华师大二附中高二上第一学期圆预习教案

华师大二附中高二上第一学期圆预习教案 圆的方程复习圆的定义平面内到一个定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹。 已知圆心为)(b aC，半径为r，求圆的方程。 （纯粹性）设)(y x P，是圆上任意一点，点P到圆心C的距离r b y a x CP?22)()(|，点)(y x P，的坐标满足方程222)()(r by a x?。 （完备性）设点)(111y x P，的坐标是该方程222)()(r by a x?的解，即2121)()(by a x?2r?。 点)(111y xP，到圆心的距离为r，1P是圆C上的点。 由 （1）、 （2）可知，方程222)()(r by ax?是圆心为)(b aC，半径是r的圆的方程。 圆的标准方程为222)()(r by ax?。 当圆心为坐标原点)00(，时，圆的方程为222r y x?。 特别当1?r时，122?y x叫做单位圆的方程。 圆的标准方程是圆方程中最基本的。 它直接刻画了圆的本质特征圆心位置和半径大小。 若给出一个二元二次方程，如何判断它是否是一个圆的方程？将圆的标准方程222)()(r by ax?展开，得02222222?r b a yb x a y x。 圆的一般方程为)04(02222?F E D F y E x D y x。 方程的两个特点 （1）22y x、的系数相同； （2）没有y x项。 二元二次方程022?F y E x D y x是否一定是圆的方程？关键要通过配方将022?F y E xD y x变形为)(2Dx?2)(2Ey?241)4(22F E D?。 讨论F ED422?的取值情况来判定。 当0422?F ED时，该方程表示一个以)(22ED?，为圆心，21F ED422?为半径的圆；当0422?F ED时，该方程表示一个点)(22ED?，；当0422?F ED时，该方程没有实数解，没有轨迹。 对于圆的标准方程要确定三个常数r b a、；对于圆的一般方程要确定三个常数F ED、。 1.判断下列各方程是不是圆的方程，若是，请指出圆心坐标和半径。 （1）022?x y x；)(21?x22y?41?是圆的方程。 圆心为)0(21，半径为21。 （2）0122?y x y x；)(21?x?2)(21?y?2021?不是圆的方程。 （3）)0(0222?axa y x；)0()(222?a a y ax是圆的方程。 圆心为)0(，a?，半径为|a。 （4）)0(0222?a a y a y x。 )0()(222?a a a a y x。 当1?a时，该方程是圆的方程，圆心为)0(a，半径为a a?2；当10?a时，该方程不是圆的方程。 CRQP-121432O1xyx-2y-3=0C3BAOxyy=2x+5y=2xMCOxyy=-xy=x2x-3y+4=07-1-2-16543215678432O1xyx-y-1=0drC-3-2-1-1215432O1xy2.根据下列条件，求圆的方程 （1）圆C过三点)12()11()23(?，R Q P；设圆C的方程为022?F yE xD y x。 将三点的坐标代入方程，得?021401102349F EDF EDF ED415?F ED，。 所求的圆方程是04522?y x y x。 （2）经过点)32(?，A和点)52(?，B，圆心在直线032?y x上；设)32(b b C，?。 |BC ACr?2222)5()232()3()232(?b b bb2?b。 10)21(?r C，所求的圆方程是10)2()1(22?y x。 )52()32(?，、，B A的中点是)40(?，D，?B Ak21，线段B A的中垂线方程是42?x y。 ?4232y xy x)21(?，C，10?r。 所求的圆方程是10)2()1(22?y x。 （3）过点)23(，M，圆心在直线x y2?上，且与直线052?y x相切；设圆心)2(a aC，。 两条平行直线的距离等于圆心到点)23(，M的距离，即5)22()3(22?a a。 解得2?a，或54?a。 所求的圆方程是5)4()2(22?y x，)(54?x?2)(58?y52?。 （4）圆心在直线0432?y x，且与x轴、y轴都相切；设)(a aC，或)(a aC?，半径|a r?。 由0432?a a，得)44(4，C a?。 