山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题（解析版）

山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试文科数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求1.已知集合,则AB=A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得，AB=，选A.2.已知某单位有职工120人,男职工有90人,现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本,若已知样本中有18名男职工,则样本容量为A. 20B. 24C. 30D. 40【答案】B【解析】设样本容量为n,则，选B.3.已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,=,选D.4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D. 【答案】B【解析】不妨设小正方形的边长为1，则两个等腰直角三角形的边长为,一个等腰直角三角形的边长为，两个等腰直角三角形的边长为2，2，即最大正方形边长为P=,选B.5.若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为，只需这条渐近线比直线的斜率大，即，故选C.6.如图，点O为正方体ABCD-ABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A光线从左向右照射得到B故选D点睛：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同7.已知变量x、y满足则的最小值是A. 1B. C. 2D. 4【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数是以（0，0）为圆心，圆的半径的平方，当过（1，1）点时圆半径最小，此时半径为，所以最小值为2，选C.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型：，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z的一致；若，当的最值情况和的相反；（2）斜率型：与的斜率，常见的变形：，.（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；（4）点线距离型：表示到直线的距离的倍.8.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为，所以排除A,C,当函数在轴右侧靠近原点的一个较小区间时，函数单调递增，故选D.考点：函数图象与函数性质9.定义在R上的连续奇函数f(x)在上是增函数,则使得f(x)f(x2-2x+2)成立的x的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可行f(x)在R上单调递增，所以要使f(x)f(x2-2x+2)成立，只需，解得1xb,所以B角一定是锐角，所以再由或，当，当，为等腰三角形，所以，选C.【点睛】解三角形常利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系结论一般为特殊的三角形如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响12.已知动点P在椭圆上,若点A的坐标为(3,0),点M满足,则的最小值是A. 4B. C. 15D. 16【答案】B【解析】设P(x,y),A(3,0)为焦点，所以=，而焦半径，所以 ，选B.【点睛】切线长的平方=半径平方+点到圆心距离平方，同时焦半径范围，是解本题的关键二、填空题:本大题共有4个小题,每小题5分,共20分。13.已知向量，若，则_【答案】【解析】【分析】先根据向量的平行求出x的值，再根据向量的数量积计算即可【详解】解：，因，所以，解得：，所以【点睛】本题考查了向量的平行和向量的数量积，属于基础题14.已知,则_【答案】【解析】原式化为，所以，填15.三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积是_【答案】【解析】由题意可得，所以取AB中点O,则O是三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为1.所以S=填【点睛】由于AB正好是两个直角三角形的公共斜边，而斜边上的中线到三个顶点的距离相等，所以外接球的球心正好是斜边AB的中点所以在做立体几何时，需要注意应用平面几何的知识，特别是直角三角形，等边三角形，等腰三角形的相关性质16.直线y=b分别与直线y=2x+1和曲线相交于点A、B,则的最小值为_【答案】【解析】两个交点分别为，设函数的根为，所以在区间单调递减，在区间上单调递增，所以填【点睛】由于是水平距离，所以只需=转化为关于b的函数，用导数求最值三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答17.已知数列的前项和(1)求数列的通项公式(2)设数列满足,求数列的前n项和Tn【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项的表达式（2）由（1），所以，分组求和，分解成一个等比数列求和及一个等差数列求和试题解析：（1）当时，. 当时， 满足上式 所以 . （2）由题意得., .【点睛】知道的表达式求通项的表达式时，我们常用公式18.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3,E,F分别为CC1,BB1上的的点,且EC=3FB=3,点M是线段AC上的动点(1)试确定点M的位置,使BM/平面AEF,并说明理由(2)若M为满足(1)中条件的点,求三棱锥M一AEF的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）在AE上找一点N,及AC上点M，使得BFNM是平行四边形，即满足条件，即在平面AEF中找一条直线FN/BM.