福建省厦大附中2014-2015学年高二数学上学期第一次月考试卷(实验班)(含解析)

文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 1 福建省厦大附中福建省厦大附中 2014 2012014 2015 5 学年高二上学期第一次月考数学试卷学年高二上学期第一次月考数学试卷 实验班 实验班 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 5 分 某中学有 2014 2015 学年高一学生 400 人 2014 2015 学年高二学生 300 人 2015 届高三学生 500 人 现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取 120 人进行体能测试 则从 2015 届高三抽取的人数应为 A 40B 48C 50D 80 2 5 分 已知 f x xln x 若 f x0 2 则 x0等于 A e2B eC D ln 2 3 5 分 10 名工人某天生产同一零件 生产的件数是 15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 设其平均数为 a 中位数为 b 众数为 c 则 有 A a b cB b c aC c a bD c b a 4 5 分 集合 A 2 3 B 1 2 3 从 A B 中各取任意一个数 则这两数之和等于 4 的概率是 A B C D 5 5 分 函数 y x2 lnx 的单调递减区间为 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 6 5 分 某程序框图如图所示 若该程序运行后输出的值是 则 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 2 A a 6B a 5C a 4D a 7 7 5 分 等比数列 an 中 a1 2 a8 4 f x x x a1 x a2 x a8 f x 为函数 f x 的导函数 则 f 0 A 0B 26C 29D 212 8 5 分 在面积为 S 的 ABC 的边 AB 上任取一点 P 则 PBC 的面积大于 的概率是 A B C D 9 5 分 已知函数 y f x 的图象是下列四个图象之一 且其导函数 y f x 的图象 如图所示 则该函数的图象是 A B C D 10 5 分 函数 f x x3 3x 在区间 a2 12 a 上有最小值 则实数 a 的取值 范围 是 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 4 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 3 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2020 分分 把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 11 4 分 如图是 CBA 篮球联赛中 甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图 则平 均得分高的运动员是 12 4 分 在区间 2 4 上随机地取一个数 x 若 x 满足 x m 的概率为 则 m 13 4 分 将某班的 60 名学生编号为 01 02 60 采用系统抽样方法抽取一个容 量为 5 的样本 且随机抽得的一个号码为 04 则剩下的四个号码依次是 14 4 分 曲线 y x3 3x2 6x 1 的切线中 斜率最小的切线方程为 15 4 分 对于三次函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 给出定义 设 f x 是函数 y f x 的导数 f x 是函数 f x 的导数 若方程 f x 0 有实数解 x0 则 称点 x0 f x0 为函数 y f x 的 拐点 某同学经过探究发现 任何一个三次函数 都有 拐点 任何一个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 给定函数 f x x3 x2 3x 请你根据上面探究结果 计算 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 16 分 求下列函数的导数 1 y ex ln x 2 y x x2 3 y x sin cos 4 y 1 1 17 12 分 现有 6 道题 其中 4 道甲类题 2 道乙类题 张同学从中任取 2 道题解答 请 列出基本事件结果 试求 1 所取的 2 道题都是甲类题的概率 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 4 2 所取的 2 道题不是同一类题的概率 18 12 分 根据空气质量指数 API 为整数 的不同 可将空气质量分级如下表 API0 5051 100101 150151 200201 2050 251 300 300 级别 状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污 染 对某城市一年 365 天 的空气质量进行监测 获得的 API 数据按照区间 0 50 50 100 100 150 150 200 求直方图中 x 的值 2 