【黄冈中考】备战2012年中考数学 动态问题的押轴题解析汇编二 人教新课标版

用心 爱心 专心1 黄冈中考黄冈中考 备战备战 20122012 年中考数学年中考数学 动态问题的押轴题解析动态问题的押轴题解析 汇编二汇编二 动态问题 1 2011 山东聊城 24 12 分 本题共 12 分 如图 在矩形ABCD中 cmAB12 cmBC8 点E F G分别从点A B C三点同时出发 沿矩形的 边按逆时针方向移动 点E G的速度均为 2cm s 点F的速度为 4cm s 当点F追上点 G 即点F与G点重合 时 三个点随之停止移动 设移动开始第 t 秒时 EFG 的面 积为 2 cmS 1 当1 t时 S的值是多少 2 写出S和t之间的函数关系式 并指出自变量t的取值范围 3 若点F在矩形的边BC上移动时 当t为何值时 以点E B F为顶点的三角形 与以F C G为顶点的三角形相似 请说明理由 解题思路 1 根据移动时间和移动速度 可以求得 BE BF FC 和 CG 的长度 计算出梯 形 EBCG 和三角形 BEF 三角形 FCG 的面积 从而求出EFG 的面积为 2 cmS的值 2 由题意知移动时间t的取值范围是0 t 4 当0 t 2时 图形如上图 此时 可以用含有t的代数式表示出 BE BF FC 和 CG 的长度 进而表示EFG 的面积S 当 2 t 4时 图形如下 此时可以用含有t的代数式表示出FG的长度 从而表示出出 EFG 的面积为S的值 G F E D C B A 3 用含有t的代数式表示出 BE BF FC 和 CG 的长度 由于两三角形对应关系的不确定 需要分来两种情况进行讨论 答案 解 1 1 t时 2 AE 4 BF 2 CG 则10212 BE 448 CF F B A C G D 25 题图 用心 爱心 专心2 梯形 EBCG 的面积为488 210 2 1 2 1 BCCGBE BEF 的面积为20410 2 1 2 1 BFBE CFG 的面积为442 2 1 2 1 CGCF 2442048 S 2 当点F在BC时 此时0 t 2 tAE2 tBF4 tCG2 则tBE212 tCF48 梯形 EBCG 的面积为488 2212 2 1 2 1 ttBCCGBE BEF 的面积为ttttBFBE2444 212 2 1 2 1 2 CFG 的面积为ttttCGCF842 48 2 1 2 1 2 48324 84 244 48 222 ttttttS 即48324 2 ttS 0 t 2 当点F在CD时 此时2 t 4 tCG2 84 tCF tttCFCGFG28 84 2 EFG 的面积为3288 28 2 1 2 1 ttBCFG 即328 tS 2 t 4 3 点F在矩形的边BC上移动时 此时0 t 2 若 CG BF FC EB 即 t t t t 2 4 48 212 解得 3 2 t 又 3 2 t满足0 t 2 所以当 3 2 t时 EBF FCG 若 CF BF GC EB 即 t t t t 48 4 2 212 解得 2 3 t 又 2 3 t满足0 t 2 所以当 2 3 t时 EBF GCF 综上可知 当 3 2 t或 2 3 t时 以点E B F为顶点的三角形与以F C G为顶点 的三角形相似 点评 本题是当前的热点问题 动态几何探究综合题 需要综合运用相似等知识以及分 类讨论的数学思想 意在考查学生逻辑推理能力 探究发现能力 灵活利用数学知识解决 问题的能力 用心 爱心 专心3 2 2011 年四川省南充市 21 题 8 分 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AD AB CD 2 C 600 M 是 BC 的中点 1 求证 MDC 是等边三角形 2 将 MDC 绕点 M 旋转 当 MD 即 MD 与 AB 交于一点 E MC 即 MC 同时与 AD 交 于一点 F 时 点 E F 和点 A 构成 AEF 试探究 AEF 的周长是否存在最小值 如果不存在 请说明理由 如果存在 请计算出 AEF 周长的最小值 D C M F E D CB A 解题思路 此题边长给出较多 因而可从边长入手 由图形中的特殊的边角关系 利用 全等变换 等量代换寻求周长的最小值 答案 证明 过点 D 作 DP BC 于点 P 过点 A 作 AQ BC 于点 Q C B 60 CP BQ 1 2 AB CP BQ AB 又 ADPQ 是矩形 AD PQ BC 2AD 由已知 点 M 是 BC 的中点 BM CM AD AB CD 即 MDC 中 CM CD C 60 故 MDC 是等边三角形 2 解 