(2).,平面,所以试题解析：（1）当点是线段靠近点的三等分点时，平面. 事实上，在上取点,使,于是,所以且.由题意知，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）连接.因为三棱柱是正三棱柱，所以平面.所以.取的中点，连接，则.因为三棱柱是正三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为，所以平面. 所以为三棱锥的高.又在正三角形中，. .【点睛】存在性问题寻找，常用性质定理寻找存在的那个条件再用判定定理证明高中两个图形求体积常用换底转化方法，一个是三棱锥，另一个是平行六面体同时要注意割补法做复杂图形的体积问题19.某服装批发市场15月份的服装销售量x与利润y的统计数据如表：月份12345销售量x（万件）36478利润y（万元）1934264146（1）从这五个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；（2）已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程x+；（3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的请用表格中第5个月的数据检验由（2）中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？参考公式：，【答案】(1) .(2) .(3) 利用（）中回归方程所得的第5个月的利润估计是正确的.【解析】试题分析：（1）列出基本事件，和事件A所包含的基本事件，由古典概型可求（2）由公式依次算出（3）由（2）得线性回归方程为，代入进行误差分析试题解析：（1）所有的基本事件为(19,34), (19,26), (19,41),(19,46),(34,26) ,(34,41) ,(34,46),(26,41),(26,46),(41,46)共10个.记“m,n均不小于30”为事件A，则事件A包含的基本事件为(34,41) ,(34,46), (41,46),共3个.所以. （2）由前4个月的数据可得， .所以 ，所以线性回归方程为 （3）由题意得，当时，； 所以利用（2）中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的.20.已知动圆C与圆外切,并与直线相切(1)求动圆圆心C的轨迹(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A、B,求证:直线AB恒过定点【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由两圆外切，圆心距等于半径和，圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径先列出几何关系，建立几何等式，或转化为定义，或代数化（2）由（1）知曲线为抛物线，应用导数求过，的切线方程，两式结构一样，且都过P(m,-4)点，可知为方程的两个根，再结合直线的方程为.与抛物线方程组方程组中的韦达定理，得，.所以的方程为.过定点【详解】（1）由题意知，圆的圆心，半径为.设动圆圆心，半径为.因为圆与直线相切，所以，即. 因为圆与圆外切,所以，即. 联立，消去，可得. 所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线. （2）由已知直线的斜率一定存在.不妨设直线的方程为.联立，整理得，其中设，则，. 由抛物线的方程可得:,.过抛物线的切线方程为, 又代入整得:.切线过，代入整理得:, 同理可得. 为方程的两个根，. 由可得， 所以，.的方程为.所以直线恒过定点.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数(1)讨论f(x)的单调性(2)设.若对任意的xR,恒有f(x)g(x)求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）定义域为R,对函数求导，导函数可因行分解，对导函数的零点个数进行讨论（2）原不等式可变形为，不等式成立.分x=1,x1,x1分离参数讨论试题解析：（1）. （i）当时， ，当时，；当时， ；所以在单调递减，在单调递增. （ii）当时，由得或时，所以在上单调递增.当时, .当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减. 当时, .当时，；当时，；所以在单调递增，在 单调递减. （2）由题意，对任意的，恒有，即不等式成立.当时，显然成立. 当时，不等式化为令，有当时，,单调递减；当时，,单调递增，所以当时，取极小值 .于是. 当时，不等式转化为令，有.当时，,单调递增；当时， ,单调递减，所以当时，取极大值. 此时. 综上，的取值范围是.【点睛】已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解22.已知直线l的参数方程为为参数）， 椭圆C的参数方程为为参数）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(2, (1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标(2)直线l与椭圆C交于P,Q两点,求APQ的面积【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：(1)消去参数，即可得到椭圆的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解点的直角坐标；（2）将直线的参数方程代入椭圆的方程，得到,，即可求得，再求得点到直线的距离，即可求解面积.试题解析：(1)由 得. 因为的极坐标为,所以，. 在直角坐标系下的坐标为 . （2）将代入，化简得,设此方程两根为,则 ,. . 因为直线的一般方程为,所以点到直线的距离. 的面积为.23.已知函数， （1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围.【答案