ARCH模型和GARCH模型-yukz

ARCH模型和GARCH模型Robert F. EngleClive W. J. Granger本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。引子-问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述， yt=yt-1+t 其中t为白噪声过程，1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。 图1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY) 图3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图4 D(JPY)的平方 (1995-2000)这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。正态分布曲线 高峰厚尾分布曲线 图5 高峰厚尾分布特征示意图显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测yt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测yt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。1、ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：条件方差或者波动率（Condition variance，volatility）定义为其中是信息集。2、ARCH模型的定义Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressive conditional heteroskedasticity，自回归条件异方差）。ARCH(q)模型： （1）的无条件方差是常数，但是其条件分布为 （2）其中是信息集。方程（1）是均值方程（mean equation） ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation），由二项组成 常数 ARCH项：滞后的残差平方由于t2 的非负性，对ai应有如下约束， 0, ai0, i = 1, 2, q 当全部ai = 0, i = 1, 2, , q时，条件方差st2 =。因为方差是非负的，所以要求 0。3、ARCH模型的平稳性条件为保证st2是一个平稳过程，(2) 式的特征方程 1-a1L-a2L2-aqLq=0 的根都应在单位圆之外。对ai, i = 1, 2, , q的另一个约束是 0 a1+a2+aq1 对(2) 式求期望，st2 =+ a1 E(t -1 2) + a2 E(t -22) + + aq E(t - q2) =+ a1 st -1 2 + a2 st -22 + + aq st - q2当T 时， s2 =+ a1 s 2 + a2 s 2 + + aq s 2则无条件方差 可见若保证st2是一个平稳过程，应该有约束0 (a1 + a2 + + aq ) 1。因为Var(yt) = Var(t) = st2，所以上式可以用来预测yt 的方差。综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有1) 1-a1L-a2L2-aqLq=0 的根都应在单位圆之外。2) 0 a1+a2+aq0, ai0, i = 1, 2, q例1 ARCH(1)模型中参数的含义：当时，当时，退化为传统情形，4、ARCH效应检验ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验建立辅助回归方程此处是回归残差。原假设：H0：序列不存在ARCH效应即 H0：可以证明：若H0为真，则此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程的确定系数。Eviews操作：先实施多元线性回归view/residual/Tests/ARCH LM Test2、ARCH模型的实证分析从收盘价，得到收益率数据序列。series r=log(p)-log(p(-1)点击序列p，然后view/line graph1、检验是否有ARCH现象。首先回归。取2000到2254的样本。输入ls r c，得到Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:26Sample: 2000 2254Included observations: 255VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0004320.0010870.3971300.6916R-squared0.000000 Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared0.000000 S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017364 Akaike info criterion-5.264978Sum squared resid0.076579 Schwarz criterion-5.251091Log likelihood672.2847 Durbin-Watson stat2.049819问题：这样进行回归的含义是什么？其次，view/residual tests/ARCH LM test，得到ARCH Test:F-statistic5.220573 Probability0.000001Obs*R-squared44.68954 Probability0.000002Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:27Sample(adjusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0001105.34E-052.0601380.0405RESID2(-1)0.1415490.0652372.1697760.0310RESID2(-2)0.0550130.0658230.8357660.4041RESID2(-3)0.3377880.0655685.1516970.0000RESID2(-4)0.0261430.0691800.3778930.7059RESID2(-5)-0.0411040.069052-0.5952600.5522RESID2(-6)-0.0693880.069053-1.0048540.3160RESID2(-7)0.0056170.0691780.0811930.9354RESID2(-8)0.1022380.0655451.5598060.1202RESID2(-9)0.0112240.0657850.1706190.8647RESID2(-10)0.0644150.0651570.9886130.3239R-squared0.182406 Mean dependent var0.000305Adjusted R-squared0.147466 S.D. dependent var0.000679S.E. of regression0.000627 Akaike info criterion-11.86836Sum squared resid9.19E-05 Schwarz criterion-11.71116Log likelihood1464.875 F-statistic5.220573Durbin-Watson stat2.004802 Prob(F-statistic)0.000001得到什么结论？