华大新高考联盟2018届高三1月文科数学试题（解析版）

华大新高考联盟2018届高三1月教学质量测评文科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数的定义域为，函数的定义域为，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】求解函数的定义域可得：，求解函数的定义域可得：，据此可得：，表示为区间形式即： .本题选择B选项.2.在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由题意可得：，据此可得，复数对应的点位于第四象限.本题选择D选项.3.抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】双曲线的下顶点为，据此结合题意可知：，抛物线的方程为：，即.本题选择A选项.4.设命题向量，则在方向上的投影为，命题是的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ）A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是真命题【答案】D【解析】由题意可得：，则，则两向量的夹角为，在方向上的投影为，命题为真命题，很明显命题为假命题，逐一考查所给的选项：A.命题是真命题B.命题是假命题C.命题是假命题D.命题是真命题本题选择D选项.5.若实数满足约束条件，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，且本题选择C选项.点睛：求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6.设函数，若在区间内随机取一个实数，则事件“”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由函数的解析式可得：，则不等式即，分类讨论：当时，当时，所以所求概率本题选择C选项.7.函数 的一条对称轴的方程可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，可得对称轴方程为：令可得函数的一条对称轴的方程可以是.本题选择B选项.8.函数的部分图象大致是 （ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】由函数的解析式可得为奇函数，排除B，D选项.又从而，排除A选项.本题选择C选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项9.在中，内角的对边分别为，已知向量，若且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由余弦定理，得本题选择B选项.10.超市中的商品条码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示商品信息，我们通常缩减的条码是“”通用代码，它是由左到右排列的13个数字（用表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂商、商品代码和校验码，其中是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性，图（1）是计算第13为校验码的程序框图，框图中符号表示不超过的最大整数，（例如），现有以商品条形码如图（2）所示，其中第3个数被污损，那么这个被污损数字是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，当时，（舍去）；当时，本题选择C选项.11.如图所示的四个正方体中，正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】逐个判断后可得正确的选项.【详解】由题意结合正方体的性质：如图，平面ABC平面MNP，则平面，正确；如图，平面ABC平面MNP，则平面，正确；如图，平面ABC平面MNP，则平面，正确；如图，平面AB平面MNP=A，则错误；故选：D.【点睛】本题考查线面平行的判断，可以根据面面平行得到线面平行，本题属于中档题.12.设函数，已知集合为的极值点 ，若存在实数，使得集合中恰好有5个元素，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合A表示f(x)的最大值和最小值对应的点,且两个相邻的最大值(或最小值)点之间长度为一个周期T,的最大值或最小值一定在直线y=1上,又在集合B中,当时,.若存在实数,即可将函数f(x)适当平移,依题意得，即，求解关于实数的不等式可得，表示为区间形式即.本题选择A选项.点睛：以集合为载体的复合命题，是高考命题创新型试题的一个热点，解决集合中复合命题的关键是准确理解问题的实质，把其转化为我们熟知的基本运算和基本性质第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若，则_【答案】【解析】由诱导公式可得：，由二倍角公式可得：.14.中国古代数学名著九章算术中记载的叫邹傲的一个几何体，如图所示是邹傲的三视图（图中每个小正方形的边长到时1个单位），则该邹傲的体积为_【答案】【解析】由三视图还原几何体的图形如图所示，该几何体是一个直三棱柱和两个四棱锥组成的几何体，其中直三棱柱的底面是边长和高均为2的长方形，高为1，其体积为：，四棱锥的底面为长为2，宽为1的长方形，高为2，其体积为：据此可得该几何体的体积为：.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解15.已知双曲线的一条渐近线与圆 相切，则此双曲线的离心率为_【答案】或【解析】不妨设与圆相切的渐近线方程为，即，则：，整理可得：，即或，则椭圆的离心率：或.16.设函数为自然对数的底数），当时，恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意可得：恒成立，令，则，令可得：，绘制函数的图像如图所示，满足题意时，的图像不在的图像的下方，设切点坐标为，切线方程为：，即：，切线过点，则：，解方程可得：或或，结合函数图像可得：，即.