2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷文科数学（一）（解析版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷文科数学（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题绘出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数年复平面中所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数除法求出复数后可得对应点坐标，确定象限【详解】，对应点，在第二象限故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，属于基础题2.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则（ ）A. B. 0C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】求出，根据奇偶性求出【详解】当时，所以，函数是定义在R上的奇函数，则.故选：C【点睛】此题考查根据函数奇偶性求函数值，属于简单题目，关键在于准确计算.3.已知向量，若A，B，C三点共线，则实数（ ）A. 2B. -1C. 2或-1D. -2或1【答案】C【解析】【分析】由向量共线的坐标运算求得【详解】A，B，C三点共线，共线，解得或故选：C.【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于简单题4.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，再求解即可得解.【详解】集合，则.故选：B【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求出集合内部的元素.5.某学校为了解学生的数学学习情况，从甲、乙两班各抽取了7名同学某次数学考试的成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是（ ）A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 极差【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图计算各数据特征【详解】由茎叶图，甲均值为，同理乙的均值也是，中位数都是90，极差都是99-8019，只有方差不相同了故选：B.【点睛】本题考查样本数据特征考查茎叶图由茎叶图确定所有数据，确定各数据特征掌握各数据特征的概念是解题关键6.设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，下面推理中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】A选项也可能两个平面相交，B选项是根据面面平行证明线面平行，所以正确，C选项也可能两个平面相交，D选项应该是.【详解】考虑平面，显然也满足，不能得出，所以AC都错误；若，则，所以B正确；若，则，所以D错误.故选：B【点睛】此题考查空间线面位置关系的判断，关键在于熟练掌握定理公理进行推导，可举出反例推翻命题排除选项.7.已知命题P：“若对任意的都有，则”，则命题P的否命题为（ ）A. 若存在使得，则B. 若存在使得，则C. 若，则存在使得D. 若，则存在使得【答案】B【解析】【分析】把条件，结论都否定，同时把任意与存在互换【详解】否命题是条件、结论都否定，“任意的都有”的否定为“存在使得”.因此命题P的否命题是：若存在使得，则故选：B.【点睛】本题考查否命题，掌握四种命题的关系是解题关键否命题与命题的否定要区分开来否则易出错8.由直线x+2y-7=0 上一点P引圆的一条切线，切点为A,则的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由得圆的标准方程为，设圆心为，故，由切线性质可得，的最小值为，故的最小值为，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.9.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由解析式分析函数的性质，如奇偶性，单调性，函数值的正负，变化趋势等【详解】，则，函数是偶函数，排除C，当较大时，可排除A，当时，由，知在上递减，上递增，又，有两个零点，在上有两个极值点，图象为先增后减再增只有D符合，排除B故选：D.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可由解析式研究函数性质，如奇偶性，单调性，对称性，周期性等等，研究函数值的正负，函数值的变化趋势，函数图象的特殊点，如顶点，极值点等，从而通过排除法选择正确的结论10.定义新运算“”：，则下列计算错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据新定义运算验证各选择支【详解】由题中较小数的两倍减去较大的数，A正确；若，则，B正确；，C正确；，D不正确.故选：D.【点睛】本题考查新定义运算，正确理解新定义运算是解题关键11.既与函数的图象相切，又与函数的图象相切的直线有（ ）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条【答案】C【解析】【分析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，由导数的几何意义分别写出切线方程，这两个方程表示同一直线，比较后得的方程，确定方程组的解的个数，即公切线的条数【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为，则公切线为：，整理为：，所以且，联立消去得：，由得，或令，则，或，故在上单减，在上单增，在上单减，当时，当时，当时，当时，因此在时，故在内有唯一零点，在内有唯一零点，即式中有两个不同解，即有两条公切线.【点睛】本题考查导数几何意义，用导数研究切线问题，用导数研究函数的零点，考查零点存在定理，难度较大考查转化与化归思想，公切线的条数，转化为方程解的个数，转化为函数零点个数，转化为研究函数的单调性等二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.曲线在点处的切线的横纵截距之和为_.【答案】【解析】【分析】到处导函数，再求出切线方程，即可得到横纵截距之和.【详解】由题：，所以在点处切线方程，即当，当，所以该切线的横纵截距之和为.故答案为：【点睛】此题考查求曲线在某点处的切线方程，再求直线截距，关键在于根据题意准确计算.13.