高中数学圆锥曲线试题

圆锥曲线圆锥曲线 文科练习题 文科练习题 1 1 20112011 年东城区期末文年东城区期末文 7 7 已知斜率为的直线 过抛物线的焦点 且与2l 2 yax F 轴相交于点 若 为坐标原点 的面积为 则抛物线方程为 D yAOAFO4 A B C 或 D 或 2 4yx 2 8yx 2 4yx 2 4yx 2 8yx 2 8yx 2 2 20112011 年房山区期末文年房山区期末文 7 7 已知双曲线的一条渐近线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 它的一个焦点在抛物线的准线上 则双曲线的方程为 A 3yx 2 8yx A B C D 2 2 1 3 y x 2 2 1 3 x y 22 1 412 xy 22 1 124 xy 3 3 20112011 年朝阳期末文年朝阳期末文 7 7 设椭圆的两个焦点分别为 过作椭圆长轴的垂线与 1 F 2 F 2 F 椭 圆相交 其中的一个交点为 若 为等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 A P 12 FPF A B C D 21 21 2 2 2 2 2 7 7 20112011 年东城区期末文年东城区期末文 1313 设椭圆的两个焦点分别为 过作椭圆长轴的垂 1 F 2 F 2 F 线交椭圆于点 若 为等腰直角三角形 则椭圆的离心率为 P 12 FPF 答案 答案 21 8 8 20112011 年西城期末文年西城期末文 1313 已知双曲线的离心率为 它的一个焦点与抛物 22 22 1 xy ab 2 线的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 2 8yx 答案 答案 2 0 30 xy 1111 20112011 年海淀期末文年海淀期末文 1111 椭圆的右焦点的坐标为 则顶点在原 22 1 2516 xy F 点的抛物线的焦点也为 则其标准方程为 答案 答案 CF 3 0 2 12yx 答案 答案 0 5 1 205 22 yx 16 16 20112011 年东城区期末文年东城区期末文 1919 已知椭圆的长轴长为 且点 22 22 1 0 xy ab ab 4 在椭圆上 求椭圆的方程 过椭圆右焦点的直线 交椭圆于两点 3 1 2 l A B 若以为直径的圆过原点 求直线 方程 ABl 解 解 由题意 所求椭圆方程为 24a 2a 22 2 1 4 xy b 又点在椭圆上 可得 所求椭圆方程为 5 分 3 1 2 1b 2 2 1 4 x y 由 知 所以 椭圆右焦点为 22 4 1ab 3c 3 0 因为以为直径的圆过原点 所以 AB0OA OB 若直线的斜率不存在 则直线的方程为 ABAB3x 直线交椭圆于两点 不合题意 AB 11 3 3 22 1 30 4 OA OB 若直线的斜率存在 设斜率为 则直线的方程为 ABkAB 3 yk x 由可得 22 3 440 yk x xy 2222 14 8 31240kxk xk 由于直线过椭圆右焦点 可知 AB0 设 则 1122 A x yB xy 22 1212 22 8 3124 1414 kk xxx x kk 2 22 12121212 2 3 3 3 3 14 k y ykxxkx xxx k 所以 222 1212 222 124114 141414 kkk OA OBx xy y kkk 由 即 可得 0OA OB 2 2 114 0 14 k k 2 42 11 1111 kk 所以直线 方程为 14 分l 2 11 3 11 yx 1818 20112011 年房山区期末文年房山区期末文 2020 已知椭圆 a b 0 的离心率 椭圆上 22 22 1 xy ab 3 2 e 任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为 4 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 点 A 的坐标为 0 求椭圆的标准方程 若 求直线 l 的倾a 4 2 5 AB 斜角 若点 Q在线段 AB 的垂直平分线上 且 求的值 0 0 y4 QBQA 0 y 解 解 I 由题意可知 e 得 解得 224a 3 2 c a 3c 222 bac 2 1b 分 所以椭圆的方程为 3 分 2 2 1 4 x y 由 I 可知点 A 的坐标是 2 0 设点 B 的坐标为 直线 l 的斜率为 11 x y k 则直线 l 的方程为 2 yk x 于是 A B 两点的坐标满足方程组 4 分 2 2 2 1 4 yk x x y 消去 y 并整理 得 5 分 2222 14 16 164 0kxk xk 由 得 从而 2 1 2 164 2 14 k x k 2 1 2 28 14 k x k 1 2 4 14 k y k 所以 6 分 2 2 22 222 2844 1 2 141414 kkk AB kkk 由 得 4 2 5 AB 2 2 4 14 2 145 k k 整理得 即 解得 k 7 分 42 329230kk 22 1 3223 0kk 1 所以直线 l 的倾斜角为或 8 分 4 3 4 设线段 AB 的中点为 M 由 II 得到 M 的坐标为 以下分两 2 22 82 1414 kk kk 种情况 1 当 k0 时 点 B 的坐标是 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 由 得 10 分 00 2 2 QAyQBy 4QA QB y2 2 0 2 当时 线段 AB 的垂直平分线方程为0k 2 22 218 1414 kk yx kkk 令 解得 11 分0 x 0 2 6 14 k y k 由 0 2 QAy 110 QBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 k kkk QA QBxyyy kkkk 12 分 42 2 2 4 16151 4 14 kk k 整理得 故 所以 