大规模屈服条件下CTOD公式的推导.doc

附录4 大规模屈服条件下CTOD公式的推导A4.1 帕里斯(Paris)位移公式如图A4-1所示的含裂纹板，假定板的厚度为单位1, 受力P作用，现在要求裂纹面上下两点D1、D2沿其联线方向的相对位移. 根据卡斯提杨诺定理(见1.11.3此节无，是不是改为1.4.7 ？节)，外力作用点沿作用力方向的位移等于应变能对外力的偏导数，故A点沿P方向的位移为. (A4-1)图A4-1 虚力对和相对位移A如在A点作用着一对大小相等方向相反和偶力，则上式就表示A点沿P方向的相对位移. 为了求D1、D2点之间的相对位移，可以设想沿D1、D2联线方向引入一对虚力F. 这时系统应变能U就不仅和P、a有关，也和F有关. 即.虚力对引起的相对位移为 . (A4-2)按上式先求出偏导数(它和F有关)，再让虚力F趋于零，这样就可获得没有虚力，仅是力P在D1、D2间的相对位移. 由(3-73)式，在恒载荷条件下，有，积分得, (A4-3)其中是无裂纹体()的应变能. 用KIP、KIF分别代表力P和力F所提供的应力强度因子. 则总的应力强度因子是二者之和，即KI=KIP+KIF由(3-91)式知，由(1-100)式, .把代入(A4-3)式，再代入(A4-2)式，得 .因为， 故在F0的极限过程中KIF=0. 上式变为 . (A4-4)这就是帕里斯(Paries,1961)位移公式. 其中第一项是无裂纹时, D1、D2点在力P作用下沿其联线方向的相对位移. 如D1、D2点是裂纹面上下表面的对应点，无裂纹时，D1、D2点重合，没有相对位移，即，这时 (A4-5)应当指出，在应用这个位移公式时，力P以及D1、D2点的位置是不变的. 裂纹长度（或面积）是变量，积分过程就相当于裂纹长度不断增大的过程. 5.7.3 无限远处均匀应力产生的张开位移如图A4-2，无限大板中心贯穿裂纹，长2c，在无限远处作用着均匀的拉应力s. 求距离裂纹中心为处的裂纹张开位移(即D1、D2点相对位移1). 为此在D1、D2处各引入一对虚力F，根据第三章(3-45)式知，该对称的虚力对引起的应力强度因子为. (A4-6)如以2代表裂纹在增大时的瞬间长度，则用代替c，就得 . (A4-7)图A4-2 中心贯穿裂纹，受均匀拉应力由(2-31)式,无限远处均匀应力在裂纹前端产生的应力场强度因子为， 对长为2的瞬时裂纹，. (A4-8)由(A4-5)式因为当裂纹瞬时长度x. 这时当b时，外力对-P不作用在裂纹面上，互相抵消，KIP=0，故积分下限应为b. 即.由于x时KIF没有贡献，xb时KIP没有贡献，故, 即=0.把它加在上式，就得.这就表明，在作用力左边或右边，裂纹面上下的张开位移都可用(A4-12)式来表示. 图A4-3 中心贯穿裂纹受集中力作用5.7.5 分布力引起的张开位移如图A4-4，在(-c, -a)以及(a, c)区间内作用着分布应力. 按(A4-11), 分布压力对引起的应力场强度因子为 . (A4-13)图A4-4 受分布力作用的中心贯穿裂纹当裂纹扩展到c时，在(, c)区间内的分布压力对由于并不作用在裂纹面上，互相抵消，对KIP没有贡献，故上式在(, c)区间内的积分为零，即积分上限为. . (A4-14)把(A4-14)式，(A4-8)式代入(A4-9)式，就得分布力引起的位移为 =. (A4-15)5.7.6 D-M模型的裂纹顶端张开位移如图5-8所示的D-M模型，求裂纹顶端(即a处)的张开位移. 在x=a的D1、D2点引入虚力对F，就可用前面的方法求出D1、D2点的相对位移（即裂纹顶端张开位移）. 它由两部分构成，一是无限远处均匀应力在x=a处产生的张开位移1，二是(-c, -a), (a, c)之间的分布应力在x=a处产生的位移. 即. (A4-16)由(A4-10)式给出，但x要用a代替，即. (A4-17)由(A4-15)式给出，但x用a代替，用代替，即 = (第二项分部积分) . (A4-18)由第五章(5-36)式知，对D-M模型，, . 又. 把它们