同济版第四章向量组的线性相关性的教案

同济版第四章向量组的线性相关性的教案 第一节向量组及其线性组合一.教学重点线性表示，向量组等价的充要条件二.教学目标熟练掌握相关定义，定理。 三.教学过程1.定义1n个有次序的数1n?所组成的数组称为n维向量说明几个问题?111)nn?T列向量，行向量。 ?1212(,),Tn nx x x x x x x Rn?n2)n维向量的全体所组成的集合R称为维向量空间。 ?1211223)(,)1T nn n nnx x x xa xa xa x b R n?维向量的集合叫的维超平面。 ?14)nmnn ma?111nm1若干个同维数的列向量组成的集合叫列向量组a a例如A=称为个维列向量的全体。 a定义2给定向量组1111,.m m m mik kRk kA k?A:称为的一个线性组合。 称为系数。 11221m m mb k k k?若称b能被线性表示。 11()(,)m mR A R b?Th1.b能由A:线性表示证明1m?b能由A:线性表示11122m mmk kb k k k?则存在使得?即AX=b有解R(A)=R(A,b)定义3若向量组A与B能相互表示则称向量组A与B等价。 若B的每一个向量都可以由A表示，则称向量组B能由A线性表示。 线性表示的系数矩阵11:m LA B B A?令若能由线性表示?1112212(1,2)jj jj mjm mjkbkkk jLk?m LijK=(k)称为线性表示的系数矩阵即B=AK由此可得11:L mB A?Th2.能由线性表示R(A)=R(A,B),7()(,)BAK ThR A R A B?78证明能由线性表示则存在使B=AK即AX=B有解,由P可得推论,()()(,)A B R A R B R AB?等价?23232311111210,21432301,(,)bB Ab?111例1设证明向量b能由线性表示，并求出表达式。 分析只要证A=与的秩相等即可。 231111103212100121()(),2143000023010000rB R A R B?1证明b能由线性表示32322121,10cx c c ?可取任意值。 ?2323, (32) (21)x c c c?11从而得表示式b=2232231321311011,1110213120,b bb b?1111例2，b证明向量组，和b等价。 1321313213110110211111102000001312000000()2,(.)202()()(,)rR A R ABBR A R BRAB?证明(A,B)=可见容易看出矩阵中有不等于的子阶故R(B)2,又R(B)R(A,B)=2,R(B)=2因此1113.:)L mLTh BA?设向量组能由线性表示，则R(1()mR?说明几个问题12m?例3设n维的向量组A:构成的n m的矩阵12)m?A=(，12)nn eee n阶单位矩阵E=(的列向量叫做维单位坐标向量。 12().nn eee A RA n?证明维单位坐标向量组能由向量组线性表示证明由定理2向量组12ne ee能由向量组A线性表示的?R(A)=R(A,E)而R(A,E)?R(E)=n.又矩阵(A,E)含n行，知R(A,E)?n,合起来有R(A,E)=n,因此R(A)=R(A,E)就有R(A)=n.说明几个问题1.nX E?n m本例用方程的语言可叙述为A有解R(A)=n.n mQ?n m2.本例用矩阵的语言可叙述为，对矩阵A，存在矩阵,()RAm?m使AQ=E()n mRA n?n m对矩阵A，存在矩阵P,使PA=En3.m n?当时，P,Q就是A的逆矩阵，上述结论可看作是逆矩阵概念的推广。 5.本课小结本节课的定义定理较多，要求同学们熟练掌握并学会应用6.作业108，312121.:L mBbb bA?向量组能由向量组线性表示?有矩阵K,使B=AK有解。 2.以上的各定理之间的对应是向量组与矩阵的对应。 第二节向量组的线性相关性一.教学重点线性相关的定义，性判断向量组的线性相关性。 二.教学目标用矩阵的语言说明线性相关性，理解线性表示与线性相关的联系和区别，能够判断向量组的线性相关性1212112122m n n mmm mmmB Ab?TH51)若向量组A:线性相关，则B:也线性相关，反之，若无关，则也无关。 ）个维的向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关，特别地n+1个n维的向量一定线性相关。 3）设向量组A:线性无关。 而向量组B:线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示。 