13 分 2 72k 14 7 k 0 2 14 5 y 19 19 20112011 年东城区示范校考试文年东城区示范校考试文 1919 已知 A 1 1 是椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 0ab 上一点 是椭圆的两焦点 且满足 1 求椭圆的标准方程 12 F F 12 4AFAF 2 设点是椭圆上两点 直线的倾斜角互补 求直线的斜率 C D AC ADCD 解 解 1 由椭圆定义知 2 4 所以 2 2 分aa 即椭圆方程为 1 4 分 2 22 4b yx 把 1 1 代人得 1 所以 b2 椭圆方程为 1 6 分 2 1 4 1 b 3 4 22 3 44 xy 2 由题意知 AC 的倾斜角不为 900 故设 AC 方程为 y k x 1 十 1 7 分 联立 消去 y 1 4 3 4 1 1 2 2 y x xky 得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0 8 分 点 A 1 1 C 在椭圆上 xC 10 分 13 1 6 3 2 2 k kk AC AD 直线倾斜角互补 AD 的方程为 y k x 1 同理 xD 11 分 2 2 361 31 kk k 又 yC k xC 1 1 yD k xD 1 1 yC yD k xC xD 2k 14 分 3 1 DC DC xx yy 2121 20112011 年西城期末文年西城期末文 1818 已知椭圆 的一个焦点坐标为 22 22 1 xy C ab 0 ba 且长轴长是短轴长的倍 求椭圆的方程 设为坐标原点 椭 1 0 2CO 圆 与直线相交于两个不同的点 线段的中点为 若直线的斜率C1ykx A BABPOP 为 求 的面积 1 OAB 解 解 由题意得 21 2cab 分 又 所以 3 分 22 1ab 2 1b 2 2a 所以椭圆的方程为 4 分 2 2 1 2 x y 设 0 1 A 11 B x y 00 P xy 联立 消去得 6 分 22 22 1 xy ykx y 22 12 40kxkx 解得或 所以 0 x 2 4 12 k x k 1 2 4 12 k x k 所以 8 分 2 22 41 2 1212 kk B kk 22 21 1212 k P kk 因为直线的斜率为 所以 OP1 1 1 2k 解得 满足 式判别式大于零 10 1 2 k 分 到直线的距离为 11O 1 1 2 l yx 2 5 分 12 22 11 1 ABxy 2 5 3 分 所以 的面积为 13 分OAB 1222 5 2335 2323 20112011 年朝阳期末文年朝阳期末文 1818 已知点 若动点满足 4 0 M 1 0 NP 6 MN MPPN 求动点的轨迹的方程 PC 设过点的直线 交轨迹于 两点 若 求直线NlCAB 1812 75 NA NB 的斜率的取值范围 l 解 解 设动点 P x y 则 2 分 4 MPxy 3 0 MN 1 PNxy 由已知得 22 1 6 4 3yxx 化简得 得 22 3412xy 22 1 43 xy 所以点的轨迹是椭圆 的方程为 6 分PCC1 34 22 yx 由题意知 直线 的斜率必存在 l 不妨设过的直线 的方程为 Nl 1 yk x 设 两点的坐标分别为 AB 11 A xy 22 B xy 由消去得 8 分 22 1 1 43 yk x xy y 2222 43 84120kxk xk 因为在椭圆内 所以 N0 所以 10 分 2 12 2 2 12 2 8 34 412 34 k xx k k x x k 因为 2 121212 1 1 1 1 1 NA NBxxy ykxx 1 1 2121 2 xxxxk 12 分 2 2 2 222 2 43 1 9 43 438124 1 k k k kkk k 所以 解得 2 2 189 1 12 7345 k k 2 13k 所以或 13 分31k 13k 2424 20112011 年海淀期末理年海淀期末理 1919 已知点在抛物线上 点到 1 My 2 2C ypx 0 p M 抛物线的焦点 F 的距离为 2 直线与抛物线交于两点 求抛C l 1 2 yxb A B 物 线的方程 若以为直径的圆与轴相切 求该圆的方程 若直线 与CABxl 轴y 负半轴相交 求面积的最大值 AOB 解 解 抛物线 的准线为 1 分 2 2ypx 0 p 2 p x 由抛物线定义和已知条件可知 1 12 22 pp MF 解得 故所求抛物线方程为 3 分2p 2 4yx 联立 消并化简整理得 2 1 2 4 yxb yx x 2 880yyb 依题意应有 解得 4 分64320b 2b 设 则 5 分 1122 A x yB xy 1212 8 8yyy yb 设圆心 则应有 00 Q xy 1212 00 4 22 xxyy xy 因为以为直径的圆与轴相切 得到圆半径为 6 分ABx 0 4ry 又 2222 1212121212 14 5 4 5 6432 ABxxyyyyyyy yb 所以 7 分 25 6432 8ABrb 解得 8 分 8 5 b 所以 所以圆心为 1212 48 2222416 5 xxbybyb 24 4 5 故所求圆的方程为 9 分 22 24 4 16 5 xy 方法二 联立 消掉并化简整理得 2 1 2 4 yxb yx y 22 416 40 xbxb 依题意应有 解得 4 分 22 16 4 160bb 2b 设 则 5 分 1122 A x yB xy 2 1212 416 4xxbx xb 设圆心 则应有 00 Q xy 1212 00 4 22 xxyy xy 因为以为直径的圆与轴相切 得到圆半径为 6 分ABx 0 4ry 又 2222 1212121212 15 1 4 5 6432 44 ABxxyyxxxxx xb 又 所以有 7 分 28ABr 5 6432 8b 解得 8 分 8 5 b 所以 所以圆心为 12 48 5 xx 24 4 5 故所求圆的方程为 9 分 22 24 4 16 5 xy 因为直线 与轴负半轴