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 3 求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率 结果用分数表示 已知 57 78125 27 128 365 73 5 19 12 分 某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件 并且在生产过程中产品的正品率 P 与每日和生产产品件数 x x N 间的关系为 P 每生产一件正品盈利 4000 元 每出现一件次品亏损 2000 元 注 正品率 产品的正品件数 产品总件数 100 将日利润 y 元 表示成日产量 x 件 的函数 求该厂的日产量为多少件时 日利润最大 并求出日利润的最大值 20 14 分 已知 P x y 为函数 y 1 lnx 图象上一点 O 为坐标原点 记直线 OP 的斜 率 k f x 若函数 f x 在区间 a a a 0 上存在极值 求实数 a 的取值范围 如果对任意的 x1 x2 e2 有 f x1 f x2 m 求实数 m 的取值范围 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 5 21 14 分 已知函数 f x ln ax 1 1 x 0 a 0 若 f x 在 x 2 处取得极值 求 a 的值 求 f x 的单调区间 若 a 1 且 b 0 函数 g x bx3 bx 若对于 x1 0 1 总存在 x2 0 1 使得 f x1 g x2 求实数 b 的取值范围 福建省厦大附中福建省厦大附中 2014 20152014 2015 学年高二上学期第一次月考数学试卷 实验班 学年高二上学期第一次月考数学试卷 实验班 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 5 分 某中学有 2014 2015 学年高一学生 400 人 2014 2015 学年高二学生 300 人 2015 届高三学生 500 人 现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取 120 人进行体能测试 则从 2015 届高三抽取的人数应为 A 40B 48C 50D 80 考点 分层抽样方法 专题 计算题 分析 先求出各年级学生数的比例 再根据比例确定 2015 届高三年级应抽取的学生数 解答 解 各年级学生数的比例为 400 300 500 4 3 5 则从 2015 届高三抽取的人数应为 50 人 故选 C 点评 本题考查基本的分层抽样 本题考查分层抽样的定义和方法 用样本容量除以每 个个体被抽到的概率等于个体的总数 属基本题 2 5 分 已知 f x xln x 若 f x0 2 则 x0等于 A e2B eC D ln 2 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 先对函数进行求导 然后根据 f x0 2 建立等式关系 解之即可求得答 案 解答 解 f x xln x x 0 f x lnx 1 f x0 2 f x0 lnx0 1 2 解得 x0 e x0的值等于 e 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 6 故选 B 点评 本题主要考查了导数的运算 以及函数求值和对数方程的求解 同时考查了运算 求解的能力 注意函数的定义域 属于基础题 3 5 分 10 名工人某天生产同一零件 生产的件数是 15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 设其平均数为 a 中位数为 b 众数为 c 则 有 A a b cB b c aC c a bD c b a 考点 众数 中位数 平均数 专题 概率与统计 分析 先由已知条件分别求出平均数 a 中位数 b 众数 c 由此能求出结果 解答 解 由已知得 a 15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 14 7 b 15 c 17 c b a 故选 D 点评 本题考查平均数为 中位数 众数的求法 是基础题 解题时要认真审题 4 5 分 集合 A 2 3 B 1 2 3 从 A B 中各取任意一个数 则这两数之和等于 4 的概率是 A B C D 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 由分步计数原理可得总的方法种数为 2 3 6 由列举法可得符合条件的有 2 种 由古典概型的概率公式可得答案 解答 解 从 A B 中各取任意一个数共有 2 3 6 种分法 而两数之和为 4 的有 2 2 3 1 两种方法 故所求的概率为 故选 C 点评 本题考查古典概型及其概率公式 属基础题 5 5 分 函数 y x2 lnx 的单调递减区间为 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 7 分析 由 y x2 lnx 得 y 由 y 0 即可求得函数 y x2 lnx 的单调递减 区间 解答 解 y x2 lnx 的定义域为 0 y 由 y 0 得 0 x 1 函数 y x2 lnx 的单调递减区间为 0 1 故选 B 点评 本题考查利用导数研究函数的单调性 注重标根法的考查与应用 属于基础题 6 5 分 某程序框图如图所示 若该程序运行后输出的值是 则 A a 6B a 5C a 4D a 7 