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论文初初稿范文 浅说极限概念的两种定义方式极限理论是高等数学的理论基础，极限概念是这一理论中的最基本、最关键的概念，贯穿于高等数学的始终。 高等数学许多重要概念都可以归结为极限，如导数，积分等都是建立在极限概念基础上的，由此可见，弄清极限的精确概念是学习高等数学的核心所在。 下面我们就极限的两种定义方式进行研究讨论。 一、极限的第一种定义方式 1、数列极限N?定义设na为数列，a为定数.如果对任给的正数?，总存在正整数N，使得当nN时有|naa|0(?),定义表明了当n在无限增大过程中存在某一“时刻”(?N),只要在这一“时刻”后(?nN)就可保证所有的na与常数A两者间逼近的精度小于(|na-A| 对于数列极限的N?定义，要注意理解下面几点1)?的任意性.定义中的?用来刻划数列na与其极限A的逼近程度.为了保证na与A的逼近“精确”，即若数列na以A为极限，则应有|na-A|?0，因此，正数?具有绝对的任意性，?是可以任意选定无论多小的正数.当然?是可以任意大的，但是此时不等式|na-A|N时有|na-A|0,若在U(a;?)之外数列na中的项只有有限个，设这有限项的最大下标为N，则当nN时有na?U(a;?)，即当nN时有|na-A|1）.分析用数列极限定义证明数列na以1为极限，就是对任意给定的正数?，要求去寻找正正数N，使得当nN时，有|1|na?成立.证对任意给定的正数?，要使|1|1nnaa?，即 (1)na?.注意到2 (1) (1)12nnn nnn?，因此只要使an?，即an?即可.于是，取aN?，则当nN时，便有|1|na?或lim1nna?.1.2.数列极限定义的两个等价描述（i）对任意的自然k，总存在自然数N，使得当nN时，有|na-A|0,只有有限个na位于（a-?，a+?）之外.证明（i）设limnnaa?，今对任意的自然数k，取?=1k，则存在自然数N，使得当nN时，有|na-A|0，总可找到自然数k,使得1kN时，有|na-A|N时，有|na-A|N时，有na?（a-?，a+?），即有|na-A| 3、数列na不收敛于a如何用“N?”语言刻划数列na不收敛于a的“N?”语言刻划存在0?0,对于任意的自然数N，总存在0nN，使得|na-A|?0?.例2证明数列 (1)n?不收敛.证明对任意常数a0，若a?0，则对于任意的自然数N，总存在0n=2N+1，使得|0 (1)n?a?|=1+a?1.若a0，存在正数?(?)，使得当00|xx?时有|f(x)?A| 2、如何运用极限定义证明极限用极限定义证明极限，关键就是找合乎条件的?.例3证明22limx?4x?分析对于任意给定的0?，要使2|4|x?成立，|2|2|xx?这里不能由|2|2|xx?取|2|x?，因为|2|x?中含有变量x，由前面的分析知正数?取的越小，越能保证2|4|x?成立，故不防先取11?，当11?时，只要|2|x?，就有|2|1?x?，此时有|2|2|2|4145xxx?则|2|2|5|2|xxx?那么要使|2|2|xx?可使5|2|x?，即取25?，故取12min,min1,5?，有2|4|2|2|5|?2|5?5xxxx?.本例证明的关键是令1|2|1x?，后将2|4|2|2|xxx?放大成5|2|x?这样|2|x?的系数就变为常数，这就容易由5|2|x?来确定5?，而且由于放大后的5|2|x?成立，所以2|4|x?更成立，但是不能忽略放大的条件|2|1?x?，所以?应取1与5?之中的较小者例4证明000limx?11(|1)xxxx?证由于0|1x?，0|1x?，因此222xx20|11|11xxxxxx?000200|2|11xxxxxxxx?于是，对任给的0?（不防设01?）,取xxx?，则当00|xx?时，就有220|11|xx?.2. 