四川省高中数学函数的应用综合检测新人教A版.docx

第1课时方程的根与函数的零点基础达标(水平一)1.函数f(x)=x-1x的零点是().A.1B.-1C.1和-1D.不存在【解析】x-1x=x2-1x=0,x=1.【答案】C2.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是().A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】f(x)为增函数,f(-1)=-520, f(x)的零点位于区间(-1,0)内.【答案】B3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为().A.12,0B.-2,0C.12D.0【解析】当x1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=12,不合题意,所以函数的零点为0,选D.【答案】D4.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且,是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,的大小关系可能是().A.abB.abC.abD.ab【解析】,是函数f(x)的两个零点,f()=f()=0.f(x)=(x-a)(x-b)-2,f(a)=f(b)=-20.结合二次函数f(x)的图象(如图)可知,a和b必在与之间,只有选项C满足.【答案】C5.根据表格中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是.x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345【解析】令f(x)=ex-x-2,则f(1)f(2)0,故方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2).【答案】(1,2)6.方程ln x=8-2x的实数根x(k,k+1),kZ,则k=.【解析】令f(x)=ln x+2x-8,则f(x)在区间(0,+)内单调递增.f(3)=ln 3-20,函数f(x)的零点在(3,4)内,k=3.【答案】37.已知方程ax2-2x+1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数a的取值范围.【解析】当a=0时,方程为-2x+1=0,只有一个根,不符合题意.当a0时,设f(x)=ax2-2x+1,方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上,f(0)0,f(1)0,即10,a-2+10,解得34a1.当a0时,设方程的两个根分别为x1,x2,则x1x2=1a0,f(21)0),且g(1)=-a2.(1)求证:函数g(x)有两个零点. (2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数.【解析】(1)g(1)=a+b+c=-a2,3a+2b+2c=0,c=-32a-b.g(x)=ax2+bx-32a-b,=b2+4a32a+b=(2a+b)2+2a2,a0,0恒成立,故函数f(x)有两个零点.(2)根据g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,由(1)知3a+2b+2c=0,g(2)=a-c.当c0时,有g(0)0,又a0,g(1)=-a20,故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点,故在区间(0,2)内至少有一个零点.当c0时,g(1)0,函数f(x)在区间(1,2)内有一个零点,综合,可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.第2课时 函数零点的应用基础达标(水平一)1.函数f(x)=(x-1)(x+2)lnxx-3的零点有().A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】由f(x)=(x-1)(x+2)lnxx-3=0得x=1或x=-2(舍去),函数f(x)只有1个零点.【答案】B2.已知函数f(x)=若方程f(x)=k无实数根,则实数k的取值范围为().A.klg32B.klg32C.k32D.k32【解析】在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(x)与y=k的图象如图所示,方程f(x)=k无实数根,即两个函数图象无交点,故k0,f(2)0,f(2)0.f(1)0,f(2)0,f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点,故选C.【答案】C5.若函数y=2-|x-1|-m有零点,则实数m的取值范围是.【解析】由函数y=2-|x-1|=12|x-1|的图象(图略)可知0y1.由题意可知函数y=2-|x-1|-m的图象与x轴有交点,则0m1.【答案】00且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a图象交点的个数,由函数的图象可知当a1时,两函数图象有两个交点;当0a1.【答案】(1,+)7.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数k的取值范围.【解析】令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由图象可得只需f(0)0,f(1)0即可满足题意,即2k-10,1+k-2+2k-10,解得k12,k14.因此实数k的取值范围为12,23.拓展提升(水平二)8.定义在R上的奇函数y=f(x),当x0时,y=f(x)是增函数,且f(1)f(2)0,则函数y=f(x)的零点个数是().A.1B.2C.3D.条件不足,无法判断【解析】由y=f(x)在(0,+)上是增函数,且f(1)f(2)0B.f(1)f(2)=0C.f(1)f(2)0D.无法确定f(1)f(2)与0的大小关系【解析】如图,A、B、C三个选项都有可能,故选D.【答案】D10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=0,01,则方程|f(x)+g(x)|=1的实根个数为.【解析】当01时,f(x)+g(x)=ln x+x2-6单调递减,值域为(-5,+),方程f(x)+g(x)=1有1个解,方程f(x)+g(x)=-1有1个解.