内蒙古赤峰市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1页（共 15页） 2015年内蒙古赤峰市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1下面四个命题正确的是（ ） A B 0的角是锐角 C .若 0，则 是第二或第三象限角 D 2已知集合 A=x| 1 x 2，集合 B=x|0 x 1，则有（ ） A AB B AB C BA D A=B 3函数 f（ x） = + 的定义域为（ ） A（ 3， 0 B（ 3， 1 C（ ， 3） （ 3， 0 D（ ， 3） （ 3， 1 4将直径为 2 的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 5若偶函数 f（ x）在（ ， 1上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A f（ ） f（ 1） f（ 2） B f（ 1） f（ ） f（ 2） C f（ 2） f（1） f（ ） D f（ 2） f（ ） f（ 1） 6 m， n， l 为不重合的直线， ， ， 为不重 合的平面，则下列说法正确的是（ ） A ， ，则 B ， ，则 C m ， n ，则 m n D m l， n l，则 m n 7若 m， n，则 ） 2 的值为（ ） A m 2n 2 B m 2n 1 C m 2n+1 D m 2n+2 8一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（ ） 第 2页（共 15页） A 20 B 5 C 4（ +1） D 4 9已知 ， 是两个不同的平面， m， n 是两条不同的直线 ，给出下列命题： 若 m ， m，则 ； 若 m， n， m ， n ，则 ； m， n， m、 n 是异面直线，那么 n 与 相交； 若 =m， n m，且 n， n，则 n 且 n 其中正确的命题是（ ） A B C D 10函数 f（ x） =ex+x 2 的零点所在的一个区间是（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 11若函数 f（ x） =（ a 1） x+2 在（ ， 4上是递减的，则 a 的取值范围是（ ） A a 3 B a 3 C a5 D a3 12已知函数 是 R 上的减函数则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 3） B（ 0， 3 C（ 0， 2） D（ 0， 2 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 13已知幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， ），则 f（ 9） = 14已知三棱柱 侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若 ， 0，则此球的体积等于 15设函数 f（ x） =（ x+1）（ x+a）为偶函数，则 a= 16已知函数 f（ x）的定义域为 A，若当 f（ =f（ ）时，总有 x1=称 f（ x）为单值函数例如，函数 f（ x） =2x+1（ xR）是单值函数给出下列命题： 函数 f（ x） =xR）是单值函数； 函数 f（ x） =2x（ xR）是单值函数； 若 f（ x）为单值函数， ，且 x1f（ f（ 函数 f（ x） = 是单值函数 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 三 、解答题 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 3页（共 15页） 17已知 f（ x） =2x， g（ x）是一次函数，并且点（ 2， 2）在函数 fg（ x） 的图象上，点（ 2，5）在函数 gf（ x） 的图象上，求 g（ x）的解析式 18（ 1）计算：（ 2 ） +（ 0+（ ） ； （ 2）解方程： 6x 9） =3 19如图，在正方体 ， E 为 O 是 （ ）求证：平面 平面 （ ）求证： 平面 20已知函数 f（ x） =， x 5， 5 （ ）当 a= 1 时，求函数 f（ x）的最大值和最小值； （ ）求实数 a 的取值范围，使 y=f（ x）在区间 5， 5上是单调函数 21如图，在三棱锥 P ， B=， ， 0，平面 平面 ， E 分别为 点 （ ）求证： 面 （ ）求证： （ ）求三棱锥 B 体积 22已知定义域为 R 的函数 是奇函数 （ ）求 a， b 的值； （ ）若对任意的 tR，不等式 f（ 2t） +f（ 2k） 0 恒成立，求 k 的取值范围 第 4页（共 15页） 2015年内蒙古赤峰市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1下面四个命题正确的是（ ） A B 0的角是锐角 C .