考点 程序框图 专题 算法和程序框图 分析 执行程序框图 写出每次循环得到的 k S 的值 当有 S k 5 时 应该满足条 件 k a 退出循环输出 S 的值为 故 a 的值应为 4 解答 解 执行程序框图 有 S 1 k 1 不满足条件 k a 有 S 1 k 2 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 8 不满足条件 k a 有 S 1 k 3 不满足条件 k a 有 S 1 k 4 不满足条件 k a 有 S 1 k 5 此时 应该满足条件 k a 退出循环输出 S 的值为 故 a 的值应为 4 故选 C 点评 本题主要考察了程序框图和算法 属于基本知识的考查 7 5 分 等比数列 an 中 a1 2 a8 4 f x x x a1 x a2 x a8 f x 为函数 f x 的导函数 则 f 0 A 0B 26C 29D 212 考点 等比数列的通项公式 导数的乘法与除法法则 专题 计算题 分析 对函数进行求导发现 f 0 中 含有 x 的项的值均为 0 而常数项为 a1a2a3 a8 由此求得 f 0 的值 解答 解 考虑到求导中 f 0 常数项为 a1a2a3 a8 再由含有 x 项均取0 可得 f 0 a1a2a3 a8 a1a8 4 212 故选 D 点评 本题考查多项式函数的导数公式 重点考查学生创新意识 综合与灵活地应用所 学的数学知识 思想和方法 属于基础题 8 5 分 在面积为 S 的 ABC 的边 AB 上任取一点 P 则 PBC 的面积大于 的概率是 A B C D 考点 几何概型 专题 计算题 分析 首先分析题目求 PBC 的面积大于 的概率 可借助于画图求解的方法 然后根 据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是线段的长度 再根据几何关系求解出它 们的比例即可 解答 解 记事件 A PBC 的面积大于 基本事件空间是线段 AB 的长度 如图 因为 则有 化简记得到 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 9 因为 PE 平行 AD 则由三角形的相似性 所以 事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度 因为 AP 所以 PBC 的面积大于 的概率 故选 C 点评 本小题主要考查几何概型 几何概型的应用 三角形的面积等基础知识 考查化 归与转化思想 属于基础题 一般地 在几何区域 D 中随机地取一点 记事件 该点落在 其内部一个区域 d 内 为事件 A 则事件 A 发生的概率为 P A 9 5 分 已知函数 y f x 的图象是下列四个图象之一 且其导函数 y f x 的图象 如图所示 则该函数的图象是 A B C D 考点 函数的图象 专题 函数的性质及应用 分析 根据导数的图象 利用函数的单调性和导数的关系 得出所选的选项 解答 解 由导数的图象可得 导函数 f x 的值在 1 0 上的逐渐增大 故函数 f x 在 1 0 上增长速度逐渐变大 故函数 f x 的图象是下凹型的 导函数 f x 的值在 0 1 上的逐渐减小 故函数 f x 在 0 1 上增长速度逐渐变小 图象是上凸型的 故选 B 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 10 点评 本题主要考查函数的单调性和导数的关系 属于基础题 10 5 分 函数 f x x3 3x 在区间 a2 12 a 上有最小值 则实数 a 的取值范围 是 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 4 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 函数的性质及应用 分析 求函数 f x x3 3x 的导数 研究其最小值取到的位置 由于函数在区间 a2 12 a 上有最小值 故最小值点的横坐标是集合 a2 12 a 的元素 由此可以 得到关于参数 a 的等式 解之求得实数 a 的取值范围 解答 解 解 由题 f x 3 3x2 令 f x 0 解得 1 x 1 令 f x 0 解得 x 1 或 x 1 由此得函数在 1 上是减函数 在 1 1 上是增函数 在 1 上是减 函数 f 0 0 函数 f x x3 3x 在 R 上的图象大体如下 故函数在 x 1 处取到极小值 2 判断知此极小值必是区间 a2 12 a 上的最小值 a2 12 1 a 解得 1 a 又当 x 2 时 f 2 2 故有 a 2 综上知 a 1 2 故选 C 点评 本题考查用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工 具的一个重要运用 要注意把握其作题步骤 求导 确定单调性 得出最值 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2020 分分 把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 11 4 分 如图是 CBA 篮球联赛中 甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图 则平 均得分高的运动员是甲 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 11 考点 茎叶图 专题 