构建二次函数求图形面积最值案例

二次函数中面积最值问题探究二次函数中面积最值问题探究 公开课有感公开课有感 初三数学备课组初三数学备课组 周斌周斌 一 教学内容背景分析一 教学内容背景分析 本节课是在学习了二次函数的概念 图像及性质后 对二次函数性质的应用课 主要内容 包括 运用二次函数的最大 小 值解决最大 小 面积的问题 让学生体会抛物线的顶点就 是二次函数图象的最高点 最低点 因此 可利用顶点坐标求实际问题中的最大值 或最小 值 本节课的设计是从生活实例入手 让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐 使学 生成为课堂的主人 按照新课程理念 结合本节课的具体内容 本节课的教学目标确定为相互 关联的三个层次 1 知识与技能 通过实际问题与二次函数关系探究 让学生掌握利用顶点坐标解决最大值 或最小值 问题方 法 2 过程与方法通过对实际问题的研究 体会数学知识的现实意义 进一步认识如何利用二 次函数的有关知识解决实际问题 渗透转化及分类等数学思想方法 3 情感态度价值观 1 通过巧妙的教学设计 激发学生的学习兴趣 让学生感受数学的美感和实用价值 2 在知识教学中体会数学知识的应用价值 本节课的教学重点是 探究利用二次函数的最大值 或最小值 解决实际问题的方法 教学难点是 如何将实际问题转化为二次函数的问题 培养数学建模思想方法 二 教学思路设计综述二 教学思路设计综述 1 1 教材内容选择 教材内容选择 学生刚刚学习了二次函数的基本问题 当时的问题都是脱离了实际背景的 本节的内容是 用二次函数解决实际问题中的面积最值问题 最值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见 最有实际应用价值的问题之一 它生活背景丰富 学生比较感兴趣 对于面积问题学生易于理 解和接受 通过本内容的学习 要求学生学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题 2 2 教学目标分析 教学目标分析 知识与技能知识与技能 通过本节学习 巩固二次函数 y a 0 的图象与性质 理解顶点与最值的 关系 会求解最值问题 过程与方法过程与方法 通过观察图象 理解顶点的特殊性 会把实际问题中的最值转化为二次函数 的最值问题 通过动手动脑 提高分析解决问题的能力 并体会一般与特殊的关系 了解数形 结合思想 函数建模思想 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 通过学生之间的讨论 交流和探索 建立合作意识 提高探索能力 激发学习的兴趣和欲望 体会数学在生活中广泛的应用价值 教学重点 利用二次函数 y a 0 的图象与性质 求面积最值问题 教学难点 1 正确构建数学模型 2 对函数图象顶点 端点与最值关系的理解与应用 3 3 学生情况分析 学生情况分析 对九年级学生来说 在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后 对函数的思想已有初 步认识 对分析问题的方法已会初步模仿 能识别图象的增减性和最值 但是在实际问题中应 用二次函数还是有一定困难的 本节课正是为了弥补这一不足而设计的 目的是进一步培养学 生利用所学知识构建数学模型 解决实际问题的能力 这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式 上升规律 三 教学方法与手段的选择三 教学方法与手段的选择 由于本节课是应用问题 重在通过学习总结解决问题的方法 故而本节课以 启发探究式 为主线开展教学活动 解决问题以学生动手动脑探究为主 必要时加以小组合作讨论 充分调 动学生学习积极性和主动性 突出学生的主体地位 达到 不但使学生学会 而且使学生会学 的目的 为了提高课堂效率 展示学生的学习效果 适当地辅以电脑多媒体技术 四 教学过程设计四 教学过程设计 为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用 教学过程中设计了 5 个教学环节 创设情境 问题引入 自主探索 合作交流 运用反思 拓展创新 盘点收获 小结回顾 作业布置 巩固知识 五 教学流程呈现五 教学流程呈现 一 创设情境 问题引入 提出问题 二次函数 y y 2x2 8x 3 a 0 的图象的顶点坐标 对称轴 1 求函数 y y 2x2 8x 3 的最值 2 求函数 y y 2x2 8x 3 的最值 0 x 3 总结 求抛物线取最值的方法 设计意图 通过问题 1 让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标与最值 通过问题 2 复习 求二次函数的最值方法 问题 2 中的对比练习是让学生理解求最值的问题与 X 的取值有关系 同时为问题 3 求最值办法的总结作铺垫 也为后续教学做一个铺垫 二 自主探索 合作交流 探究活动一 探究活动一 1 如图 用总长为 60 米的篱笆围成矩形场地 ABCD 设场地的边 AB 为 x 米 则 BC 边可 以表示为 米 自变量 x 的取值范围是 若矩形 ABCD 的面积为 y 平方米 则 y 与 x 的函数关系式是 2 怎样设计才能使得围成的矩形场地面积最大 最大面积是多少 A B C D A B C D 设计意图 有的学生可能知道在周长一定的前提下 当矩形变成正方形的时候面积最大 但是很多的学生是不知道这个结论的 即使知道也无法证明为什么是正方形的时候面积最大 由此发现问题 教师引导因为是最值问题 最值又与二次函数有关 进而联想到用二次函数 知识去解决 这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性 学生既感到好奇 又乐 于探究它的结论 从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习 