表示为区间形式即.点睛：本题的实质是切线问题，直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，注意“过某点”与“在某点”的区别.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列的前项和为，且成等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)若，当时，求【答案】(1)；(2)2.【解析】试题分析：(1)由题意有，分类讨论可得：当时，当时，整理可得，据此可得成等比数列，.(2)结合(1)中的结论有，结合等比数列前n项和公式可得，即，据此可得关于n的方程，解方程可得.试题解析：(1)因为成等差数列，所以，当时，当时，则，则，即，又，所以成等比数列，所以.（2）因为，又，所以，所以，又，所以，所以，所以.18.如图，在四棱锥中，,底面为梯形，且平面（1）证明：平面平面；（2）当异面直线与所成角为时，求四棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)很明显，由线面垂直的定义可知，则平面，结合面面垂直的判定定理可得平面平面.(2)取的中点，连接，由题意可得四边形为平行四边形，则，结合(1)的结论有，由几何关系可证得平面.据此由体积公式计算可得.试题解析：（1），所以，因为平面平面,所以,因为，所以.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）如图，取的中点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，则为异面直线所成的角，即，由（1）知，平面,所以，又，所以，而，所以，所以，如图，取的中点，连接为等腰直角三角形，则，因为平面，所以，又，所以平面.所以.19.某市甲水厂每天生产万吨的生活用水，其每天固定生产成本为万元，居民用水的税费价格为每吨元，该市居民每天用水需求量是在（单位：万吨）内的随机数，经市场调查，该市每天用水需求量的频率分布直方图如图所示，设（单位：万吨，）表示该市一天用水需求量（单位：万元）表示甲水厂一天销售生活用水的利润（利润=税费收入-固定生产成本），注：当该市用水需求量超过万吨时，超过的部分居民可以用其他水厂生产的水，甲水厂只收成本厂供应的税费，该市每天用水需求量的概率用频率估计.（1）求的值，并直接写出表达式；（2）求甲水厂每天利润不少于万元的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)0.8.【解析】试题分析：(1)由题意可得（万元），（万元），表达式为 (2)依题意可知：当时，利润，由，解得，当时，利润万元，显然满足条件，则甲水厂每天的利润不少于万元的概率为.试题解析：（1）（万元）（万元）所以 （2）依题意，当时，利润，由，解得，即，当时，利润万元，显然满足条件，而，所以甲水厂每天的利润不少于万元的概率为.20.已知椭圆的左焦点为，上顶点为为坐标原点，椭圆的离心率且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设线段的中点为，经过的直线与椭圆交于两点，若点关于轴的对称点在直线上，求直线方程.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：(1)由题意结合椭圆中的几何关系计算可得，则椭圆方程为 .(2)由题意可知当垂直于轴时，根据椭圆的对称性，满足题意，当不垂直于轴时，设 交椭圆于，联立直线方程与椭圆方程可得，由题意有，由斜率公式结合韦达定理整理计算可得：，则直线方程为，即所在的直线方程为或. 试题解析：（1）因为，所以，因为 ，所以，因为，所以，所以，所以，所以 .（2）的中点为，当垂直于轴时，根据椭圆的对称性，显然满足，即直线的方程为，当不垂直于轴时，设 交椭圆于，所以，因为点关于轴对称点在直线上，所以，故，所以，综上可知，所在的直线方程为或. 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.设函数.（1）当时，证明：；（2）若关于的方程有且只有一个实根，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)或.【解析】试题分析：(1)当时，构造函数，则，则当时，单调递减，当时，单调递增.故 ，据此可得.(2)构造函数，令 ，则，分类讨论：当时，此时有一个零点，当时，或，当时，有一个零点，当时，有一个零点，当时，有一个零点，综上可知，当方程有且只有一个实根时，的取值范围是或.试题解析：（1）当时，令，故当时，所以单调递减，当时，所以单调递增.故 ，所以，所以.（2）令 ，当时，与在区间上的情况如下：，此时有一个零点，当时，或，当时，即时，与在区间上的情况如下：所以极小值为，极大值为，由的图象可知有一个零点，当即时，与在区间上的情况如下：所以函数的极小值为，极大值为，由的图象可知有一个零点，当，即时，为单调递减函数，由的图象知有一个零点，综上可知，当方程有且只有一个实根时，的取值范围是或.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.直线坐标系中，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线为非零常数）（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线为参数）与曲线相交于两点，点的坐标为，当时，求实数的值.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：(1)由极坐标方程与直角坐标方程之间的转化关系可得曲线的直角坐标方程是；(2)联立直线的参数方程与抛物线方程有，整理可得，结合直线参数方程中参数的几何意义可得,则，解方程并检验可知或.试题解