AEF 的周长存在最小值 理由如下 连结 AM 由 1 平行四边形 ABMD 是菱形 MAB MAD 和 MC D 是等边三角形 BMA BME AME 60 EMF AMF AME 60 BME AMF 在 BME 与 AMF 中 BM AM EBM FAM 60 BME AMF ASA BE AF ME MF AE AF AE BE AB EMF DMC 60 故 EMF 是等边三角形 EF MF MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离为3 即 EF 的最小值是3 AEF 的周长 AE AF EF AB EF AEF 周长的最小值为23 点评 等边三角形的判定方法一般有两种 一是三个角都相等的三角形是等边三角形 二是有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 梯形中常用辅助线把梯形问题转化为三 F E D P QM D C A B C 用心 爱心 专心4 角形和平行四边形问题去解决 3 2011 山东潍坊 23 11 分 如图 AB是半圆O的直径 AB 2 射线AM BN为半圆 的切线 在AM上取一点D 连接BD交半圆于点C 连接AC 过O点作BC的垂线OE 垂足为点E 与BN相交于点F 过D点做半圆的切线DP 切点为P 与BN相交于点 Q 1 求证 ABC OFB 2 当 ABD与 BFO的面积相等时 求BQ的长 3 求证 当D在AM上移动时 A点除外 点Q始终是线段BF的中点 解题思路 1 要证 ABC OFB 易证 ACB OBF 90 由 AC BD 和 OF BD 得 AC OF 所以 BAC FOB 利用 两角对应相等 两三角形相似 即可 证得 2 连接 OP 由 DP DA 是切线 可知 DAB OPD 90 由 ABD 与 BFO 的面积相等 且 1 得 ABC OFB 可知 ABC OFB 所以 OA OB 因此 OA OP AD DP 1 从而得证四边形 OADP 是正方形 所以 DP AB 进而确定 BQ AD 1 3 过点 Q 作 AM 的垂线 QK 由 1 ABC OFB 得 BFAB OBAD 而 OB 1 所以 2 BF AD 利用切线长定理易证 AD DP QB QP 再利用勾股定理 确 定 1 BQ AD 进而得证结论 答案 解 1 证明 AB为直径 ACB 90 即AC BC 又 OE BC OE AC BAC FOB BN是半圆的切线 故 BCA OBF 90 ACB OBF 2 由 ACB OBF 得 OFB DBA DAB OBF 90 ABD BFO 用心 爱心 专心5 当 ABD与 BFO的面积相等时 ABD BFO AD BO 1 2 AB 1 DA AB DA 为 O 的切线 连接 OP DP是半圆O的切线 DA DP 1 DA AO OP DP 1 四边形 ADPO 为正方形 DP AB 四边形 DABQ 为矩形 BQ AD 1 3 由 2 知 ABD BFO BFAB OBAD 2 BF AD DPQ是半圆O的切线 AD DP QB QP 过点Q作AM的垂线QK 垂足为K 在Rt DQK中 222 DQQKDK 22 2 2ADBQADBQ 1 BQ AD BF 2BQ Q为BF的中点 点拨 本题考查了相似三角形 切线长定理 勾股定理等知识 综合性较强 在解 题时要注意利用已知条件 构建模型 第三问是动点移动问题 解决时要把动点转化 为静点来分析 难度较大 4 2011 广东省 21 9 分 如图 1 ABC 与 EFD 为等腰直角三角形 AC 与 DE 重 合 AB AC EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 DEF 绕点 A 顺时针旋转 当 DF 边与 AB 边重合时 旋转中止 现不考虑旋转开始和结束时重合的情况 设 DE DF 或它们的延 长线 分别交 BC 或它的延长线 于 G H 点 如图 2 1 问 始终与 AGC 相似的三角形有 HAB 及 HGA 题 21 图 1 B H F A D G C E C E B F A D 题 21 图 2 用心 爱心 专心6 2 设 CG x BH y 求 y 关于 x 的函数关系式 只要求根据图 2 的情形说明理由 3 问 当 x 为何值时 AGH 是等腰三角形 解题思路 第 1 小题可以利用角的关系来证明 也可以考虑先证明 DE BC 还可 以考虑用三角形的中位线来证明 第 2 小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系 来讨论 