且表示式是唯一的。 证明略1234231234123?例4.设向量组线性相关,向量组线性无关证明1）能由线性表示。 2）不能由线性表示.4232312312341231234234235Th?证明1）线性无关线性无关线性相关由能由线性表示.2)假设能由线性表示.又能由线性表示则能由线性表示，线性相关。 矛盾。 5.课堂小节用矩阵的语言说明线性相关性，理解线性表示与线性相关的联系和区别，能够判断向量组的线性相关性第三节向量组的秩一.教学重点极大无关组的定义和它的等价定义，向量组的秩，矩阵的秩。 二.教学目标会求矩阵的秩和列（行）向量组的一个极大无关组。 00.1:2rrAA A A?111.定义设在向量组A中，选取r个向量满足）线性无关。 ）向量组中任意r+1个向量线性相关，称为的一个最大无关组。 说明几个问题1）向量组A的秩，就是最大无关组所含向量的个数即R(A)=r2)最大无关组不是唯一的12312231310xx()27000,R?102例1241503)2A A定义中的第条等价于中的任意向量都可由线性表示从而得最大无关组的等价定义。 0,:2rrrAA A?10112.等价定义设在向量组A中选取r个向量满足1）A线性无关）中的任意向量都可由线性表示称为的极大无关组。 3.向量组的秩，矩阵的秩nn?11若A中向量的个数是有限个则它们可以构成矩阵（）很容易得到。 Th6矩阵的秩等于它的列向量组的秩（行也一样）。 ,nnn例1.全体n维向量构成的向量组记为R求R的一个极大无关组及R的秩。 52)11nne Th ne?n1n1解E:e线性无关的，由知R中的任意个向量都线性相关，由定义，e即是R的一个极大无关组秩为n2341241234220230570x x xx x xx x x x?1s例2.设齐次线性方程组x的全体解向量构成的向量组为s,求R解1342341212103434230101232311570000x x xAx x x?3142,x cx c?令得通解121211223434231001xxc cxx?即x=?11221212,2sc cRR?知s=x x=而不成比例线性无关由等价定义说明几个问题1)()(2ssR A RnnR?是自由量的个数）自由量的个数=量的个数-R(A)3.向量组的秩和矩阵的秩8561422Th Th Th pThTh93由可以把上一节的推广过来与p等价,),),BA AB BBAB cRA BBA R R R R RRAB?A（A A（例10B能由A线性表示，且R证明与等价。 证明能由线性表示而R，所以R从而等价。 12112144622436979A?2-1-1例11设矩阵A=求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组表示。 24242424312244124124124124140111030001300000()30021246223679ARRk kkk kkk kkk kkk kk?1111111-2解A方法取三个非零行的非零首元所在列111011（）线性无关。 00101241124212441243252421121462203679433kkkkk kkkk kkkk kk?11同理第四节线性方程组的解结构一.教学重点用向量组线性相关的理论来讨论线性方程组的解二.教学目标熟练掌握求齐次，非齐次线性方程组的通解的一般方法和步骤三三.1)0n AX?个数的齐次线性方程组有非零解R(A) (1)() (1)0 (2)0, (1) (2)n nTnnn nn nn nnxa xa xXx xAXa xa xa xx x x x?11ij）齐次的a设A=(a若为的解。 为的解向量。 222211, (2) (2)()0 (2), (2)00x xAXA AAk Rk?111111性质1.若x=为的解，则也是的解。 证明性质2.若x=为的解，则x=k也是的解。 证明A(k)=kA1220 (2)t tAXkk x?1结论把的全体解所成的集合记为S，可用S的极大无关组表示S,由性质1.2=k这就是的通解。 定义1.基础解系齐次线性方程组解集的极大无关组结论要求通解只需求基础解系（不是唯一的）02()AR A0002）齐次方程组AX=0基础解系的求法1对作初等变换化为阶梯形（最好最简形）确定从而确定基础解系中的解向量个数n-R(A)3确定自由量（个数n-R(A)）4每次给一个自由量赋值1,其余为0。 