高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件 理.ppt

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 总纲目录 教材研读 1 平面向量的数量积 考点突破 2 向量的数量积的性质 3 向量的数量积的运算律 考点二平面向量数量积的应用 考点一平面向量数量积的运算 4 平面向量的数量积的坐标表示 考点三平面向量与三角函数的综合问题 教材研读 1 平面向量的数量积 1 向量a与b的夹角已知两个非零向量a b 过o点作 a b 则 aob 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作a b a b cos 3 规定0 a 0 4 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 一个向量在另一个向量方向上的投影是一个实数 而不是向量 5 a b的几何意义a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 cos 5 a b a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b r 3 a b c a c b c 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若a x1 y1 b x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 a b为非零向量 则a b x1x2 y1y2 0 1 2017北京东城一模 5 已知向量a b满足2a b 0 a b 2 则 3a b a b a 1b 3c 4d 5 b 答案b 2a b 0 a与b的夹角为 且 b 2 a 又 a b 2 a b cos 2 a 1 b 2 故 3a b a b 3 a 2 2a b b 2 3 1 2 2 4 3 2 已知向量a与向量b的夹角为60 a b 1 则 a b a 3b c 2 d 1 d 答案d a b 2 a2 2a b b2 2 2 1 1 cos60 1 a b 1 故选d 3 2017北京 6 5分 设m n为非零向量 则 存在负数 使得m n 是 m n 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 a 答案a由存在负数 使得m n 可得m n共线且反向 夹角为180 则m n m n 0 故充分性成立 由m n 0 可得m n的夹角为钝角或180 故必要性不成立 故选a 4 已知等边 abc的边长为3 d是bc边上一点 若bd 1 则 的值是6 答案6 解析由题意知 9 3 2 cos 6 5 在平面向量a b中 已知a 1 3 b 2 y 如果a b 5 那么y 1 如果 a b a b 那么y 答案1 解析因为a b 1 2 3y 5 所以y 1 因为 a b a b 所以 a b 2 a b 2 即2a b 2a b 所以a b 0 即1 2 3y 0 所以y 6 2017北京海淀期中 已知正方形abcd的边长为1 e是线段cd的中点 则 答案 解析由题意可得 0 ad ab 1 1 0 考点一平面向量数量积的运算 考点突破 典例1 1 2017北京石景山一模 7 如图 在矩形abcd中 ab bc 2 点e为bc的中点 点f在边cd上 若 则 的值是 a 2 b 1c d 2 2 2017北京海淀二模 13 在四边形abcd中 ab 2 若 则 2 c 答案 1 c 2 2 解析 1 解法一 以a为原点 ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则a 0 0 b 0 e 1 设f x 2 则 x 2 又 0 x x 1 f 1 2 易知 1 1 2 1 2 解法二 cos baf cos baf 1 即 1 1 1 1 1 2 1 2 由题意可知 2 2 方法技巧向量数量积的两种计算方法 1 当已知向量的模和夹角 时 可利用定义法求解 即a b a b cos 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 1 1 2018北京朝阳高三期中 6 如图 在直角梯形abcd中 ab cd ad dc e是cd的中点 dc 1 ab 2 则 a b c 1d 1 答案d ab cd ad dc ad ab 0 2 1 故选d d 典例2平面向量a与b的夹角是 且 a 1 b 2 如果 a b a 3b d是bc的中点 那么 a b 2c 3d 6 考点二平面向量数量积的应用命题方向一模的问题 a 答案a 解析因为d为bc的中点 所以 又因为 a b a 3b 所以 a b 所以 2 a b 2 a2 b2 2a b 12 22 2 1 2 cos 5 2 3 因此 故选a 典例3已知非零向量m n满足4 m 3 n cos 若n tm n 则实数t的值为 a 4b 4c d 命题方向二垂直问题 b 答案b 解析 n tm n n tm n 0 即tm n n 2 0 t m n cos n 2 0 又4 m 3 n cos t n 2 n 2 0 n为非零向量 t 1 0 解得t 4 典例4 1 2017北京海淀一模 12 若非零向量a b满足a a b 0 2 a b 则向量a b的夹角为 2 已知向量a b满足 a 2b a b 6 且 a 1 b 2 则a与b的夹角为 命题方向三夹角问题 答案 1 2 解析 1 设a与b的夹角为 因为a a b 0 所以a a a b 0 a a a b cos 0 又因为2 a b 0 所以 a a 2 a a cos 0 所以1 2cos 0 所以cos 从而 2 由 a 2b a b 6 得a2 2b2 a b 6 又 a 1 b 2 a b 1 设向量a与b的夹角为 则cos 又0 故 方法技巧平面向量数量积的应用类型及求解策略 1 求两向量的夹角 cos 要注意 0 2 两向量垂直的应用 a b a b 0 a b a b 3 求向量的模 利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2 a a a 2或 a a b 若a x y 则 a 2 1 2014北京 10 5分 已知向量a b满足 a 1 b 2 1 且 a b 0 r 则 答案 解析 a b 0 即 a b a b a 1 b 2 2已知平面向量a b满足a 1 1 a b a b 那么 b 答案 解析 a b a b a b a b 0 即a2 b2 0 a b 又 a 1 1 b a 典例5已知平面向量a sinx cosx b sinx cosx c cosx sinx x r 函数f x a b c 1 求函数f x 的单调递减区间 2 若f 求sin 的值 考点三平面向量与三角函数的综合问题 解析 1 因为b sinx cosx c cosx sinx 所以b c sinx cosx sinx cosx 又a sinx cosx 所以f x a b c sinx sinx cosx cosx sinx cosx 则f x sin2x 2sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin 当2k 2x 2k k z 即k x k k z时 函数f x 为减函数 所以函数f x 的单调递减区间是 k z 2 由 1 知f x sin 因为f 所以sin 所以sin 又sin2 cos2 1 所以cos 又sin sin sincos cossin 所以当cos 时 sin 当cos 时 sin 综上 sin 的值为或 方法技巧求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路 1 求三角函数值 一般利用向量的相关运算得出三角函数关系式 利用同角三角函数的基本关系及三角函数中的常用公式求解 2 求角时通常将向量问题转化为三角函数问题 先求三角函数值再求角 3 解决与向量有关的三角函数问题所用的主要思想方法是转化与化归的数学思想 即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题 3 1已知 abc的角a b c所对的边分别是a b c 设向量m a b n sinb sina p b 2 a 2 1 若m n 求证 abc为等腰三角形 2 若m p 边长c 2 角c 求 abc的面积 解析 1 证明 m n asina bsinb 即