由0432?aa，得)(545454，?C a。 所求的圆方程是16)4()4(22?y x，)(54?x?2)(54?y?22516。 （5）圆的圆心的坐标为)12(?，C，且被直线01:?y x l截得的弦长为22；设圆的方程为222)1()2(r y x?。 22112?d，4222?d r。 圆的方程是4)1()2(22?y x。 （6）经过点)14(?，A，且与圆0562:22?y x y x C切于点)21(，B。 设所求的圆方程是222)()(:r by axP?。 圆5)3()1(:22?y x C与圆P切于点)21(，B，圆心P在直线052:?y xBC上。 PCBAO xyOxyABAO1xy圆心P在线段AB的垂直平分线02:?y x l上，圆心P的坐标满足方程组?02052b ab a。 解得5|13?PB r b a，。 所求的圆方程是5)1()3(22?y x。 与圆有关的位置关系研究点)(00y xP，与圆222)()(r by ax?的位置关系。 若22020)()(r by ax?，则点)(00y xP，在圆内。 若22020)()(r by ax?，则点)(00y xP，在圆上。 若22020)()(r by ax?，则点)(00y xP，在圆外。 研究直线0:?C yB xA l与圆222)()(r by ax?的位置关系。 设圆心C到直线l的距离是d。 当r d?时，直线l与圆相交；当r d?时，直线l与圆相切；当r d?时，直线l与圆相离。 研究圆2122)()(rby ax?与圆2222)()(r dy cx?的位置关系（其中21r r?）。 设两圆的圆心距为r。 当r r r?21时，两圆相离；当r r r?21时，两圆外切；当2121r r rrr?时，两圆相交；当rrr?21时，两圆内切；当21rrr?时，两圆内含。 1.已知圆C的方程是222r y x?，)(11y xA，是圆C上的点，求过点A的切线l的方程。 解法1当点A不在坐标轴上时，设直线OA的斜率为1k，切线的斜率为k。 11kk?11yx?，切线l的方程为?1y y11yx?)(1x x?，即211r y y x x?。 当点A在x轴时，切线l的方程是1x x?；当点A在y轴时，切线l的方程是1y y?。 点A的切线l的方程是211r y y x x?。 解法2)(11y xOA，?，22121r y x?，0)()(:1111?y y y x x xl，即过点A的切线l的方程是211r y y x x?。 2.已知圆25:22?y x C，点)43(，?A，点)105(?，B，求分别过点B A、的圆的切线方程。 254322?，点A在圆上。 过点A的切线方程为2543?y x，即02543?y x。 25125)10(522?，点B在圆外。 当2?时，切线方程是5?x。 当2?时，设切线方程为)5(10?x k y，即0105?k y x k。 431|105|52?kkk，过点B的切线方程为5?x，02543?y x。 RPOxyQPP2A(6,8)O xyP1k=-0.3679PMCOxym=6.0749PCOxymEFABCOxyP3.已知一圆半径为a，过圆上一定点P作一切可能的弦，求分弦为同一定比31?的点R的轨迹。 设)()()0(00y xR y x Qa P，。 RQ PR31?，?4110414313103131031yx ayax。 ?y yax x43400，代入22020a y x?，得22216)34(a y ax?。 点R的轨迹是圆43(?x()22?ya412)a（除去点P）。 4.从定点)86(，A向圆1622?y x任意引一割线，交圆于点21P P、，求弦21PP的中点P的轨迹。 设中点P的坐标是)(y x，。 原点O是轨迹上的点。 当点P异于点O时，)6(8:21?x ky PP，x yOPk1:?x x y y)6()8(?。 222|OA PAOP?，100)8()6(2222?y x y x。 中点P的轨迹是圆25)4()3(22?y x在圆1622?y x内的一段弧。 5.已知)(y xP，为圆143(:22?）（）y x C上任意一点。 （1）求xy6?的最值；设xyk6?，k表示圆上的)(y xP，与点），（60M连线的斜率。 当PM是圆的切线时，k取最大值或最小值。 xyk6?，06?y x k。 PM是圆C的切线，圆心是)43(，?C，11232?kk，解得433?k。 ?m axk433?，?mink433?。 （2）求y x2?的最值；设m y x?2，m表示一组平行直线在x轴上的截距。 当m y xl?2:与圆相切时，m取最大值或最小值。 155?m，得55?m，55m ax?m，55min?m。 （3）已知），（、），（0101B A?，求22|PB PA?的最值。 PO是PAB?的中线，由余弦定理，2|2|222?PO PB PA。 设直线OC交圆C于点F E、。 当点P与点E重合时，61|max?OC PO，QPOxyCC1C2O xyC1C2O xy-4-3-2-1-7-6-5-4-3-2-14321432O1xy22|PB PA?取最大值74。 当点P与点F重合时，41|min?OC PO，22|PBPA?取最小值34。 6.已知两圆032222?y x y x和01275522?y x y x的公共弦是。 （1）求公共弦所在直线的方程；公共弦的定义相交两圆的两个交点间的线段。 Q P、两点的坐标都满足方程032222?y x y x和01275522?y x y x，Q P、两点的坐标也满足方程0)322(5127552222?y x y x y x y x，即Q P、两点的坐标满足直线方程013?y x。 过Q P、两点的直线方程是013?y x。 （2）求公共弦为直径的圆方程。 ?013032222y xy xy x02?x x?1011yx或?2122yx。 圆心是)(2121?，C，半径是210。 公共弦为直径的圆方程是0222?y xy x。 若圆0:111221?F yE xD y x C和圆0:222222?F yE xD y x C有两个交点Q P、，则过Q P、的直线方程是0)()()(212121?F F yEE xD D。 7.求与圆1)2(:221?y x C和圆1)2(:222?y x C都相切，且半径为3的圆方程。 若圆C与圆21C C、均内切，则922?y x。 若圆C与圆21C C、均外切，则设)0(bC，。 1642?b，32?b。 9)32(22?y x，9)32(22?y x。 若圆C与圆1C内切，与圆2C外切，则设)(b aC，。 ?16)2 (4)2(2222b ab a，?21523ba。 )(23?x?2)(215?y92?，)(23?x?2)(215?y92?。 若圆C与圆1C外切，与圆2C内切，则)(23?x?2)(215?y92?，)(23?x?2)(215?y92?。 8.已知两圆方程是圆4)4(:221?y x C，圆1)2(:222?y xC，求它们的内公切线和外公切线方程。 设两圆的公切线的方程为m x ky?，即0?m y x k。 ?121|02|1|04|22km kkm k|24|4|m k mk?0?m，或k m8?。 当0?m时，132?k；当km8?时，1352?k。 内公切线方程为03?y x，或03?y x；外公切线方程为0835?y x，或0835?y x。 RQPTO xyl:x-2y=0-2-1-3-21xyBACO xy9.设)(00y xT，是圆222a y x?外一点，从点T作圆的两条切线，切点为Q P、，求过切点Q P、的直线方程。 解法1OPR?OPT?OTOPOPOR?)(OTOPOTOR?220202y xa?)(20xx20xxy xyay xxaR?，。 直线的法向量是)(00y xOT，?，直线的点法向式方程是?xx(0?)20xxy xxa?y y (00)20xx?y xya。 解法2设)()(2211y xQ y xP，。 222211:a yy xx QTa yy xx PT?，20202xx1a yy xxa yy xx?，。 )()(2211y xQ y xP，的坐标满足直线方程200ayy xx?，过切点Q P、的直线方程是200ayy xx?。 解法3Q TP O、四点共圆（以OT为直径）。 以OT为直径的圆方程是21(?x?20)x21(?y?20)y21(?20)x21 (20)y，即00022?yy xxy x。 两圆的相交弦方程是200ayy xx?，过切点Q P、的直线方程是200ayy xx?。 10.设圆满足 （1）截y轴所得的弦长为2； （2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3。 在满足 （1）、 （2）的所有圆中，求圆心到直线02:?y xl的距离最小的圆的方程。 