高中数学 教学能手示范课 第一章 集合与函数的概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教版必修1.ppt

1 3 1单调性与最大 小 值第2课时函数的最大值 最小值 喷泉喷出的抛物线型水柱到达 最高点 后便下落 经历了先 增 后 减 的过程 从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种 联系 让我们来研究 函数的最大值与最小值 引入德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯 对人类的记忆牢固程度进行了有关研究 他经过测试 得到了有趣的数据 数据表明 记忆的数量y是时间间隔t的函数 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的 艾宾浩斯记忆遗忘曲线 如图 思考1 当时间间隔t逐渐增大时 你能看出对应的函数值y有什么变化趋势 思考2 艾宾浩斯记忆遗忘曲线 从左至右是逐渐下降的 对此 我们如何用数学观点进行解释 t 天数 o 20 40 60 80 100 y 记忆的数量 百分数 画出下列函数的图象 观察其变化规律 1 从左至右图象上升还是下降 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 f x x 增大 上升 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 f x x2 0 0 增大 减小 画出下列函数的图象 观察其变化规律 在某一区间内当x的值增大时 函数值y反而减小 图象在该区间内呈下降趋势 在某一区间内当x的值增大时 函数值y也增大 图象在该区间内呈上升趋势 函数的这种性质称为函数的单调性 函数f x x2 x12 x22 x 0 x1 x2 y f x1 f x2 在 0 上任取x1 x2 如何用x与f x 来描述上升的图象 如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个 称函数f x 在区间d上是增函数 如何用x与f x 来描述下降的图象 如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个 称函数f x 在这个区间d上是减函数 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 注意 2 必须是对于区间d内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增函数或减函数 如果函数y f x 在区间d上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 函数的单调性定义 注意 函数的单调区间是其定义域的子集 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每个区间上 它是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 根据下图说出函数的单调区间 以及在每一个单调区间上 函数是增函数还是减函数 解 函数的单调区间是 1 0 0 2 2 4 4 5 在区间 1 0 2 4 上 函数是减函数 在区间 0 2 4 5 上 函数是增函数 课本p32t3 注意 函数的单调性是对某个区间而言的 对于单独的一点 由于它的函数值是唯一确定的常数 因而没有增减变化 所以不存在单调性问题 对于闭区间上的连续函数来说 只要在开区间上单调 它在闭区间上也就单调 因此 在考虑它的单调区间时 包括不包括端点都可以 在 0 上是 函数 在 0 上是 函数 减 减 问 能否说在 0 0 上是减函数 反比例函数 2 y o x 1 1 1 1 2 在 0 上是 函数 在 0 上是 函数 减 减 函数 y o x 在 0 上任取x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 y o x 1 1 1 1 取自变量 1 1 而f 1 f 1 o y x y o x y o x 在是增函数在是减函数 在是增函数在是减函数 在 是减函数 在 0 和 0 是减函数 在 是增函数 在 0 和 0 是增函数 答案 选d 证明函数在r上是减函数 即 例2 利用定义 证明 设是r上任意两个值 且 则 判断函数单调性的方法步骤 1任取x1 x2 d 且x1 x2 2作差f x1 f x2 3变形 通常是因式分解和配方 4定号 即判断差f x1 f x2 的正负 5下结论 即指出函数f x 在给定的区间d上的单调性 利用定义证明函数f x 在给定的区间d上的单调性的一般步骤 思考 思考 画出反比例函数f x 的图象 p301这个函数的定义域i是什么 2它在定义域i上的单调性是怎样的 证明你的结论 证明 函数f x 在 0 上是减函数 证明 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且x1 x2 则 f x1 f x2 由于x1 x2得x1x2 0 又由x10所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在 0 上是减函数 取值 定号 变形 作差 结论 课本p39a3 练习 1 y x 3 x 的递增区间是 3 已知f x 是定义在 1 1 上的增函数 且f x 1 f 1 3x 求x的取值范围 观察下列两个函数的图象 b 探究点1函数的最大值 解答 第一个函数图象有最高点a 第二个函数图象有最高点b 也就是说 这两个函数的图象都有最高点 思考2设函数y f x 图象上最高点的纵坐标为m 则对函数定义域内任意自变量x f x 与m的大小关系如何 解答 f x m 思考1这两个函数图象有何共同特征 最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最大值 请同学们仿此给出函数最小值的定义 最小值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最小值 2 函数最大 小 值应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的x i 都有f x m f x m 注意 1 函数最大 小 值首先应该是某一个函数值 即存在x0 i 使得f x0 m 例3 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为 h t 4 9t2 14 7t 18 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 解 作出函数h t 4 9t2 14 7t 18的图象 如图 显然 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的高度 由于二次函数的知识 对于h t 4 9t2 14 7t 18 我们有 于是 烟花冲出后1 5秒是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度为29m 例4 求函数在区间 2 6 上的最大值和最小值 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 则 由于20 x1 1 x2 1 0 于是 所以 函数是区间 2 6 上的减函数 因此 函数在区间 2 6 上的两个端点上分别取得最大值和最小值 即在点x 2时取最大值 最大值是2 在x 6时取最小值 最小值为0 4 1 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 2 利用图象求函数的最大 小 值 3 利用函数的