2、模型定阶：如何确定q实施ARCH LM test时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的pvalue即可。此处选取q3。因此，可以对残差建立ARCH(3)模型。3、ARCH模型的参数估计参数估计采用最大似然估计。具体方法在GARCH一节中讲解。如何实施ARCH过程：由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH得到如下结果Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:48Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 13 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C-0.0006400.000750-0.8528880.3937 Variance EquationC9.24E-051.66E-055.5693370.0000ARCH(1)0.2447930.0826402.9621420.0031ARCH(2)0.0814250.0774281.0516240.2930ARCH(3)0.4578830.1096984.1740430.0000R-squared-0.003823 Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared-0.019884 S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017535 Akaike info criterion-5.495982Sum squared resid0.076872 Schwarz criterion-5.426545Log likelihood705.7377 Durbin-Watson stat2.042013为了比较，观察将q放大对系数估计的影响Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:54Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 16 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C-0.0006010.000751-0.7999090.4238 Variance EquationC9.38E-051.60E-055.8807410.0000ARCH(1)0.2620090.0902562.9029590.0037ARCH(2)0.0419300.0705180.5945960.5521ARCH(3)0.4521870.1084884.1680760.0000ARCH(4)-0.0219200.050982-0.4299560.6672ARCH(5)0.0376200.0443940.8474080.3968R-squared-0.003550 Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared-0.027830 S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017603 Akaike info criterion-5.483292Sum squared resid0.076851 Schwarz criterion-5.386081Log likelihood706.1198 Durbin-Watson stat2.042568观察：说明q选取为3确实比较恰当。4、ARCH模型是对的吗？如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。对q为3的ARCH模型做LM test，发现没有了ARCH效应。注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。注意观察被解释变量或者依赖变量是什么？ARCH Test:F-statistic0.238360 Probability0.992099Obs*R-squared2.470480 Probability0.991299Test Equation:Dependent Variable: STD_RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:56Sample(adjusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C1.1023710.2649904.1600430.0000STD_RESID2(-1)-0.0385450.065360-0.5897410.5559STD_RESID2(-2)-0.0038040.065308-0.0582520.9536STD_RESID2(-3)-0.0573130.065303-0.8776490.3810STD_RESID2(-4)-0.0103250.065277-0.1581690.8745STD_RESID2(-5)0.0035370.0652800.0541850.9568STD_RESID2(-6)-0.0074200.065274-0.1136700.9096STD_RESID2(-7)0.0633170.0652640.9701650.3330STD_RESID2(-8)-0.0121670.065293-0.1863400.8523STD_RESID2(-9)-0.0106530.065278-0.1631940.8705STD_RESID2(-10)-0.0202110.065228-0.3098450.7570R-squared0.010084 Mean dependent var1.007544Adjusted R-squared-0.032221 S.D. dependent var2.112747S.E. of regression2.146514 Akaike info criterion4.409426Sum squared resid1078.160 Schwarz criterion4.566625Log likelihood-529.1546 F-statistic0.238360Durbin-Watson stat2.000071 Prob(F-statistic)0.992099方程整体是不显著的。