第 3 小题当 四边形 MEND 与 BDE 的面积相等 相等时可带来DME BEM 可以推证得到 DE BE DM BM 对于本题 还有很重要的一点那就是BME BCA 它的三边之比是 3 4 5 综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题 答案 1 HAB 及 HGA 2 由 AGC HAB 得 AC HB GC AB 即 9 y x 9 故 y 81 x 0 x0 MPQ 的面积为 S 1 点 C 的坐标为 直线 l 的解析式为 2 试求出点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式 并写出相应的 t 的取值范围 3 试求题 2 中当 t 为何值时 S 的值最大 并求出 S 的最大值 4 随着 P Q 两点的运动 当点 M 在线段 CB 上运动时 设 PM 的延长线与直线 l 交于点 N 试探究 当 t 为何值时 QMN 为等腰三角形 请直接写出 t 的值 解题思路 1 A 的坐标为 8 0 B 的坐标为 11 4 由平行四边形的性质可知点 C 的坐标为 3 4 又 O 0 0 所以直线 l 的解析式为x 3 4 y 2 由题意可知随着 P Q 两点的运动 MPQ 的形状也在发生变化 所以我们要分情况讨论 易求出 AB OC 5 OP t AQ 2t OM 3 5 t Q 与 B 重合时 2t 5 t 2 5 M 与 C 重合时 Q 在 AB 上 用心 爱心 专心15 3 5 t 5 t 3 点 Q 与点 M 相遇时 16 2t t t 3 16 Q 在 AB 上时 如图 1 0 t 2 5 M 在 OC 上时 如图 2 2 5 t 3 M Q 两点都在 CB 上时 如图 3 3 t 3 16 3 根据 2 中 S 的三种情况 分别求出 S 的最大值 然后比较 求出最大值 4 由题意可知 NMQ 90 QMN 为直角三角形 要使 QMN 为等腰三角形 只需 MN MQ OP t PN t 3 4 又 PM 4 MN t 3 4 4 CM 4 3 t 3 4 4 Q 的速度是 2 AB BQ 2t BQ 2t 5 MQ BC CM BQ 8 4 3 t 3 4 4 2t 5 16 3t t 3 4 4 16 3t t 13 60 答案 解 1 点 C 的坐标为 3 4 直线 l 的解析式为x 3 4 y 2 根据题意 得 OP t AQ 2t 分三种情况讨论 当 0 t 2 5 时 如图 1 M 点的坐标是 t t 3 4 过点 C 作 CD x 轴于 D 过点 Q 作 QE x 轴于 E 可得 AEQ ODC CD QE OD AE OC AQ 4 QE 3 AE 5 2t AE t 5 6 EQ t 5 8 Q 点的坐标是 8 t 5 6 t 5 8 PE 8 t 5 6 t 8 t 5 1 S PEMP 2 1 2 1 t 3 4 8 t 5 1 2 t 15 2 t 3 16 当 2 5 t 3 时 如图 2 过点 Q 作 QF x 轴于 F BQ 2t 5 OF 11 2t 5 16 2t 点 Q 的坐标是 16 2t 4 PF 16 2t t 16 3t S PEMP 2 1 2 1 t 3 4 16 3t 2 2t t 3 32 图 1 图 2 用心 爱心 专心16 当点 Q 与点 M 相遇时 16 2t t 解得 t 3 16 当 3 t 3 16 时 如图 3 MQ 16 2t t 16 3t MP 4 S PEMP 2 1 2 1 4 16 3t 6t 32 3 当 0 t 2 5 时 S 2 t 15 2 t 3 16 3 160 20t 15 2 2 a 15 2 0 抛物线开口向上 对称轴为直线 x 20 当 0 t 2 5 时 S 随 t 的增大而增大 t 2 5 时 S 有最大值 最大值为 6 85 当 2 5 t 3 时 S 2 2t t 3 32 9 128 3 8 t2 2 a 2 0 抛物线开口向下 t 3 8 时 S 有最大值 最大值为 9 128 当 3 t 3 16 时 S 6t 32 k 6 0 S 随 t 的增大而减小 又 t 3 时 S 14 当 t 3 16 时 S 0 0 S 14 综上所述 当 t 3 8 时 S 有最大值 最大值为 9 128 4 当 t 13 60 时 QMN 为等腰三角形 点评 本题是一个代数 几何综合题 涉及到的知识点较多 主要涉及到平行四边形性 质 勾股定理 三角函数 三角形面积 二次函数 一次函数 等腰三角形等 第一问较 为简单一般不会出错 第二问需要根据动点的位置进行分类讨论 