图表型 分析 本题考查的知识点是茎叶图 根据茎叶图我们可得甲的得分数据和乙的得分数据 然后分别代入平均数计算公式 易计算出甲乙两名运动员的平均得到 比较平均数后即可 得到答案 解答 解 从茎叶图上可得 甲得分 8 10 15 16 22 23 25 26 27 32 平均值为 20 4 乙得分 8 12 14 17 18 19 21 27 28 29 平均值为 19 3 平均得分高的运动员是甲 故答案为 甲 点评 根据新 2015 届高考服务于新教材的原则 作为新教材的新增内容 茎叶 图 是新 2015 届高考的重要考点 希望大家熟练掌握 12 4 分 在区间 2 4 上随机地取一个数 x 若 x 满足 x m 的概率为 则 m 3 考点 几何概型 专题 概率与统计 分析 画出数轴 利用 x 满足 x m 的概率为 直接求出 m的值即可 解答 解 如图区间长度是 6 区间 2 4 上随机地取一个数 x 若 x 满足 x m 的 概率为 所以 m 3 故答案为 3 点评 本题考查几何概型的求解 画出数轴是解题的关键 13 4 分 将某班的 60 名学生编号为 01 02 60 采用系统抽样方法抽取一个容 量为 5 的样本 且随机抽得的一个号码为 04 则剩下的四个号码依次是 16 28 40 52 考点 系统抽样方法 专题 计算题 分析 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则 构造一个等差数列 将四个学 生的号码从小到大成等差数列 建立等式关系 解之即可 解答 解 用系统抽样抽出的 5 个学生的号码从小到大成等差数列 随机抽得的一个号码为 04 则剩下的四个号码依次是 16 28 40 52 故答案为 16 28 40 52 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 12 点评 系统抽样过程中 每个个体被抽取的可能性是相等的 系统抽样的原则是等距 抓住这一原则构造等差数列 是我们常用的方法 14 4 分 曲线 y x3 3x2 6x 1 的切线中 斜率最小的切线方程为 3x y 2 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的斜率 专题 计算题 分析 已知曲线 y x3 3x2 6x 1 对其进行求导 根据斜率与导数的关系进行求解 解答 解 曲线 y x3 3x2 6x 1 y 3x2 6x 6 3 x 1 2 3 3 当 x 1 时 y min 3 此时斜率最小 即 k 3 当 x 1 时 y 5 此切线过点 1 5 切线方程为 y 5 3 x 1 即 3x y 2 0 故答案为 3x y 2 0 点评 此题主要利用导数研究曲线上的某点切线方程 此题是一道基础题 还考查直线 的斜率 15 4 分 对于三次函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 给出定义 设 f x 是函数 y f x 的导数 f x 是函数 f x 的导数 若方程 f x 0 有实数解 x0 则 称点 x0 f x0 为函数 y f x 的 拐点 某同学经过探究发现 任何一个三次函数 都有 拐点 任何一个三次函数都有对称中心 且 拐点 就是对称中心 给定函数 f x x3 x2 3x 请你根据上面探究结果 计算 2013 考点 导数的运算 专题 导数的综合应用 分析 求出原函数的导函数 再求出导函数的导函数 由导函数的导函数等于 0 求出 x 的值 可得 f 1 x f x 2 从而得到 解答 解 由 f x x3 x2 3x 得 f x x2 x 3 f 2x 1 由 2x 1 0 得 f x 的对称中心为 f 1 x f x 2 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 13 2013 故答案为 2013 点评 本题是新定义题 考查了函数导函数零点的求法 解答的关键是函数值满足的规 律 是中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 16 分 求下列函数的导数 1 y ex ln x 2 y x x2 3 y x sin cos 4 y 1 1 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 1 利用导数的四则运算法则 f x g x f x g x f x g x 2 先化简解析式 再利用和的导数运算法则求出值 3 利用三角函数的二倍角公式先化简解析式 再利用和的导数运算法则求出值 4 利用平方差公式化简 再利用和的导数运算法则求出值 解答 解 1 y ex lnx ex lnx 2 y x x2 y 3x2 2x 3 3 y x sin cos x sinx 4 y 1 1 点评 本题考查导数的运算法则 基本初等函数的导数公式 求导数时注意先化简解析 式 属于一道基础题 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 14 17 12 分 现有 6 道题 其中 4 道甲类题 2 道乙类题 张同学从中任取 2 道题解答 请 列出基本事件结果 试求 1 所取的 2 道题都是甲类题的概率 2 所取的 2 道题不是同一类题的概率 考点 相互独立事件的概率乘法公式 互斥事件的概率加法公式 专题 概率与统计 分析 1 将题目进行编号 列举选题德尔所有基本事件 找出所取的两道题都是甲类 题的基本事件 利用古典概型计算即可 