还可以观察标准化残差ARCH建模以后，procs/make residual series/可以产生残差和标准化残差，以下分别是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现象。还可以观察波动率（条件方差）的图形。对比r和残差的图形，发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。ARCH建模以后，procs/make garch variance series/ 得到结论：ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。可以观察系数之和小于1，满足平稳性条件。3、GARCH模型ARCH (q) 模型 是关于st2的分布滞后模型。为避免t2的滞后项过多，可采用加入st2的滞后项的方法，此方法是Bollerslov（1986）提出的GARCH模型（Generalized ARCH），主要就是针对q较大的情形1、模型定义条件方差方程 均值 ：过去的条件方差（也即预测方差，forecast variance）注意：均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如R C），则R2没有直观定义了，因此可为负）例2 GARCH(1,1) Model标准的GARCH(1,1)描述为： （a） （b）（a）式是均值的方程，带误差项的外生变量的函数。因为是基于过去信息的一步向前预测方差，所以称为条件方差。条件方差的方程有三项。是均值项； 在 GARCH(1,1) 的(1,1) 表明有1阶GARCH项和1阶ARCH 项。一个ARCH 模型是GARCH模型的特殊情况，即当条件方差的方程中没有条件方差的滞后项时，即： （c） （d）如果对（2）式右边进行迭代。可以有这说明GARCH(1,1)的条件方差是以前的所有随机干扰项平方的加权和与共同部分构成。令,将其代入(b)得,由此可见，残差平方服从一个ARMA(1,1)过程。自回归因子的根为，如果接近1，则冲击是长久的。2、GARCH(p, q) 模型的稳定性条件计算扰动项的无条件方差：从上式可推出稳定条件：0 为使模型有意义，系数还需要满足下面两条1) 0, ai 0, i = 1, 2, q,2) i 0, j = 1, 2, p 3、GARCH模型的参数估计采用极大似然估计GARCH模型的参数。下面以GARCH(1, 1)为例。由GARCH(1, 1)模型可以得到yt的分布为由正态分布的定义公式，得到yt的pdf为第t个观察样本的对数似然函数值为其中注意yi和yj之间不相关，因而是独立的。似然函数为取对数就得到了所有样本的对数似然函数。其中条件方差项以非线性方式进入似然函数，所以不得不使用迭代算法求解。4、模型的选择两条原则：1） 若ARCH(q)中q太大，比如q大于7时，则选择GARCH(p, q)2） 使用AIC和SC准则，选择最优的GARCH模型3） 对于金融时间序列，一般选择GARCH(1, 1)就够了。回顾AIC和SC定义：1）AIC准则（Akaike information criterion）AIC越小越好，结合如下两者：K（自变量个数）减少，模型简洁LnL增加，模型精确2）SC准则（Schwaz criterion）习题1：通货膨胀率有ARCH效应吗？Greene P572点击数据文件usinf_greene_p572。进行回归ls inflation c inflation(-1)Dependent Variable: INFLATIONMethod: Least SquaresDate: 11/19/04 Time: 10:37Sample(adjusted): 1941 1985Included observations: 45 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C2.4328590.8163452.9801840.0047INFLATION(-1)0.4932130.1311573.7604660.0005R-squared0.247477 Mean dependent var4.740000Adjusted R-squared0.229976 S.D. dependent var4.116784S.E. of regression3.612519 Akaike info criterion5.450114Sum squared resid561.1625 Schwarz criterion5.530410Log likelihood-120.6276 F-statistic14.14110Durbin-Watson stat1.612442 Prob(F-statistic)0.000507检验ARCH效应ARCH Test:F-statistic0.215950 Probability0.953308Obs*R-squared1.231192 Probability0.941850Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 11/19/04 Time: 10:46Sample(adjusted): 1946 1985Included observations: 40 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C9.2705227.4255671.2484600.2204RESID2(-1)-0.0311620.170116-0.1831840.8557RESID2(-2)-0.0068860.170151-0.0404690.9680RESID2(-3)0.1162610.1695050.6858880.4974RESID2(-4)0.0185450.1706200.1086940.9141RESID2(-5)0.1279060.1686430.7584390.4534R-squared0.030780 Mean dependent var12.28323Adjusted R-squared-0.111753 S.D. dependent var34.15088S.E. of regression36.00858 Akaike info criterion10.14287Sum squared resid44085.00 Schwarz criterion10.39620Log likelihood-196.8574 F-statistic0.215950Durbin-Watson stat1.034796 Prob(F-statistic)0.953308习题2：通货膨胀率有ARCH效应吗？