综上所述,原方程有3个实根.【答案】311.已知函数f(x)=x2-2x-3,x-1,4.(1)画出函数y=f(x)的图象,并写出其值域;(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在区间-1,4内有两个零点?【解析】(1)依题意,f(x)=(x-1)2-4,x-1,4,其图象如图所示.由图可知,函数f(x)的值域为-4,5.(2)函数g(x)=f(x)+m在区间-1,4上有两个零点,方程f(x)=-m在x-1,4上有两个相异的实数根,即函数y=f(x)与直线y=-m的图象有两个交点.由(1)所作的图象可知,-4-m0,0m4.当0m4时,函数g(x)=f(x)+m在区间-1,4内有两个零点.第3课时用二分法求方程的近似解基础达标(水平一)1.若函数f(x)在3,5上连续,且满足f(3)f(5)0,则f(x)().A.在3,4上有零点B.在4,5上有零点C.在3,4上无零点D.在4,5上无零点【解析】根据f(3)f(4)0无法判断函数f(x)在区间3,4上是否有零点,故排除A、C,但可推出f(4)f(5)0,所以可确定函数f(x)在区间4,5上有零点.【答案】B2.设函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0,f(1.25)0,则方程的根所在的区间为()(区间长度0.25).A.(1,1.25)B.(1,1.5)C.(1.5,2)D.(1.25,1.5)【解析】f(1)0,f(1.25)0,方程的根落在(1.25,1.5)上.【答案】D3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)0,f(0.68)0,f(0.68)0,所以零点在区间(0.68,0.72)内,又|0.72-0.68|=0.040.1,所以零点在区间0.68,0.72内,故只有B选项符合要求.【答案】B4.在用二分法求函数f(x)在(a,b)上的唯一零点x0的过程中,取(a,b)上的中点c=a+b2,若f(c)=0,则函数f(x)在(a,b)上的唯一零点x0().A.在(a,c)上B.在(c,b)上C.在(a,c)或(c,d)上D.等于a+b2【解析】c=a+b2,且f(c)=0,x0=a+b2.故选D.【答案】D5.已知函数f(x)=13x-log2x,若实数x0是方程13x-log2x=0的解,且0x11,并且当0x10.【答案】正6.用二分法求连续函数f(x)=0在(1,5)上的近似解(精确度为0.1)的部分过程如下:f(1)f(5)0,取(1,5)的中点x1=1+52=3,计算得f(1)f(x1)0,则此时能判断函数f(x)一定有零点的最小区间为.【解析】因为函数f(x)为连续函数,且f(1)f(3)0,f12=11012-120,显然f(0)f124,故需将区间D等分5次.【答案】511.如图,有一块边长为15 cm的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x cm的小正方形,然后折成一个无盖的盒子.(1)求盒子的容积y(以x为自变量)的函数解析式,并写出这个函数的定义域.(2)如果要做一个容积为150 cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长x是多少(结果精确到0.1 cm)?【解析】(1)盒子的容积y是以x为自变量的函数,解析式为y=x(15-2x)2,x(0,7.5).(2)如果要做成一个容积是150 cm3的盒子,则(15-2x)2x=150.令f(x)=(15-2x)2x-150,由f(0)f(1)0,f(4)f(5)0,可以确定f(x)在(0,1)和(4,5)内各有一个零点,即方程(15-2x)2x=150在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解.取区间(0,1)的中点x1=0.5,f(0.5)=-52,零点x0(0.5,1).再取中点x2=0.75,f(0.75)-13.31,零点x0(0.75,1).继续有x0(0.75,0.875);x0(0.8125,0.875).此时|0.875-0.8125|=0.06250.1,方程在区间(0,1)内结果精确到0.1 cm的近似解为0.8.同理,可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.7,所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子,截去小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm.第4课时几类不同增长的函数模型基础达标(水平一)1.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2xy2y3B.y2y1y3C.y1y3y2D.y2y3y1【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3.也可取特殊值,如3,代入即可.【答案】B2.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法:前5 min温度增加的速度越来越快;前5 min温度增加的速度越来越慢;5 min以后温度保持匀速增加;5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是().A.B.C.D.【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5 min前每当t增加一个单位,y相应的增量越来越小,而5 min后y关于t的增量保持为0,故正确.【答案】B3.某商品降价20%,由于原材料上涨,欲恢复原价,则需提价().A.10%B.15%C.20%D.25%【解析】设该商品原价为a,需提价x,依题意得a(1-0.2)(1+x)=a,即0.8+0.8x=1,得x=0.25=25%,故选D.【答案】D4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为().【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象,故选D.【答案】D5.某种动物的繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y=alog2(x+1),已知该动物第一年繁殖100只,则第15年会繁殖只.