高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系优选课件.ppt

集合与常用逻辑用语 第一章 第2讲命题及其关系 充分条件与必要条件 栏目导航 1 命题的概念在数学中用语言 符号或式子表达的 可以 的陈述句叫做命题 其中 的语句叫做真命题 的语句叫做假命题 判断真假 判断为真 判断为假 2 四种命题及其相互关系 1 四种命题间的相互关系若原命题为 若p 则q 则逆命题为 否命题为 逆否命题为 2 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 若q 则p 若 p 则 q 若 q 则 p 相同 没有关系 3 充分条件与必要条件 1 若p q 则p是q的 条件 q是p的 条件 2 若p q 且q p 则p是q的 条件 3 若p q 且q p 则p是q的 条件 4 若p q 则p是q的 条件 5 若p q 且q p 则p是q的 条件 6 若p是q的充分不必要条件 则 q是 p的 条件 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 充分不必要 4 用集合关系判断充分条件 必要条件以p x a q x b的形式出现 1 若p是q的充分条件 则a b 2 若p是q的必要条件 则b a 3 若p是q的充分不必要条件 则a b 4 若p是q的必要不充分条件 则b a 5 若p是q的充要条件 则a b 6 若p是q的既不充分也不必要条件 则a b且b a 1 思维辨析 在括号内打 或 1 语句x2 3x 2 0是命题 2 一个命题的逆命题与否命题 它们的真假性没有关系 3 命题 如果p不成立 则q不成立 等价于 如果q成立 则p成立 4 p是q的充分不必要条件 与 p的充分不必要条件是q 表达的意义相同 解析 1 错误 无法判断真假 故不是命题 2 错误 一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题 它们的真假性相同 3 正确 一个命题与其逆否命题等价 4 错误 p是q的充分不必要条件 即为 p q且q p p的充分不必要条件是q 即为 q p且p q a c 4 设集合a b 则 a b 是 a b a 成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析由a b 得a b a 反过来 由a b a 且 a b b 得a b 因此 a b 是 a b a 成立的充要条件 故选c 5 2017 天津卷 设x r 则 2 x 0 是 x 1 1的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析由 x 1 1 得0 x 2 0 x 2 x 2 x 2 0 x 2 故 2 x 0 是 x 1 1 的必要而不充分条件 故选b c b 与四种命题有关的问题的解题策略 1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例 一四种命题及其相互关系 3 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 例1 1 2018 山东邹平双语学校月考 已知命题p 若x 3 则x2 2x 8 0 则下列叙述正确的是 a 命题p的逆命题是 若x2 2x 8 0 则x 3 b 命题p的否命题是 若x 3 则x2 2x 8 0 c 命题p的否命题是 若x 3 则x2 2x 8 0 d 命题p的逆否命题是真命题 2 命题 若x2 y2 0 x y r 则x y 0 的逆否命题是 a 若x y 0 x y r 则x2 y2 0b 若x y 0 x y r 则x2 y2 0c 若x 0且y 0 x y r 则x2 y2 0d 若x 0或y 0 x y r 则x2 y2 0 d d 3 下列命题为真命题的是 a 命题 若x 1 则x2 1 的否命题b 命题 若x y 则x y 的逆命题c 命题 若x 1 则x2 x 2 0 的否命题d 命题 若x2 1 则x 1 的逆否命题 b 4 已知命题 若函数f x ex mx在 0 上是增函数 则m 1 则下列结论正确的是 a 否命题是 若函数f x ex mx在 0 上是减函数 则m 1 是真命题b 逆命题是 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上是增函数 是假命题c 逆否命题是 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上是减函数 是真命题d 逆否命题是 若m 1 则函数f x ex mx在 0 上不是增函数 是真命题 d 解析 1 命题p 若x0的逆命题为 若x2 2x 8 0 则x0的否命题为 若x 3 则x2 2x 8 0 b c项错误 命题p 若x0是真命题 则命题p的逆否命题是真命题 故选d 2 将原命题的条件和结论否定 并互换位置即可 由x y 0知x 0且y 0 其否定是x 0或y 0 3 对于a项 否命题为 若x 1 则x2 1 易知当x 2时 x2 4 1 故a项为假命题 对于b项 逆命题为 若x y 则x y 分析可知b项为真命题 对于c项 否命题为 若x 1 则x2 x 2 0 易知当x 2时 x2 x 2 0 故c项为假命题 对于d项 逆否命题为 若x 1 则x2 1 易知当x 2时 x2 4 1 故d项为假命题 4 因为f x ex mx在 0 上是增函数 则f x ex m 0恒成立 所以m 1 所以命题 若函数f x ex mx在 0 上是增函数 则m 1 是真命题 所以其逆否命题是真命题 二充分 必要条件的判断 充分 必要条件的三种判断方法 1 定义法 根据p q q p进行判断 2 集合法 根据p q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 这个方法特别适合以否定形式给出的问题 常用的是逆否等价法 q是 p的充分不必要条件 p是q的充分不必要条件 q是 p的必要不充分条件 p是q的必要不充分条件 q是 p的充要条件 p是q的充要条件 例2 1 2017 浙江卷 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 则 d 0 是 s4 s6 2s5 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 2 2017 北京卷 设m n为非零向量 则 存在负数 使得m n 是 m n 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 c a 解析 1 因为 an 为等差数列 s4 s6 4a1 6d 6a1 15d 10a1 21d 2s5 10a1 20d s4 s6 2s5 d 所以d 0 s4 s6 2s5 故选c 2 对于非零向量m n 若存在负数 使得m n 则m n互为相反向量 则m n 0 满足充分性 而m n 0包含向量m n互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况 故由m n 0推不出m n互为相反向量 所以不满足必要性 所以 存在负数 使得m n 是 m n 0 的充分而不必要条件 故选a 三充分条件 必要条件的应用 充分条件 必要条件的应用的注意点充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不等式组 求解 2 区间端点值的检验 例3 1 已知条件p x 4 6 条件q x 1 2 m2 0 m 0 若p是q的充分不必要条件 则m的取值范围是 a 21 b 9 c 19 d 0 2 已知p x x2 8x 20 0 非空集合s x 1 m x 1 m 若x p是x s的必要条件 则m的取值范围为 b 0 3 1 直线y x b与圆x2 y2 1相交 是 0 b 1 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 b c 必要不充分 4 已知 x t 2 3 t 1 是 x2 3x 43 x t x x t x t 3 0 x xt 3 q x x2 3x 4 0 x x 4 x 1 0 x 4 x 1 p是q成立的必要不充分条件 即等价于q p 所以t 3 4或t 1 解得t 7或t 1 所以t的取值范围为 7 1 7