九年级数学一元二次方程总复习资料.doc

九年级数学一元二次方程总复习资料一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：方程的两边都是关于未知数的整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2。这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。例如：都是一元二次方程。而不是一元二次方程，原因是是分式。2.任何关于x的一元二次方程的都可整理成的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中叫二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。注意b、c可以是任何实数，但a绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b、c均可以为零。如方程都是一元二次方程。3一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。如x=1时，成立，故x=1叫的解。4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。（1）直接开平方法：方程的解为，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。如，可化成，所以（2）因式分解法：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零。这样通过降次将一元二次方程转化为一元一次方程。使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式，如解时，两边不能约去x-1,解得，这样就丢掉了x=1这个解，正确的做法是先移项，右边化为为零，正确解法如下，移项得： ，即，那么x-1=0或3x-1=0,从而得到x-1或（3）配方法：我们先解方程，在方程两边同除以2得，移项得，方程左边配方得，即，利用直接开平方法得。通过这个例子我们发现配方法是通过配方将一元二次方程化成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以为依据。其基本步骤是：首先在方程两边同除以二次项系数a,b把二次项系数化为1把常数项移到等式的右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；利用直接开平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为一时，一定要化为一，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）公式法：利用公式可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为的形式，当时，方程的解为，当0, 不论k为何值,方程总有两不相等实数根. (2) 23.24 提示：,.长6米，宽4米四、18K=3;19. 宽6米;20.10升一元二次方程全章检测卷一、选择题：(每小题2分,共20分)1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x2=8 (a3) B.ax2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D.2.用配方法将二次三项式变形的结果是( )A. B. C. D. 3.若关于x的方程ax2+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b等于( )A.-1或2 B.1或 C.- 或1 D.-2或14.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )A.k- B.k- 且k0 C.k- D.k 且k05. 方程的解是 A、 2，2 B、 0，2 C、 0，2 D、 0，2，2 6.关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是( )A.k-1 B.k0 C.-1k0 D.-1k-4,k0,-1k0.本题易忽略有两实根, 需满足0这个重要条件.7.c8.A 9. D;10.B;11.D;12.A二、13-3；14.m=-6,另一根为3+. 点拨:根据一元二次方程根与系数的关系, 设方程另一个根为x1 ,则(3-)x1=7,x1=3+,(3+)+(3-)=-m,则m=-6；15.a=1,b=-2. 点拨:-1是两方程的根,则3a+b-1=0,a-2b-5=0,解得a=1,b=-2；16.a+b+c=0,b=a+c,c=0；17.3 点拨:设两根为x1,x2,根据根与系数的关系x1+x2=4, x1x2=，由勾股定理斜边长的平方=(x1+x2)2-2x1x2=16-2=9,斜边长为3；18.元 点拨:设原价x元,则x(1+10%)2=a,解得x=；19.x2+7x+12=0或x2-7x+12=0 点拨:设两数为a,b,则ab=12,a2+b2=25,( a+b)2-2ab=25,(a+b)2=49,(a+b)=7,所以以a,b为根的方程为x2+7x+12= 0 或x2-7x+12=0；20.a+1 点拨:方程有实根,则0,则k, 即-k-,1-k1- ,2(1-k)1,a+=2(1-k),a+1；21.7或-3;22. _;23. 24或三、1、 2、 3、 4、 四、1.a=1,b=1,另一个根分别是-2，-5 2.k=-3,y2-20y-21=0 解:(1)由题意得x1+x2=k+2, x1x2=2k+1, x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2=k2+2,又x12+x22=11, k2+2=11,k=3,当k=3时,=-30,原方程有实数解,故k=-3.(2)当k=-3时, 原方程为x2+x-5=0,设所求方程为y2+py+q=0,两根为y1,y2,则y1=x1+x2=-1,y2=(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=11+10=21, y1+y2=20,y1y2=-21,故所求方程是y2-20y-21=0. 点拨:要求k的值,须利用根与系数的关系及条件x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2,构造关于k的方程,同时,要注意所求出的k值,应使方程有两个实数根,即先求后检. (2)构造方程时,要利用p=-(y1+y2),q=y1y2,则以y1,y2为根的一元二次方程为y2+py+q=0.3.(1)证明:方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实根,=0,即=(2)2-4(2c-a)=0,解得a+b=2c,方程3cx+2b=2a的根为0,则2b=2a,a=b,2a=2c,a=c, a=b=c,故ABC为等边三角形. (2)解:a、b相等,x2+mx-3m=0有两个相等的实根,=0,=m2+413m=0,即m1=0,m2=-12.a