探究活动二 探究活动二 变式 变式 如图 在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆 围成中间隔有二道篱笆的长方形 花圃 设花圃的宽 AB 为 x 米 面积为 S 平方米 1 求 S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 2 当 x 取何值时所围成的花圃面积最大 最大值是多少 3 若墙的最大可用长度为 8 米 求围成花圃的最大面积 4 比较 2 3 其围成花圃的最大面积一样吗 为什么 A BC DA BC D 设计意图 把前面矩形的问题变成一个实际问题 目的在于让学生体会其应用价值 我 们要学有用的数学知识 学生在前面探究问题时 已经发现了面积不唯一 并急于找出最大的 而且要有理论依据 这样首先要建立函数模型 在选取变量时学生可能会有困难 这时教师要 引导 学生关注哪两个变量 就把其中的一个主要变量设为 x 另一个设为 y 其它变量用含 x 的代数式表示 找等量关系 建立函数模型 实际问题还要考虑定义域 画图象观察最值点 这样一步步突破难点 从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法 而不是为了做题而做题 为以后的学习奠定思想方法基础 估计大部分学生在求解时还会在顶 点处找最值 导致错解 此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察 理解最值的实际意 义 体会顶点与端点的不同作用 加深对知识的理解 解决完想一想之后及时让学生总结方法 为应用阶段打下思想方法基础 三 运用反思 拓展创新 例例 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 4 AC 8 点 D 是斜边 AB 上的动 点 不与 A B 重合 分别作 DE AC DF BC 垂足分别为 E F 可得四边形 DECF 是矩形 设 DE x DF y 1 用含 y 的代数式表示 AE 2 求 y 与 x 之间的函数关系式 并求出 x 的取值范围 3 设四边形 DECF 的面积为 S 求 S 与 x 之间的函数关系 并求出当点 D 在线段 AB 的 什么位置时 S 有最大值 其最大值是多少 设计意图 本题的设计也是根据前面问题的探讨 转化为与三角形相似有关的面积问题 分步进行 层层递进 减少思考难度 从知识的角度来看 求矩形面积也较容易 在此设计 了一个条件墙长 10 米来限制定义域 目的在于告诉学生一个道理 数学不能脱离生活实际 做到数与形的完美结合 通过此题的有意训练 学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理 解 这样既培养了学生思维的严密性 又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实基础 四 盘点收获 小结回顾 变式变式 如图 已知 BC 120cm BC 边上的高 AM 80 cm 在 ABC 的内部作一个长方形 DEFG 高 AM 交 DG 于 N 点 E F 在边 BC 上 D G 分别在 AB AC 边上 1 设长方形 DEFG 的一边 EF x cm 那么 AN 的长度如何表示 DE 的长度如何表示 2 设长方形 DEFG 的面积为 ycm2 当 x 取何值时 y 的值最大 最大值是多少 N 设计意图 让学生不仅总结知识层面的收获 还要总结数学建模的思想方法 让学生能 够明确如何从实际问题中采用建模的思想解决问题 能够意识到这一点才是思想真正的升华 五 作业布置 巩固知识 A 层 指出下列函数的最大或最小值 y 3 x 1 2 5 B 层 张伯伯准备利用现有的一面墙和 40 长的篱笆 把墙外的空地围成四个相连且面 积 相等的矩形养兔场 回答下面的问题 1 设每个小矩形一边的长为 xm 设四个小矩形的总面积为 ym2 写出 x 表示 y 的函数表达式 2 你能利用公式求出所得函数的图象的顶点坐标 并说出 y 的最大值吗 3 若墙的长度为 10 米 x 取何值时 养兔场的面积最大 C 层 1 一块三角形废料如图所示 用这块废料剪出一个长方形 30 A 12 90 ABC CDEF 其中 点 D E F 分别在 AC AB BC 上 要使剪出的长方形 CDEF 的面积最大 点 E 应选在何处 A B C DE F A B C DE F 2 如右图所示数据 在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD 1 设长方形的一边 AB x 那么 AD 边的长度如何表示 2 设长方形的面积为 y 当 x 取何值时 y 的值最大 最大值是多少 3 如图 正方形 EFGH 的顶点在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上 若 AE x 正方形 EFGH 的 面积为 y 1 求出 y 与 x 之间的函数关系式 2 当点 E 位于何处时 正方形 EFGH 的面 积最小 最小是多少 40 30 C D B A 设计意图 从三个层面设计了大约 35 分钟的作业 目的就是及时让学生利用所学过的 知识点解决问题 题目的类型与课堂内容差不多 难度比较适中 后来从作业反馈信息看 达到了预期的效果 教学反思教学反思 新课程理念下开放式教学 是根据学生个性发展的需求而进行的教学 为使 课堂充满生趣 充满孜孜不倦的探索 要掌握调控学生课堂参与度 1 进行有效的情景设计 提供学生积极 主动 参与学习活动的机会 2 使课堂充满求知欲 问题意识 和表现欲 参与意识 让学生感到他们是在学习有用的 数学 好奇求知的欢乐和自我表现的愿望是推动课堂教学发展的永恒内在动力 3 营造充满情趣的学习情境 宽松平等民主的人际环境 创设有利于体验成功 承