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为_【答案】3【解析】【详解】试题分析：画出约束条件表示可行域，然后确定目标函数取得最大值时的位置，求解即可解：由题意可知变量x，y满足约束条件的可行域为三角形区域，目标函数z=3x+y的最大值是函数的图象经过点A，即y=x，3x+2y=5的交点A（1，1），时取得所以目标函数的最大值为：3故答案为3考点：线性规划点评：本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力属于基础题14.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_【答案】2【解析】【分析】将已知等式根据诱导公式处理成结合正弦定理边化角计算得，即可得解.【详解】由题：在中，.故答案为：2【点睛】此题考查利用正弦定理进行边角互化求三角形的边长，关键在于根据和差公式准确化简.15.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱边数为_.【答案】90【解析】【分析】根据截图方法，原有的棱没有减少，每个正三角形内增加三条棱，即可得解.【详解】由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面3条棱，每条棱属于两个面，所以共有条棱，此外每个面会产生3条新棱，共产生条新棱，共有90条棱.故答案为：90【点睛】此题考查几何体结构的辨析，根据线面关系求棱的条数.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.16.如图，三棱锥中，底面ABC，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且（1）证明：平面BDE；（2）若是边长为2的等边三角形，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设AE中点为G，连结GF，GC，证明平面平面EBD，即可证得线面平行；（2）转换锥体顶点即可求解.【详解】（1）设AE中点为G，连结GF，GC，则，平面EBD.，平面，平面平面EBD，平面；（2）设h为点到平面PAC的距离作于M底面ABC，底面ABC，是平面PAC内两条相交直线，平面PAC，.【点睛】此题考查证明线面平行和求锥体体积，需要熟练掌握常见证明方法和求锥体体积的处理办法.17.已知数列满足：，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1），则代入已知式可证得结论；（2）由（1）求得，从而得，用错位相减法求数列的前n项和.【详解】解：（1）设，由题，即，又，为等比数列，即为等比数列；（2）由（1）知，即，两式相减得，.【点睛】本题考查等比数列的证明与求通项公式，考查错位相减法求数列的和掌握用定义证明等比数列的方法，掌握数列求和的常用方法即可18.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠（本次即第一次），标准如下：体检次序第一次第二次第三次第四次第五次及以上收费比例10.950.900.850.8该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：体检次数一次两次三次四次五次及以上频数60201244假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人发放纪念品，求抽到的2人中恰有1人体检3次的概率【答案】（1）40元；（2）【解析】分析】（1）根据优惠方案算出三次体检医院的收入减去成本即可得到利润；（2）根据分层抽样可得抽出的5人中，有3人恰好体检三次，各有1人恰好体检四次五次，根据古典概型求解概率.【详解】解：（1）医院三次体检的收入为，三次体检的成本为，利润为元，故平均利润为40元； （2）由题抽出的五个人中有3人恰体检三次，记为A，B，C，有一人恰体检四次，记为D，有一人恰体检至少五次，记为E，从五人中抽两个人出来，共有，10种情况其中抽到的2人中恰有1人体检3次的情况有， 6种情况，所求概率为.【点睛】此题主要考查统计与概率相关知识，涉及分层抽样和古典概型的计算，熟练掌握基本概念准确求解.19.已知椭圆的离心率为，焦距为2（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于点E，F，过点E作轴于点M，直线FM交椭圆C于另一点N，证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和焦距即可求得椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程，求出点E，F坐标，再求点N坐标，根据斜率关系证明垂直.详解】解：（1）由题， 故椭圆方程为；（2）设，则与椭圆方程联立得，由得，即.【点睛】此题考查根据椭圆的基本量求椭圆方程，根据直线和椭圆的焦点坐标证明直线与直线的垂直关系，对计算能力要求比较高.20.已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论分子二次函数的根的情况即可得解；（2）结合（1）得出最大值，构造函数，结合单调性求解.【详解】（1），考虑，当时，在单调递增，当时，记的两根，结合可得：两根属于，时，时，的增区间为，减区间为，当时，开口向下，结合可得：时，时，的增区间为，减区间为，综上所述：当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；（2）当时，当时，所以，不满足对任意恒成立，当时，结合（1），的增区间为，减区间为，开口向下，结合可得：是方程的根，所以，所以，由题令，易得时，所以在单调递增，且，即，所以，所以.【点睛】此题考查导函数的应用，处理函数单调性求最值，利用单调性解不等式，需要对代数式进行一定的观察，发现特殊值，便于转化求解，涉及分类讨论以及转化与化归思想.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.（1）求C的普通方程，并判断直线l与曲线C的公共点的个数；（2）若曲线C截直线l所得弦长为，求值.【答案】（1），有两个交点；（2）0或.【解析】【分析】（1）由可得曲线的普通方程，由直线所过定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系，从而得交点个数；（2）把直线的方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算圆的弦长可求得直线的斜率，即【详解】解：（1），经过点，而点在圆的内部，与有两个交点；（2），设到的距离为，与交于点，中点为，或，或.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交弦长问题求直线