设所求圆的圆心为)(b aP，半径为r，点P到x轴、y轴的距离分别为|a b、。 圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为?90，圆P截x轴所得弦长为r2，且222b r?。 圆P截y轴所得弦长为2，122?a r，1222?a b。 点)(b aP，到直线02?y x的距离为5|2|b ad?，b a b abad44|2|52222?)(242222baba?1222?ab，当且仅当ba?时等号成立，且此时d取最小值。 ?1222a bba，?11ba，或?11ba，2222?b r。 圆的方程是2)1()1(22?y x，或2)1()1(22?y x。 11.已知l是过坐标原点的直线，圆9)4()2(:22?y xC。 若圆C上有n个点到直线l的距离是1，讨论n与直线l的倾斜角?的关系。 设4)4()2(:22?y xA，16)4()2(:22?y xB。 当直线l与圆A相交时，4?n；当直线l与圆A相切时，3?n；当直线l与圆A相离、与圆B相交时，2?n；当直线l与圆B相切时，1?n；当直线l与圆B相离时，0?n。 当直线l的斜率不存在时，直线0:?xl与圆A相切，此时，3?n。 当直线l的斜率存在时，设直线xky l?:与圆A相切。 ?1d21|42|2?kk，441616422?k k k，解得43?k。 设直线xky l?:与圆B相切。 ?2d41|42|2?kk，16161616422?kkk，解得0?k，或34?k。 当243arctan?时，4?n；当43arctan?，或2?时，3?n；当43arctan0?，或342arctan?时，2?n；当0?，或34arctan?时，1?n；当?34arctan时，0?n。 练习1.求圆心在直线032?y x上，且与两平行直线053?y x和033?y x都相切的圆的方程。 011544-52101022?y xy x。 2.设直线0?m ym x和圆xy x?22的交点为B A、，求使1|?AB的m值。 21?m。 圆系方程定义具有某种属性的圆的集合叫做圆系。 当r在?R上变化时，222r y x?表示具有公共圆心的圆系方程。 当a在R上变化时，1)(22?yax表示半径为1，圆心在x轴上的圆系方程。 当a在R上变化时，222)12()(ayax?表示半径为|a，与直线xy?和y轴相切的圆系方程。 定理若圆0:111221?F yE xD y xC和圆0:222222?F yE xD y xC有两个交点Q P、，则经过交点Q P、的圆系方程为)(:11122F yE xD y xC?0)(22222?F yE xD y x?(其中)0?。 当0?时，方程C表示圆1C和圆2C的公共弦所在的直线方程。 分析要证明定理需说明3点 （1）方程表示圆方程； （2）方程表示过Q P、的圆方程； （3）凡是过Q P、两点的圆都可以用方程表示。 证明0?，方程可化为022?F yE xD y xQ P、的坐标都适合方程，方程表示圆，并且是过Q P、两点的圆。 当01?，时，方程表示圆1C；当10?，时，方程表示圆2C。 若点)(00y xR，既不在圆1C、圆2C上，又不在直线上，则令1?，解得2020220xx1012020FyE xD y xF yE xD y x?。 平面上过Q P、两点的圆都可以用方程表示。 说明在使用圆系方程时，一般用如下的形式0)(:2222211122?FyExDy x FyExDy xC?方程所表示的是过Q P、两点的圆系方程(只缺圆)2C。 1.求经过两圆0142:221?y xy xC与0464:222?y xy xC的交点，并过点)11(，的圆方程。 设圆方程为)0464(142:2222?y xyxyxyxC?。 点)11(，在圆上，0)4(1?，即41?。 所求的圆方程是082245522?yxyx。 2.求圆心在直线04?yx上，并且经过两圆034:221?xyxC和034:222?yyxC的交点的圆方程。 设所求的圆方程为0)34(342222?yyxxyx?)1(?，即0)1 (344)1()1(22?yxyx。 圆心)(1212?，在直线04?yx上，041212?，解得31?。 所求的圆方程为032622?yxyx。 3.已知直线47)1()12(:?m ym xm l，圆25)2()1(:22?yxC，求证