3、二元函数极限定义设函数(,)fxy在点000(,)Pxy的某邻域内有定义（在点0P函数可以没有定义，因为这时候不考虑该点的函数值），(,)P xy是邻域内的任一点，如果当点(,)P xy以任何方式无限接近于点0P时，函数的对应值(,)f xy无限接近于一个定数A，则称A是函数(,)f xy当0xx?，0yy?，或2200()()0xxyy?时的极限.用“?”语言精确描述如果0,0?，00(,)(,)P xyUP?,有|(,)|f xyA?其中A是一个定数，则称A是函数(,)f xy，当0xx?，0yy?或0?时的极限，记作00limx?(,)yyxf xyA?或0limP?()Pf PA?或0lim?(,)f xyA?.例6求02201lim(x?)sinyxyxy?解当（x,y）?(0,0)时，02201|lim(x?)sin|?|?|yxyxyxyxy?则任给的正数?，取2?当|x| 二、极限的第二种定义方式本文中第一种定义方式中的数列极限均相同，虽从变量离散变化和连续变化两个角度来定义极限，但都属于第一种定义方式。 离散变量和连续变量有着密切的内在联系，结合数列极限义，下面给出极限的第二种定义方式。 N?定义和函数极限?定义，其定义方式N?定义和函数极限?定定义点0x的某空心邻域内有定义，A为一个确定的常数，若对0?，对于任意给定的数列nx，当0nxx?时，都有?Axfn)(，则称()f x在nx趋向于0x时，以A为极限，记为0limx?()nxf xA?极限两种定义的关系极限的这两种定义方式其实是等价的，下面我们就来给出证明.lim()xA?的充分必要条件是任给一个以0xf x0x为极限的数列0()nnaax?都有lim()nnf aA?.证“?”设0()nnaax?是以0x为极限的数列.因为00limx?()xf xA?，故任给0?，存在0?，当00|xx?时，有|()|f x|A?.又由于0limn ax?，故存在0nN?，当0nn?时有00|nax?.所以当0nn?时|()|nf aA?，即是lim()nnf aA?.“?”（反证）若当0xx?时，()f x不以A为极限.则必有0?，使对任何0?，都能找到x，使00|nax?，而|()|f xA?.对0nN?取1nn?，对每个n?可找到na使010|nnaxn?，而|()|nf aA?.但是由于0limn ax?0()nax?，故又定理的假设，有应有lim()nnf aA?，这与|()|nf aA?(1,2)n?相矛盾，所以必有0limx?()xf xA?.所以由上面的证明我们可以知道第二种定义方式等价于第一种定义方式。 极限概念的两种定义方式都是等价的，第二种定义方式是将第一种定义方式中的数列极限N?定义和函数极限?定义统一起来，下面我们通过一道例题来验证。 例7证明设23()f x1xx?，12nnx?0lim()xf x?3lim(n?)3nf x?证明(?)0lim()xf x?3?，则对0?，?正数()?，使得当00xx?时有关()f x3?数列12n?(0,1)且12nlimn?0?，则对上述的0?存在0N?，使得当nN?有00nx?，从而有()3nf x?所以lim()3nnf x?(?)因为数列012n(0,1)U?且12nlimn?0?，有lim()3nnf x?若当lim(n)nf xA?时0limx?()xf xA?，则存在00?，对0?，总在一点x，尽管00xx?，但有0()f xA?，依次取11,230,?,1n,则存在相应的点123,x xx,nx,使得100nan?，而0()3nf a?，1,2n?显然数列012n(0,1)U?且limn0nx?，但当n?时()nf x不趋于3，矛盾所以必有0lim()xf x?3?本例题充分地体现了极限概念的两种定义方式的等价的，将数列极限问题和函数极限问题相互沟通，相互转化，进行处理，使问题更容易解决。 总结极限概念的两种定义方式是紧密联系的，因函数极限的许多结论与数列极限的类似,可根据第二种定义方式,利用数列极限的结论推导出相应的函数极限的结论。 而在函数极限运算中,有一些很