7Thnr?s设m n矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组AX=0的解集S的秩，R234123412340253207730x x xx x x xxxxx?1x例12的基础解系，通解。 1343142234231077111154253201()2,()422777734000023231077775401547777ARAn R Axx xx xx xxxx?解及对应有及即得基12112234237754771001xxc cxx?12础解系，222,),)001,2(,)(),()()().l lii ls ssb bAB Ab bAb ilBb SRbb RRBRRARnRARB n?m nn l111例13.设AB=0,证明R(A)+R(B)n.证明记B=(b(b即从而的列向量全是AX=0的解设AX=0的解集S，则从而b即00L nBAX BX?m n例14.证明矩阵A与的行向量组等价与同解。 000()()()()(,),T T T TT TAAX BXXBAR ARBRRARBRA BBAB?证明显然AX=0与同解即同解BX=0列向量组等价。 从而A,B行向量组等价。 结论AX=0与BX=0可互相推它们同解。 )()00)000()()00()00)()T TTA RAAX AXAX XA AX AX AXAXAX AXARA?TTTTT51TT例15.证明R(A证明设A为m n的若AX=0AA(A若A例6P与A同解R(A2.讨论非齐次线性方程组1122111122 (4)n nmm mnn nxa xa xba xa xa xb?11a它可以写成AX=b (5)*, (5)6?1212向量方程 (5)的解就是 (4)的解向量，它具有性质3.设x=x=是的解，则x=是导出组的解（）性质4.设x=是方程 (5)的解，x=是方程 (6)的解，则x=是方程 （5）的解。 结论 （5）的通解，x=，其中是导出组的解，是特解。 000求非齐次线性方程组的步骤1化增广阵求特解2求导出组的通解3取和234123412342424340311232121111011011111310012()()2,2112310000021210xx222xxxxxxxxxxxR AR Bxxx xxx?11*x例16求解方程组解故方程有解。 x令得1243412341221234xx11,010211111010020xx1xxxxxxxx xxxxx?1对应的齐次线性方程组取及及基础解系，于是得通解12120(,)120R?5.课堂小节6.作业第五节向量空间一.教学重点构成向量空间的条件，向量组的一个极大无关组与向量空间的一个基有什么区别，联系？二.教学目标判断集合是否为向量空间，坐标变换。 三.教学过程1.定义1设v为n维向量的集合，如果V非空且对加法及数乘封闭，那么V就是向量空间。 0012,V st RV st V?符号语言有02?0说明几个问题1零向量存在V,-V,-V负向量唯一能够作成空间的例子?)n nx x R?22例1.集合V=X=(0,xx例2.集合V=XAX=0不能作成空间的例子?22,),1Tn nnxxxRxx?111例3.V=X=(xxx?3,1,)Tn nxxxR?12例4.V=X=(xx?11112.mmm mLX R?定义记为由向量组所生成的向量空间。 ?111111211112,m smmms ssb LX RLX RL L?例5.设向量组与向量组b等价，记证明证明（略）?121212定义3.设向量空间V及V，若V V，称V是V的子空间。 11114.rrrrViiiV?定义设V为向量空间，如果r个向量，且满足）线性无关）V中任一向量都可由线性表示那么向量就是称为向量空间的一个基，r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间。 0020说明几个问题1维向量空间只含有一个零向量。 由定义除了零空间外，V都是无限集，基用来生成无限集，而向量组可以是有限的，极大无关组可以生成有限的。 0113(),:ssV La?那么的任一极大无关组是V的一个基。 b:V的维数等于向量组A的秩.15.,rr rVV XXX?11定义中取定一个基那么中任一向量可唯一的表示为数组称为在基下的坐标。 ?232323222114212,()0312242B bbRbb?1111例6.A=验证是的一个基，并求在这个基下的坐标?32323122331223311223223322110021xx()3,12xx,()2211,