陕西省2018届高三教学质量检测试题（一）（理科数学）（解析版）

2018年陕西省高三教学质量检测试题（一）数学（理）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，则中元素的个数（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】集合，则 故公共元素共3个故答案为D2.欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答.【详解】由题意得，e2icos 2isin 2，复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)2，cos 2(1，0)，sin 2(0，1)，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.3.已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.【此处有视频，请去附件查看】4.已知等差数列的前项和为，且，.若，则（ ）A. 420B. 340C. -420D. -340【答案】D【解析】根据等差数列的性质得到 故得到 故答案为D5.设xR，定义符号函数，则函数=的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数f（x）=|x|sgnx=x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故答案为C6.将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A考点：排列组合的应用【此处有视频，请去附件查看】7.若变量满足约束条件则的最大值为A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最大，代值计算可得取最大值，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【此处有视频，请去附件查看】8.已知与均为正三角形，且.若平面与平面垂直，且异面直线和所成角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图：设等边三角形的边长为4等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直取BC中点O，则AOBCOD以O为原点，建立如图空间直角坐标系则A（0，0，），B（0，2，0），C（0，2，0），D（，0，0）=（0，2，），=（，2，0）故 异面直线AB和CD所成角的余弦值 故选D9.运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数，是增函数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由框图可知A=3，0，1，8，15，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数y=x，x0，+）是增函数”为事件E，当函数y=x，x0，+）是增函数时，0事件E包含基本事件为3，则概率为故答案为C10.已知为所在平面内一点，则的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据条件得知点P在三角形中位线的延长线上，三角形ABC是以B为直角的直角三角形，记AC中点为O点，OBPC按这一顺序构成平行四边形的四个边，并且是菱形，边长为2，故BC为2，此时三角形面积为 故答案为B11.过双曲线右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】试题分析：因为OMF,且FM=PM,所以OP=OF即OFP=，所以OM=OF，即a=b,所以考点：本题考查双曲线的性质、圆的切线的性质及等腰三角形的性质点评：解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的思想分析出a=b求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：直接利用公式；利用变形公式：（椭圆）和（双曲线）根据条件列出关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出12.若函数存在极值，且这些极值的和不小于，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】f（x）=axx2lnx，x（0，+），则f（x）=a2x，函数f（x）存在极值，f（x）=0在（0，+）上有根，即2x2ax+1=0在（0，+）上有根，=a280，显然当=0时，F（x）无极值，不合题意；方程必有两个不等正根，记方程2x2ax+1=0的两根为x1，x2，x1+x2=，x1x2=，f（x1），f（x2）是函数F（x）的两个极值，由题意得，f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）（x12+x22）（lnx1+lnx2）=+1ln4ln，化简解得，a212，满足0，又x1+x2=0，即a0，a的取值范围是，+），故答案为C点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，还有就是求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题，每小题5分，共20分）13.若直线是抛物线的一条切线，则_【答案】-4【解析】联立直线和抛物线得到 故答案为-4.14.若函数，的图像关于原点对称，则函数，的值域为_【答案】【解析】函数f（x）=ax+b，xa4，a的图象关于原点对称，f（x）是奇函数可得：a4+a=0，且f（x）=f（x），即ax+b=axb，a=2，b=0那么g（x）=根据反比例的性质可得：x4，1上，g（x）是递减函数g（1）g（x）g（4），即2g（x），故答案为2，15.在九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_【答案】【解析】【详解】MABC四个面都为直角三角形，MA平面ABC，MA=AB=BC=2，三角形的AC=2，从而可得MC=2，那么ABC内接球的半径r：可得（r）2=r2+（2）2解得：r=2-ABC时等腰直角三角形，外接圆的半径为AC=外接球的球心到平面ABC的距离为=1可得外接球的半径R=故得：外接球表面积为.由已知，设内切球半径为，内切球表面积为，外接球与内切球的表面积之和为故答案为：.点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心.16.已知的内角的对边分别是，且，若，则的取值范围为_【答案】【解析】ABC中，（a2+b2c2）（acosB+bcosA）=abc，由余弦定理可得：2abcosC（acosB+bcosA）=abc，2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，2cosCsin（A+B）=sinC，2cosCsinC=sinC，sinC0，cosC=，又C（0，），C=，B=A；由正弦定理，又a+b=2， A（0，），A+（，），可得：sin（A+）（，1， 故答案为.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答三、解答题（本大题分必考题和选择题两部分，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17.已知在递增等差数列中，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质得到，由等比数列的性质得到，从而求出通项；（2）由第一问得到，求和即可解析：（）由为等差数列，设公差为，则.是和的等比中项，即，解之，得（舍），或.（）. .18.如图，四棱柱的底面是菱形，底面，.（）证明：平面平面；（）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】【详解】试题分析：（1）平面即可；（2）建立空间坐标系，求两个面法向量，求两个法向量的夹角即可解析：（1）证明：平面，平面，.是菱形，.，平面.平面，平面平面.（2）平面，以为原点，方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.，.则，.设平面的法向量为，令，得.同理可求得平面法向量为.19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？（）现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率.将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】(1) 能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关(2) 【解析】试题分析：（1）根据公式得到，从而得到结果；（2）由条件得到，根据二项分布的公式得到期望值解析：（）由列联表可知，.，能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.（）依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为.由列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为.由题意得，；.20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，由4个点构成一个高为，面积为的等腰梯形（1）求椭圆C的标准方程;（2）过点F1的直线和椭圆交于A,B两点，求面积的最大值【答案】(1) (2) 的最大值为3.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，根据，由韦达定理和弦长公式求解即可解析：（）由条件，得，且，.又，解得，.椭圆的方程.（）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，联立方程，消去得，.直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交.，. .令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增，当，设时，的最大值为3.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.设函数，f（x）=lnx+，kR（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线与直线x-2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1x20，f（x1）-f（x2）x1-x2恒成立，求k的取值范围【答案】（1）单调递减区间为，极小值为2（2）【解析】试题分析：（1）因为切线的斜率为0，所以由导数几何意义得，求导列式，得，从而导函数零点为，列表分析区间符号得在上单调递减，在上单调递增，再由极值定义知当时，取得极小值（2）分类变量得，因此构造函数则在上单调递减，也即在上恒成立，再分类变量得得最大值，因此试题解析：（1）由条件得，曲线在点处的切线与直线垂直，此切线的斜率为0，即，有，得，由得，由得在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值故的单调递减区间为，极小值为2（2）条件等价于对任意恒成立，设则在上单调递减，则在上恒成立，得恒成立，（对仅在时成立），故的取值范围是考点：导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）a恒成立，只需f（x）mina即可；f（x）a恒成立，只需f（x）maxa即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直