循环，所以输出的结果为，故选C.9.若的图像关于直线对称，且当取最小值时，使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的图象关于直线对称，当 取最小值时，即的取值范围是，故选D.10.已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小设切点，由的导数为，则的斜率为.，则.，故选C点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.11.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为，所以排除A,C,当函数在轴右侧靠近原点的一个较小区间时，函数单调递增，故选D.考点：函数图象与函数性质12.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则= 【答案】5【解析】试题分析：由题意，得，若，则，即，解得；故填5考点：1.平面向量的的坐标运算；2.平面向量共线的判定【此处有视频，请去附件查看】14.若函数的图像上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为_【答案】1【解析】由题知x0，且满足约束条件的图象为由图可知当与交于点B(2,1)，当直线过B点时，m取得最大值为1. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15.已知分别为双曲线的两条渐近线，且右焦点关于的对称点在上，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】试题分析：由题意可知：，设关于直线的对称点为，则，消去得即，.考点：1.双曲线定义及几何性质；2.轴对称.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义及几何性质、轴对称等相关知识，属中档题；求双曲线的离心率的值（或范围）有关问题，可依据题设条件，将问题转化为关于的方程（或不等式），解方程或不等式即可求得结果.16.如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，设的面积为，正方形的面积为，当固定，变化时，则的最小值是_【答案】【解析】，令，则，函数在上递减，因此当时，有最小值，此时，当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求外接圆的面积.【答案】（1）.(2).【解析】试题分析：（1）由,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，问题得以解决；（2）由（1）可得，先由余弦定理求出，再求出的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.试题解析：（1）由已知得，即.，.由正弦定理得.，.由余弦定理得：，即，易得，设的外接圆半径为，则，解得，所以的外接圆面积为.18.某工厂为了对新研发产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据，如下表所示：已知变量具有线性负相关关系，且，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据”的概率.【答案】（1）,（2）.【解析】试题分析：（1）求出，由此能求出，由变量具有线性负相关关系，知甲是错误的，中心点坐标满足方程，从而乙是正确的；（2）由计算可得“理想数据”有3个，从检测数据中随机抽取2个，共有15种不同的情形，这两个检测数据均为“理想数据”有3种情形，根据古典概型概率公式能求出这两个检验数据均为“理想数据”的概率.试题解析：（1）因为变量具有线性负相关关系，所以甲是错误的.又易得，满足方程，故乙是正确的.由条件可得（2）由计算可得“理想数据”有个，即.从检测数据中随机抽取个，共有种不同的情形，其中这两个检测数据均为“理想数据”有种情形.故所求概率为.19.如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直，平面，且，.（1）求证：平面；（2）若，求几何体的体积.【答案】（1）见解析；（2）3.【解析】试题分析：（1）过点作于，连接，可证四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）若，利用分割法，将几何体分成两个棱锥，结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.试题解析：（1）如图所示，过点作于，连接，为正三角形，.平面平面，平面，平面平面，平面.又平面，.四边形为平行四边形，.平面，平面，平面.（2）连接，由题意得正三角形，.平面平面，平面，平面平面，平面.，平面，平面，平面，同理，由可证平面，平面，平面，平面平面，到平面的距离等于的长.为四棱锥的高，.20.已知椭圆：的短轴长为，离心率为，圆的圆心 在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线. （）求椭圆的标准方程； （）试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆焦点在轴上，离心率，则，即可求得椭圆的标准方程；（2）设，圆的方程为，由直线与圆相切，根据点到直线的距离公式可得为方程，的两个根，由韦达定理可知：，由在椭圆上即可求得.试题解析：（1）由得：，解得：，椭圆的标准方程为：（2）因为直线与圆相切，整理得：，同理可得：，所以，为方程的两个根，又在椭圆上，故是定值为【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数（为常数），其图像是曲线.（1）设函数的导函数为，若存在三个实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（2）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由于存在唯一的实数，使得与同时成立，则，存在唯一的实数根，即存在唯一的实数根，就把问题转化为求函数最值问题；（2）假设存在常数，依据曲线在点处的切线与曲线交于另一点，曲线在点处的切线，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在.试题解析：（1），由题意知，消去，得有三解.令，则，分析单调性，可知，即（2）设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标由题意知，若存在常数，使得，则，即常数使得，所以，解得故当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，：（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线.（1）求的普通方程及的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若分别为，上的动点，且的最小值为2，求的值.【答案】(1) 见解析；(2) 或.【解析】试题分析：（1）代入法消去参数可得：，利用点斜式即可得出表示一条直线，利用可得：，配方即可得出表示的曲线是圆；（2）利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，利用即可得出.试题解析：(1)由可得其普通方程为，它表示过定点，斜率为的直线由可得其直角坐标方程为，整理得，它表示圆心为，半径为1的圆(2)因为圆心到直线的距离，故的最小值为，故，得，解得或.23.已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.（2）利用基本不等式求出的最小值，令g(x)|xa|f(x)|xa|3