创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第5讲 导数与不等式的证明、恒成立及能成立问题课件 文.ppt

第5讲导数与不等式的证明 恒成立及能成立问题 高考定位在高考压轴题中 函数与不等式的交汇是考查热点 常以含指数 对数函数为载体考查不等式的证明 比较大小 范围等问题 以及不等式的恒成立与能成立问题 真题感悟 2016 全国 卷 已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 考点整合 1 利用导数解决不等式恒成立问题的 两种 常用方法 1 分离参数法 将原不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的最值 根据要求得所求范围 一般地 f x a恒成立 只需f x min a即可 f x a恒成立 只需f x max a即可 2 函数思想法 将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的极值 最值 然后构建不等式求解 2 常见构造辅助函数的四种方法 1 移项法 证明不等式f x g x f x g x 的问题转化为证明f x g x 0 f x g x 0 进而构造辅助函数h x f x g x 2 构造 形似 函数 对原不等式同解变形 如移项 通分 取对数 把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构 根据 相同结构 构造辅助函数 3 放缩法 若所构造函数最值不易求解 可将所证明不等式进行放缩 再重新构造函数 4 主元法 对于 或可化为 f x1 x2 a的不等式 可选x1 或x2 为主元 构造函数f x x2 或f x x1 3 不等式的恒成立与能成立问题 1 f x g x 对一切x a b 恒成立 a b 是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x a b 2 f x g x 对x a b 能成立 a b 与f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x a b 3 对 x1 x2 a b 使得f x1 g x2 f x max g x min 4 对 x1 a b x2 a b 使得f x1 g x2 f x min g x min 热点一导数与不等式 微题型1 利用导数证明不等式 探究提高 1 证明f x g x 或f x g x 可通过构造函数h x f x g x 将上述不等式转化为求证h x 0或h x 0 从而利用求h x 的最小值或最大值来证明不等式 或者 利用f x min g x max或f x max g x min来证明不等式 2 在证明不等式时 如果不等式较为复杂 则可以通过不等式的放缩把原不等式变换为简单的不等式 再进行证明 微题型2 不等式恒成立求参数范围问题 探究提高对于不等式恒成立问题求参数范围问题 一类是分离参数 通过求具体函数的范围求参数范围 二类是转化为最值 其基本思路是 先找到准确范围 再说明 此范围之外 不适合题意 着眼于 恒 字 寻找反例即可 训练1 已知函数g x axlnx 1 f x g x kx 其中a 0 1 当a 1时 求曲线y g x 在点p e g e 处的切线方程 2 当k 1时 对任意的x 1 f x 0恒成立 求实数a的取值范围 热点二不等式恒成立与能成立问题 微题型1 恒成立问题 探究提高 1 恒成立问题一般与不等式有关 解决此类问题需要构造函数利用函数单调性求函数最值 从而说明函数值大于或恒小于某一确定的值 2 在求参数范围时首先要考虑参数能否分离出来 微题型2 能成立问题 探究提高存在性问题和恒成立问题的区别与联系存在性问题和恒成立问题容易混淆 它们既有区别又有联系 若g x m恒成立 则g x max m 若g x m恒成立 则g x min m 若g x m有解 则g x min m 若g x m有解 则g x max m 训练2 已知函数f x lnx x2 ax a为常数 1 若x 1是函数f x 的一个极值点 求a的值 2 当0 a 2时 试判断f x 的单调性 3 若对任意的a 1 2 x0 1 2 不等式f x0 mlna恒成立 求实数m的取值范围 1 不等式恒成立 能成立问题常用解法有 1 分离参数后转化为最值 不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下 采用分离参数转化为函数的最值问题 形如a f x max或a f x min 2 直接转化为函数的最值问题 在参数难于分离的情况下 直接转化为含参函数的最值问题 伴有对参数的分类讨论 3 数形结合 2 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 利用导数研究h x 的单调性或最值 4 根据单调