Lin的数据集 点击usinf文件series dp=100*D(log(p)ls dp c dp(-1) dp(-2) dp(-3)Dependent Variable: DPMethod: Least SquaresDate: 11/19/04 Time: 10:10Sample(adjusted): 1951:1 1983:4Included observations: 132 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.1099070.0634051.7334100.0854DP(-1)0.3935830.0844324.6615360.0000DP(-2)0.2030930.0894522.2704050.0249DP(-3)0.3020730.0841853.5882140.0005R-squared0.696825 Mean dependent var1.021373Adjusted R-squared0.689719 S.D. dependent var0.711412S.E. of regression0.396277 Akaike info criterion1.016428Sum squared resid20.10054 Schwarz criterion1.103785Log likelihood-63.08423 F-statistic98.06599Durbin-Watson stat1.970959 Prob(F-statistic)0.000000ARCH Test:F-statistic0.969524 Probability0.439318Obs*R-squared4.892009 Probability0.429201Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 11/19/04 Time: 10:13Sample(adjusted): 1952:2 1983:4Included observations: 127 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.1081900.0353023.0646480.0027RESID2(-1)-0.0808320.090353-0.8946190.3728RESID2(-2)0.1079060.0884931.2193650.2251RESID2(-3)0.0811910.0888310.9139960.3625RESID2(-4)0.1107450.0884331.2522990.2129RESID2(-5)0.0312480.0887380.3521340.7254R-squared0.038520 Mean dependent var0.147634Adjusted R-squared-0.001211 S.D. dependent var0.236307S.E. of regression0.236450 Akaike info criterion-7.13E-05Sum squared resid6.764921 Schwarz criterion0.134300Log likelihood6.004525 F-statistic0.969524Durbin-Watson stat1.990016 Prob(F-statistic)0.439318Dependent Variable: DPMethod: ML - ARCHDate: 11/19/04 Time: 10:16Sample(adjusted): 1951:1 1983:4Included observations: 132 after adjusting endpointsConvergence achieved after 25 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C0.1113020.0645121.7252820.0845DP(-1)0.3783170.0961983.9326910.0001DP(-2)0.1883850.0862412.1844010.0289DP(-3)0.3237310.0983453.2917880.0010 Variance EquationC0.2924650.0491875.9459390.0000ARCH(1)-0.0297610.047805-0.6225630.5336GARCH(1)-0.8733240.267371-3.2663330.0011R-squared0.696453 Mean dependent var1.021373Adjusted R-squared0.681883 S.D. dependent var0.711412S.E. of regression0.401250 Akaike info criterion1.051145Sum squared resid20.12519 Schwarz criterion1.204021Log likelihood-62.37558 F-statistic47.79960Durbin-Watson stat1.938286 Prob(F-statistic)0.000000、GARCH模型The ARCH-M Model(在方程中的回归因子)如果将必要的外生变量或前定变量加到方差方程 (2)，得拓展的方程： 在方程（1） 描述外生变量和前定变量。如果把条件方差引入这个均值方程，则得到所谓的 ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien, Robins, 1987)。ARCH-M模型经常用在金融应用研究中，财产的期望收益与期望风险紧密相关。期望风险的估计参数是风险与收益互换的测度。在Eviews中估计GARCH(p,q) Model的详细方法首先选择Quick/Estimate Equation键或选择Object/New Object/Equation，再选择ARCH 选项，有对话框。然后选择需要的均值方程、方差方程、估计方法和样本容量；均值方程（The Mean Equation Specification）的选项在被解释变量的编辑框中键入均值方程的变量或方程。如果估计的是ARCH-M 模型，还应该选择右上角的适当选项。方差方程的选项（Variance Regressors）在Variance Regressors 框中可以有选择的列出你希望加入的回归因子。值得注意的是EViews 已经加入了常数项，不需要再加入。 ARCH 模型的说明（ARCH Specification）在前面我们已经知道了估计GARCH模型，必须给出ARCH和GARCH项. 默认是 GARCH(1,1)。为了估计标准的GARCH模型，点击GARCH 按纽。估计选项 EViews 提供了一个进入选择项的按纽， 进入后可以将所需要的填入对话框。 Heteroskedast