2 找出所取的两道题不是同一类题的基本事件 利用古典概型计算结果 解答 解 将 4 道甲类题依次编号为 1 2 3 4 将 2 道乙类题依次编号为 a b 任取 2 道题 基本事件为 1 2 1 3 1 4 1 a 1 b 2 3 2 4 2 a 2 b 3 4 3 a 3 b 4 a 4 b a b 共 15 个 而且这些基本事件出现是等可能的 1 用 A 表示 都是甲类题 这一事件 则 A 包含的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共 6 个 P A 2 用 B 表示 不是同一类题 这一事件 则 B 包含的基本事件有 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 4 a 4 b 共 8 个 P B 点评 本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算 属于基础题 18 12 分 根据空气质量指数 API 为整数 的不同 可将空气质量分级如下表 API0 5051 100101 150151 200201 2050 251 300 300 级别 状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污 染 对某城市一年 365 天 的空气质量进行监测 获得的 API 数据按照区间 0 50 50 100 100 150 150 200 求直方图中 x 的值 2 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 3 求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 15 结果用分数表示 已知 57 78125 27 128 365 73 5 考点 频率分布直方图 专题 概率与统计 分析 1 根据所有矩形的面积和为 1 建立等量关系 解之即可 2 空气质量分别为良和轻微污染 在频率直方图中在第二组和第三组 求出这两组的频 率分别再乘以 365 即可求出所求 3 先求出该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率 然后根据对立事件的概率 和为 1 求出气质量不为良且不为轻微污染的概率 根据概率公式即可求出一周至少有两天 空气质量为良或轻微污染的概率 解答 解 1 由图可知 x 1 50 解得 2 一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数为 3 该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 点评 本题考查频率分布直方图的相关知识 以及概率问题等有关知识 直方图中的各 个矩形的面积代表了频率 所以各个矩形面积之和为 1 对立事件的概率和为 1 属于中档 题 19 12 分 某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件 并且在生产过程中产品的正品率 P 与每日和生产产品件数 x x N 间的关系为 P 每生产一件正品盈利 4000 元 每出现一件次品亏损 2000 元 注 正品率 产品的正品件数 产品总件数 100 将日利润 y 元 表示成日产量 x 件 的函数 求该厂的日产量为多少件时 日利润最大 并求出日利润的最大值 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数的表示方法 专题 应用题 分析 1 根据题中正品率和盈利情况可得到关系式 y 4000 x 2000 1 x 整理后可得到答案 文档来源 弘毅教育园丁网数学第一站 16 2 对 1 中函数进行求导数 令导函数等于 0 求出 x 的值 并求出 y 0 y 0 的 x 的范围 进而可得到答案 解答 解 1 y 4000 x 2000 1 x 3600 x 所求的函数关系是 y 3600 x x N 1 x 40 由上知 y 3600 4x2 令 y 0 解得 x 30 当 1 x 30 时 y 0 当 30 x 40 时 y 0 函数 y x N 1 x 40 在 1 30 上是单调递增函数 在 30 40 上 是单调递减函数 当 x 30 时 函数 y x N 1 x 40 取最大值 最大值为 303 3600 30 72000 元 该厂的日产量为 30 件时 日利润最大 其最大值为 72000 元 点评 本题主要考查根据已知条件列函数关系式 根据导数的正负判断函数的单调性问 题 属基础题 20 14 分 已知 P x y 为函数 y 1 lnx 图象上一点 O 为坐标原点 记直线 OP 的斜 率 k f x 若函数 f x 在区间 a a a 0 上存在极值 求实数 a 的取值范围 如果对任意的 x1 x2 e2 有 f x1 f x2 m 求实数 m 的取值范围 考点 利用导数研究函数的极值 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 导数的综合应用 分析 I 由斜率计算公式可得 f x 再利用函数在区间 a a a 0 上存在极值时与参数的关系即可得出 II 由 I 可知 函数 f x 在 e2 单调递减 不妨设 则 f x1 f x2 m f x2 f x1 m 函数 F x f x 在 e2 单调递减 再利用导数研究其单调性即可 解答 解 I k f x f x 当 0 x 1