关键在于准确进行分类 分类的依据就是点的位置的变化 动点在不同线段上 此问容易因分类不清而导致错误 这一问是第三问的前提 一定要认真细心确保正确 不然第三问就不可能做对 第三问根 据第二问的结果分别求出每个表达式的最大值 再进行比较 有范围的函数的最值要时刻 注意自变量的取值范围 第四问判断等腰三角形的存在性问题也要分情况讨论 对应此题 先判断三角形是直角三角形就降低了难度 难度较大 11 2011 黑龙江绥化 28 10 分 已知直线34 3yx 与 x 轴 y 轴分别交于 A B 两点 ABC 60 BC 与 x 轴交于 点 C 图 3 用心 爱心 专心17 1 试确定直线 BC 的解析式 2 若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动 不与 A C 重合 同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动 不与 A C 重合 动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度 动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长度 设 APQ 的面积为 S P 点的运动时间为 t 秒 求 S 与 t 的函数关系式 并写出自变量的取值范围 3 在 2 的条件下 当 APQ 的面积最大时 y 轴上有一点 M 平面内是否存在一点 N 使以 A Q M N 为顶点的四边形为菱形 若存在 请直接写出 N 点的坐标 若 不存在 请说明理由 解题思路 1 根据直线34 3yx 可出求出其与坐标轴交点的坐标 A 4 0 B 0 43 所以 OA 4 OB 43 可求出 BAO 60 ABC 60 ABC 是等边三角形 OC OA 4 C 4 0 用待定系数法求出一次函数的关系式 2 分当点 Q 在 BC 和 AB 上两种情况 求出 AP 上高的表达式从而写出 S 与 t 的函数关系式 3 当点 Q 与点 B 重合时 APQ 的面积最大 AQ B 作为菱形的一边有三种情况 4 0 4 8 4 8 AQ B 作为菱形的一条对角线有一种情况 4 8 3 8 答案 1 由已知得 A 点坐标 4 0 点 B 坐标为 0 43 OA 4 OB 43 BAO 60 ABC 60 ABC 是等边三角形 OC OA 4 C 点坐标 4 0 设直线 BC 的解析式为 y kx b 4 3 40 b kb 3 4 3 k b 直线 BC 的解析式为34 3yx 2 当 P 点在 AO 之间运动时 作 QH x 轴 QHCQ OBCB 2 84 3 QHt QH 35t S APQ 2 113 3 222 AP QHttt 0 t 4 同理可得 S 用心 爱心 专心18 APQ 2 13 8 33 4 3 22 ttt 4 t 8 3 存在 4 0 4 8 4 8 4 8 3 8 点评 本题综合考查三角函数 一次函数 特殊四边形等知识及运动的观点解题 涉及 的数据多 关系复杂 因此能读懂题意 明确题中数量关系是解题的关键 12 2011 浙江湖州 24 12 分 如图 1 已知正方形OABC的边长为 2 顶点A C分别 在x y轴的正半轴上 M是BC的中点 P 0 m 是线段OC上一动点 C点除外 直线 PM交AB的延长线于点D 1 求点D的坐标 用含m的代数式表示 2 当 APD是等腰三角形时 求m的值 3 设过P M B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E 过点O作ME的垂线 垂足 为H 如图 2 当点P从点O向点C运动时 点H也随之运动 请直接写出点H所经过的 路径长 不必写出解答过程 解题思路 第 1 由于M是BC的中点 AD OC 可得 Rt PMC Rt DMB 从而得出 CP BD 容易得D的坐标为 2 4 m 第 2 是条件不确定 也就是 APD是等腰三角形没有说哪两边相等 所以应分三种情 况来讨论 计算的过程构造直角三角形来进行计算 第 3 是探究性试题 P点的运动 带动了图形发生变化 也就是E点在x轴上的运动 又引起了H点的变化 经过探究可知H点的轨迹是个 90 的圆弧 直径是OM 于是可计算 出点H运动的路径 答案 解 1 由题意得CM BM PMC DMB Rt PMC Rt DMB DB PC DB 2 m AD 4 m 用心 爱心 专心19 点D的坐标为 2 4 m 2 分三种情况 若AP AD 则 4 m2 4 m 2 解得m 2 3 若PD PA 过P作PF AB于点F 则AF FD 2 1 AD 