【解析】由题意100=alog2(1+1),解得a=100,将x=15代入,得y=400.【答案】4006.下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城行驶到乙城的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中,正确信息的序号是.【解析】看时间轴易知正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故正确;错误.【答案】7.某人对东北一种松树的生长情况进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)两种函数模型来刻画h与t的关系,你认为哪种函数模型更符合该松树的生长情况?并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【解析】据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数函数模型比较合理.不妨将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.拓展提升(水平二)8.某公司为开发新产品,计划逐年加大研发资金的投入.若该公司2015年全年投入的研发资金为130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是().(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年【解析】设第n年开始超过200万元,则130(1+12%)n-2015200,整理得(n-2015)lg 1.12lg 2-lg 1.3,n-20150.30-0.110.05=3.8,故n=2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.故选B.【答案】B9.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M为CD的中点,则当P沿ABCM运动时,点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是().【解析】依题意,当0x1时,SAPM=121x=12x;当1x2时,SAPM=S梯形ABCM-SABP-SPCM=121+121-121(x-1)-1212(2-x)=-14x+34.当2x52时,SAPM=1252-x1=-12x+54;综上可知,选项A符合题意.【答案】A10.为了鼓励居民节约用水,我市某地水费按以下规定收取:当每户每月用水量不超过10吨(含10吨)时,水费单价3.20元/吨;当每户每月用水量超过10吨时,超过10吨的部分水费单价5.00元/吨.(1)某用户某月用水量为x吨,需付水费为y元,则水费y (元)与用水量x (吨)之间的函数关系式为;(2)若小华家四月份付水费42元,问他家四月份用水吨.【解析】(1)当010时,y=32+5(x-10).即函数关系式为y=3.2x,010.(2)设小华家四月份用水量为x吨.423.2010,小华家四月份用水量超过10吨,由题意得3.2010+(x-10)5=42,x=12(吨).即小华家四月份的用水量为12吨.【答案】(1)y=3.2x,010(2)1211.函数y=2x-2和y=13x2的图象如图所示,其中有且只有x=x1,x2,x3时,两函数数值相等,且x10x2x3,O为坐标原点.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)现给下列三个结论:当x(-,-1)时,2x-213x2;x2(1,2);x3(4,5).请你选择一个结论判定其是否成立,并说明理由.【解析】(1)C1为y=13x2,C2为y=2x-2.(2)结论成立,理由如下:函数y=2x-2在(-,-1上是增函数,x(-,-1)时,2x-213(-1)2=13.而1813,当x(-,-1)时,2x-20,f(2)=-130,所以当t=154=3.75时,p取最大值,故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间.【答案】B5.某商家将彩电价格先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾,八折优惠”,结果每台彩电比原价多赚270元,那么每台彩电的原价为元.【解析】设原价为x元,则x(1+40%)80%-x=270,解得x=2250.【答案】22506.为了在“十一”黄金周期间降价促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:如果不超过200元,则不予优惠;如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;如果超过500元,其中500元按第条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.小云和她的母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为元.【解析】依题意,一次性购买x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)=当f(x)=168时,由1680.91871.(注:x表示上市时间,f(x)表示价格,记x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,以此类推,x0,5)(1)在上述三个价格模拟函数中,哪一个更能体现该种水果的价格变化趋势?并简要说明理由.(2)对(1)中所选的函数f(x),若f(2)=11,f(3)=10,记g(x)=f(x)-2x-13x+1,经过多年的统计发现,当函数g(x)取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请预测明年拓展外销市场的时间是几月1日?【解析】(1)根据题意,该种水果的价格变化趋势是先增加后减少,基本符合开口向下的二次函数图象的变化趋势,故应该选择.(2)由f(2)=11,f(3)=10,得4p+2q+7=11,9p+3q+7=10,解得p=-1,q=4,故f(x)=-x2+4x+7.所以g(x)=f(x)-2x-13x+1=-x2+2x-6x+1=-x2-2x+6x+1=-9x+1+(x+1)-4,此函数在0,2上单调递增,在2,5上单调递减,所以当x=2时,g(x)最大.