若 0，则 是第二或第三象限角 D 【考点】 象限角、轴线角 【专题】 综合题 【分析】 通过给变量取特殊 值，举反例来可以说明某个命题不正确，可排除部分选项 根据选项的叙述，利用象限角、终边相同的角的定义，结合三角形的知识判断 A 错误；锐角的定义判断 B 正确；象限角判断 C 错误；锐角的范围判断 D 正误 【解答】 解：第一象限角必是锐角，显然不正确， A 错误； 小于 90的角是锐角，可以是负角，所以 B 不正确； 若 0，则 是第二或第三象限角，可以是 x 负半轴上的角，所以不正确 锐角必是第一象限角，正确 故选 D 【点评】 本题是基础题，考查三角函数的有关概念，角的范围的应用，考查基本知识的应用 2已知集合 A=x| 1 x 2，集合 B=x|0 x 1，则有（ ） A AB B AB C BA D A=B 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 根据真子集的定义，即可得出结论 【解答】 解：由于 B 中元素都是 A 中元素，且 A 中有元素不属于 B，所以 BA 故选： C 【点评】 本题考查真子集的定义，考查学生对概念的理解，比较基础 3函数 f（ x） = + 的定义域为（ ） A（ 3， 0 B（ 3， 1 C（ ， 3） （ 3， 0 D（ ， 3） （ 3， 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】 由 ，解得 x 范围即可得出 【解答】 解：由 ，解得 x0，且 x 3 函数 f（ x）的定义域为（ ， 3） （ 3， 0 故选： C 第 5页（共 15页） 【点评】 本题考查了函数的定义域求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4将直径为 2 的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【专题】 计算题；函数思想；空间位置关系与距离 【分析】 判断几何体的特征，然后求解即可 【解答】 解：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积， 故选： B 【点评】 本题考查旋转体的几何特征，球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 5若偶函数 f（ x）在（ ， 1上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A f（ ） f（ 1） f（ 2） B f（ 1） f（ ） f（ 2） C f（ 2） f（1） f（ ） D f（ 2） f（ ） f（ 1） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 常规题型 【分析】 题目中条件： “f（ x）为偶函数， ”说明： “f（ x） =f（ x） ”，将不在（ ， 1上的数值转化成区间（ ， 1上，再结合 f（ x）在（ ， 1上是增函数，即可进行判断 【解答】 解： f（ x）是偶函数， f（ ） =f（ ）， f（ 1） =f（ 1）， f（ 2） =f（ 2）， 又 f（ x）在（ ， 1上是增函数， f（ 2） f（ ） f（ 1） 即 f（ 2） f（ ） f（ 1） 故选 D 【点评】 本小题主 要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题 6 m， n， l 为不重合的直线， ， ， 为不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A ， ，则 B ， ，则 C m ， n ，则 m n D m l， n l，则 m n 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离 【分析】 在 A 中，由平面与平面平行的判定定理得 ；在 B 中， 与 相交或平行；在C 中， m 与 n 相交、平行或异面；在 D 中， m 与 n 相交、平行或异面 【解答】 解：由 m， n， l 为不重合的直线， ， ， 为不重合的平面，知： 第 6页（共 15页） 在 A 中： ， ，则由平面与平面平行的判定定理得 ，故 A 正确； 在 B 中： ， ，则 与 相交或平行，故 B 错误； 在 C 中： m ， n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 C 错误； 在 D 中： m l， n l，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 D 错误 故选： A 【点评】 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间位置关系的合理运用 7若 m， n，则 ） 2 的值为（ ） A m 2n 2 B m 2n 1 C m 2n+1 D m 2n+2 【考点】 对数的运算性质 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 运用对数的运算性质把要求的代数式化为 常数的形式，则答案可求 【解答】 解：因为 m， n， 所以 ） 2= = 故选 D 【点评】 本题考查了对数的运算性质，关键是熟记有关性质，是基础题 8一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如 图所示，该四棱锥侧面积等于（ ） A 20 B 5 C 4（ +1） D 4 【考点】 简单空间图形的三视图 【专题】 空间位置关系与距离 【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出侧面的高后，计算各个侧面的面积，相加可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 其底面棱长为 2， 高 h=2， 故侧面的侧高为 = ， 故该四棱锥侧面积 S=4 2 =4 ， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的 关键是得到该几何体的形状 第 7页（共 15页） 9已知 ， 是两个不同的平面， m， n 是两条不同的直线，给出下列命题： 若 m ， m，则 ； 若 m， n， m ， n ，则 ； m， n， m、 n 是异面直线，那么 n 与 相交； 若 =m， n m，且 n， n，则 n 且 n 其中正确的命题是（ ） A B C D 【考点】 平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【专题】 综合题 【分析】 利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选 项逐一判断即可 【解答】 解： 若 m ， m，则 ；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题 若 m， n， m ， n ，则 ；可能 n m， =l错误的命题 m， n， m、 n 是异面直线，那么 n 与 相交；题目本身错误，是错误命题 若 =m， n m，且 n， n，则 n 且 n 是正确的命题 故选 D 【点评】 本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题 10函数 f（ x） =ex+x 2 的零点所在的一个区间是（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 将选项中各区间两端点值代入 f（ x），满足 f（ a） f（ b） 0（ a， b 为区间两端点）的为答案 【解答】 解：因为 f（ 0） = 1 0， f（ 1） =e 1 0，所以零点在区间（ 0， 1）上， 故选 C 【点评】 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解 11若函数 f（ x） =（ a 1） x+2 在（ ， 4上是递减的，则 a 的取值范围是（ ） A a 3 B a 3 C a5 D a3 【考点】 二次函数的性质；函数单调性的性质 【专题】 计算题；数形结合 【分析】 本题中的函数是一个二次函数，由于其在（ ， 4上是递减的，可以得出此区间应该在对称轴的左侧，由此关系得到参数 a 的不等式，解之即得参数的取值范围 【解答】 解：函数 f（ x） =（ a 1） x+2 的对称轴是 x=1 a 又函数 f（ x） =（ a 1） x+2 在（ ， 4上是递减的， 41 a a 3 故选 B 【点评】 本题的考 点是二次函数的性质，考查由二次函数的性质得到相关参数的不等式，求解析式中的参数的取值范围，属于二次函数的基础考查题 第 8页（共 15页） 12已知函数 是 R 上的减函数则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 3） B（ 0， 3 C（ 0， 2） D（ 0， 2 【考点】 函数单调性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由 f（ x）为 R 上的减函数可知， x1 及 x 1 时， f（ x）均递减，且（ a 3） 1+5 ，由此可求 a 的取值范围 【解答】 解：因为 f（ x）为 R 上的减函数， 所以 x1 时， f（ x）递减，即 a 3 0， x 1 时， f（ x）递减，即 a 0，且（ a 3） 1+5 ， 联立 解得， 0 a2 故选 D 【点评】 本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 13已知幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， ），则 f（ 9） = 3 【考点】 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【专题】 计算题 【分析】 先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求 f（ 16）的值 【解答】 解：由题意令 y=f（ x） =于图象过点 （ 2， ）， 得 =2a， a= y=f（ x） = f（ 9） =3 故答案为： 3 【点评】 本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值 14已知三棱柱 侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若 ， 0，则此球的体积等于 【考点】 球的体积和表面积 【专题】 计算题；方程思想；综合法；立体几何 【分析】 通过已知条件求出底面外接圆的半径，确定球心为 O 的位置，求出 球的半径，然后求出球的体积 【解答】 解：在 ， ， 0， 可得 ， 可得 接圆半径 r=1， 第 9页（共 15页） 三棱柱 侧棱垂直于底面， 三棱柱为直三棱柱，侧面 正方形它的中心是球心 O， 球的直径为： ，球半径 R= ， 故此球的表面积为 故答案为： 【点评】 本题是中档题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力 15设函数 f（ x） =（ x+1）（ x+a）为偶函数，则 a= 1 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 计算题 【分析】 因为函数为偶函数，则根据偶函数定义 f（ x） =f（ x）得到等式解出 a 即可 【解答】 解： 函数为偶函数得 f（ 1） =f（ 1） 得： 2（ 1+a） =0 a= 1 故答案为： 1 【点评】 此题考查学生应用函数奇偶性的能力 16已知函数 f（ x）的定义域为 A，若当 f（ =f（ ）时，总有 x1=称 f（ x）为单值函数例如，函数 f（ x） =2x+1（ xR）是单值函数给出下列命题： 函数 f（ x） =xR）是单值函数； 函数 f（ x） =2x（ xR）是单值函数； 若 f（ x）为单值函数， ，且 x1f（ f（ 函数 f（ x） = 是单值函数 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 综合题；新定义；函数思想；数学模型法；简易逻辑 【分析】 由新定义可知，满足题意的函数实际上是单调函数 由二次函数 f（ x） =xR）的单调性判断 ；由指数函数的单调性判断 ；结 合单调函数的性质判断 ，由分段函数 f（ x） = 的单调性判断 【解答】 解：由 f（ =f（ ）时，总有 x1= f（ x）实际上是单调函数 函数 f（ x） =xR）在（ ， 0）上单调递减，（ 0， +）上单调递增，故不是单值函数； 第 10页（共 15页） 函数 f（ x） =2x（ xR）是单调函数，故 f（ x） =2x（ xR）是单值函数； f（ x）为单值函数，则 f（ x）是单调函数，若 x1 f（ f（ 函数 f（ x） = 是分段函数，在（ ， 0）上单调递减，（ 0， +）上单调递增 ，故不是单值函数 故答案为： 【点评】 本题是新定义题，考查命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的单调性，是中档题 三、解答题 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 f（ x） =2x， g（ x）是一次函数，并且点（ 2， 2）在函数 fg（ x） 的图象上，点（ 2，5）在函数 gf（ x） 的图象上，求 g（ x）的解析式 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 待定系数法：设 g（ x） =kx+b，根据点（ 2， 2）在函数 fg（ x） 的图象上，点（ 2，5）在函数 gf（ x） 的图象上，列出方程组解得即可 【解答】 解：设 g（ x） =kx+b，则 f（ g（ x） =f（ kx+b） =2kx+b， 因为点（ 2， 2）在函数 fg（ x） 的图象上， 所以 fg（ 2） =f（ 2k+b） =22k+b=2， 所以 2k+b=1（ 1）； gf（ x） =k2x+b， 因为点（ 2， 5）在函数 gf（ x） 的图象上， 所以 gf（ 2） =4k+b=5（ 2）， 由（ 1）（ 2）得： 所以 g（ x） =2x 3 【点评】 本题考查函数解析式的求解，一般知道函数类型， 可考虑用待定系数法求解析式，设出解析式，据条件列出方程（组），解出即可 18（ 1）计算：（ 2 ） +（ 0+（ ） ； （ 2）解方程： 6x 9） =3 【考点】 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）化带分数为假分数后直接进行有理指数幂的化简运算； （ 2）化对数式为指数式，然后求解指数方程，得到 x 的值后进行验根 【解答】 解：（ 1） =（ ） +（ 0+（ ） 3 第 11页（共 15页） = +1+ =4 （ 2）由方程 6x 9） =3 得 6x 9=33=27， 6x=36=62， x=2 经检验， x=2 是原方程的解 原方程的解为 x=2 【点评】 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数方程的解法，解答对数方程时不要忘记验根，此题是基础题 19如图，在正方体 ， E 为 O 是 （ ）求证：平面 平面 （ ）求证： 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】 综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离 【分 析】 （ ）在正方体 为 平面 面用面面垂直的性质推断出平面 平面 （ ）连接 C=G，连接 0G证明四边形 平行四边形，所以因为 面 面 以 平面 【解答】 证明：（ ）在正方体 平面 面 平面 平面 （ ）连接 C=G，连接 0G 正方体， G 是 中点， 又因为 O 是 中点， E， 第 12页（共 15页） 即四边形 平行四边形， 所以 又 面 面 所以 平面 【点评】 本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理考查了学生分析推理的能力 20已知函数 f（ x） =， x 5， 5 （ ）当 a= 1 时， 求函数 f（ x）的最大值和最小值； （ ）求实数 a 的取值范围，使 y=f（ x）在区间 5， 5上是单调函数 【考点】 函数单调性的判断与证明；二次函数的性质 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 （ ） a= 1 时，配方得到 f（ x） =（ x 1） 2+1，从而可以看出 x=1 时 f（ x）取最小值，而 x= 5 时取最大值，这样便可得出 f（ x）的最大值和最小值； （ ）可以求出 f（ x）的对称轴为 x= a，而 f（ x）在 5， 5上是单调函数，从而可以得出 a 5，或 a5，这样便可得出实数 a 的 取值范围 【解答】 解：（ ） a= 1， f（ x） =2x+2=（ x 1） 2+1； x 5， 5； x=1 时， f（ x）取最小值 1； x= 5 时， f（ x）取最大值 37； （ ） f（ x）的对称轴为 x= a； f（ x）在 5， 5上是单调函数； a 5，或 a5； 实数 a 的取值范围为（ ， 5 5， +） 【点评】 考查配方求二次函数最大、最小值的方法，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性 21如图，在三棱锥 P ， B=， ， 0，平 面 平面 ， E 分别为 点 （ ）求证： 面 （ ）