2 1 4 m 又OP AF m 2 1 4 m 解得 m 3 4 若DP DA PMC DMB PM 2 1 PD 2 1 AD 2 1 4 m PC2 CM2 PM2 2 m 2 1 2 4 4 1 m 解得 3 2 1 m 2 2 m 舍去 综上所述 当 APD是等腰三角形时 m的值为 2 3 或 3 4 或 3 2 3 点H所经过的路径长为 4 5 点评 本题考查了点的坐标 全等形 等腰三角形 特别是分类的数学思想以及变 化的几何图形中变化的点的轨迹 难度较大 对于初中不要求掌握的高中的点的轨迹的知 识 学生要有方法来进行探究 其实也很简单 就是多画几点来 看动点如何变化 当本 用心 爱心 专心20 题知道动点的轨迹是圆弧后 还要找出圆弧的圆心角以及半径的大小 本题难度较大 13 2011 浙江义乌 23 10 分 如图 1 在等边 ABC中 点D是边AC的中点 点P是 线段DC上的动点 点P与点C不重合 连结BP 将 ABP绕点P按顺时针方向旋转 角 0 180 得到 A1B1P 连结AA1 射线AA1分别交射线PB 射线B1B于点E F 1 如图 1 当 0 60 时 在 角变化过程中 BEF与 AEP始终存在 关系 填 相似 或 全等 并说明理由 2 如图 2 设 ABP 当 60 180 时 在 角变化过程中 是否存在 BEF 与 AEP全等 若存在 求出 与 之间的数量关系 若不存在 请说明理由 3 如图 3 当 60 时 点E F与点B重合 已知AB 4 设DP x A1BB1的面 积为S 求S关于x的函数关系式 图 1 图 2 图 3 P B1 F A D E C B A1 P B1 F A D E C B A1 P B1 A D C B A1 解题思路 由旋转的特征可推得 PAA1 PBB1 由 E E 所以两三角形相似 位置 改变后 仍可推得 BEF AEP 可先假定 BEF AEP 只要满足 BE AE 即 BAE ABE 因为 BAC 60 于是 BAE 30 22 9060 即 30 2 即 2 60 由旋转的过程知 AB A1B1 4 只要用 x 表示出 A1B1边上的高 由旋转推 得 PAA1是等边三角形 分别过点 B A1作 AC 边上的垂线 可得到 A1B1边上的高 从而求 得解析式 答案 解 1 相似 由题意得 APA1 BPB1 AP A1P BP B1P 则 PAA1 PBB1 2 90 2 180 PBB1 EBF PAE EBF 又 BEF AEP BEF AEP 2 存在 理由如下 易得 BEF AEP 若要使得 BEF AEP 只需要满足 BE AE 即可 BAE ABE BAC 60 BAE 30 22 9060 ABE BAE ABE 用心 爱心 专心21 30 2 即 2 60 3 连结 BD 交 A1B1于点 G 过点 A1作 A1H AC 于点 H B1 A1P A1PA 60 A1B1 AC 由题意得 AP A1 P A 60 PAA1是等边三角形 A1H 3 2 2 x P B1 ADOC B A1 H G 在 Rt ABD 中 BD 32 BG xx 2 3 3 2 2 3 32 xxS BBA 332 2 3 34 2 1 11 0 x 2 点评 本题是一道几何探究题 做题的关键是把握其中的规律 顺藤摸瓜 找到图形变 换前后图形的异同 在解题时注意分解图形 找寻基本图形之间的联系 难度较高 24 2011 浙江义乌 24 12 分 已知二次函数的图象经过A 2 0 C 0 12 两点 且对称轴为直线x 4 设顶点为点P 与x轴的另一交点为点B 1 求二次函数的解析式及顶点P的坐标 2 如图 1 在直线 y 2x上是否存在点D 使四边形OPBD为等腰梯形 若存在 求出点 D的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 点M是线段OP上的一个动点 O P两点除外 以每秒2个单位长度的速 度由点P向点O 运动 过点M作直线MN x轴 交PB于点N 将 PMN沿直线MN对折 得到 P1MN 在动点M的运动过程中 设 P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S 运动 时间为t秒 求S关于t的函数关系式 用心 爱心 专心22 第 24 题 O P C BA x y 图 1 图 2 M O A x P N C B y 解题思路 根据题意 设解析式为一般式根据题意即可求得 假定这样的等腰梯形存在 可先确定 B 点坐标 则 BP 直线的解析式易得 看 OD 与 BP 是否平行 以确定等腰梯形的底 和要 然后根据腰相等确定 D