所以明年拓展外销市场的时间应为6月1日.第三章章末小结一、选择题1.下列函数中,既是奇函数又有零点的增函数的是().A.y=12xB.y=1xC.y=log3xD.y=x3【解析】A,C错,y=12x与y=log3x是非奇非偶函数;B是奇函数,但无零点,只有D正确.【答案】D2.下列关于函数f(x),xa,b的命题中,正确的是().A.若x0a,b且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在a,b上的零点,则可以用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解【解析】选项A正确.使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,选项B错误.f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,选项C错误.用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,选项D错误.故选A.【答案】A3.若函数f(x)=x2lg a-2x+1有两个零点,则实数a的取值范围是().A.0a10B.1a10 C.0a1D.0a1或1a0,解得0a1或1a10.【答案】D4.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点坐标为(x0,y0),则x0所在的区间是().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】由题意知x0为方程x3=12x-2的根,令f(x)=x3-22-x,f(0)=-40,f(1)=-10,x0(1,2).【答案】B5.如图,在直角梯形OABC中,ABOC,AB=1,OC=BC=2,直线l:x=t截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的图象大致为().【解析】由题意可得S=f(t)=函数S=f(t)的图象在0,1上为抛物线的一段,在(1,2上为一条线段.【答案】C6.用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=3,f(2)=-5,f32=9,则下列结论正确的是().A.x01,32B.x0=32C.x032,2D.x01,32或x032,2【解析】f(2)f320,x032,2.【答案】C7.已知函数f(x)=x2+2(m-1)x-5m-2,若函数f(x)的两个零点x1,x2满足x11,则实数m的取值范围是().A.(1,+)B.(-,1)C.(-1,+)D.(-,-1)【解析】函数f(x)=x2+2(m-1)x-5m-2开口向上,函数f(x)的两个零点x1,x2满足x11,可得1+2(m-1)-5m-2-1.【答案】C8.函数f(x)=lg x-1x的零点所在的区间是().A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100,+)【解析】f(1)=-10,f(1)f(10)0,由函数零点存在性定理知,函数f(x)=lg x-1x的零点所在的区间是(1,10),故选B.【答案】B9.已知a是函数f(x)的一个零点,且x1a0B.f(x1)f(x2)0,f(-1)=-40,所以方程在区间(-3,-1)内必有根.又f(2)=-40,所以方程在区间(2,4)内必有根.【答案】A11.函数f(x)=|x|+k有两个零点,则().A.k=0B.k0C.0k1D.k0,即k0.【答案】D12.设函数f(x)在(-,+)上有意义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=取k=12,f(x)=12|x|,则fk(x)=k2的零点有().A.0个B.1个C.2个D.不确定,随k的变化而变化【解析】取k=12,f(x)=12|x|,则fk(x)=的图象如图所示.则fk(x)=k2的零点就是fk(x)与y=k2=14的交点,故交点有两个,即零点有两个.【答案】C二、填空题13.对于函数y=f(x),如果f(x0)=x0,我们就称实数x0是函数f(x)的不动点.设函数f(x)=3+log2x,则函数f(x)的不动点一共有个.【解析】由题意得3+log2x=x,即log2x=x-3,画出函数y=log2x和y=x-3的图象,如图所示.结合图象,函数有2个交点,即函数f(x)的不动点一共有2个.【答案】214.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.【解析】由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b.在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象(如图),则当0b0,12-12+x,x鈮?,若关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为.【解析】由函数图象(图略)可知,当直线y=kx-k过点-12,12时,直线的斜率最小,即k=-13;当直线y=kx-k与函数y=x2-x(x0)相切时有一个交点,k=y=1,故当函数f(x)与直线y=kx-k有两个不同的交点,即关于x的方程f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根时,则实数k的取值范围是-13,1(1,+).【答案】-13,1(1,+)三、解答题17.若二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1的一个零点小于-1,另一个零点大于3,求实数a的取值范围.【解析】因为二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1的图象开口向下,且在区间(-,-1)内与区间(3,+)内各有一个零点,所以f(-1)0,f(3)0,即即2a0,10a-80,解得a45.故实数a的取值范围是.18.已知函数f(x)=lg 1+ax1-x(a0)为奇函数,函数g(x)=2x2+b(bR).(1)求a的值;(2)若b1,讨论方程g(x)=ln |x|实数根的个数.【解析】(1)由f(x)=lg1+ax1-x(a0)为奇函数,得f(-x)+f(x)=0,即lg 1-ax1+x+lg 1+ax1-x=lg 1-a2x21-x2=0,所以1-a2x21-x2=1,解得a=1(a=-1舍去).(2)当b1时,设h(x)=g(x)-ln