2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题六 第一讲直线与圆.docx

教学资料范本2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题六 第一讲直线与圆编 辑：_时 间：_第一讲直线与圆高考考点考点解读直线的方程1.求直线的倾斜角、斜率及直线方程2根据两直线平行或垂直求参数的值圆的方程1.圆的几何性质的应用2求圆的方程直线与圆的位置关系1.利用位置关系解决参数问题2利用位置关系解决轨迹等综合问题备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念.两直线平行、垂直的位置关系(2)弄清直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的特点及相关量的几何意义(3)掌握求圆的方程的方法.并会判定直线与圆、圆与圆的位置关系.会利用位置关系解决综合问题预测2020年命题热点为：(1)根据两直线的位置关系求参数的值(2)根据直线与圆的位置关系求动点的轨迹Z 1直线的有关问题(1)直线的斜率公式已知直线的倾斜角为(90).则直线的斜率为ktan.已知直线过点A(x1.y1).B(x2.y2)(x2x1).则直线的斜率为k(x2x1)(2)三种距离公式两点间的距离：若A(x1.y1).B(x2.y2).则|AB|.点到直线的距离：点P(x0.y0)到直线AxByC0的距离d.两平行线的距离：若直线l1.l2的方程分别为l1：AxByC10.l2：AxByC20.则两平行线的距离d.(3)直线与圆相交时弦长公式设圆的半径为R.圆心到弦的距离为d.则弦长l2.(4)直线方程的五种形式点斜式：yy0k(xx0).斜截式：ykxb.两点式：.截距式：1(a0.b0)一般式：AxByC0(A.B不同时为0)(5)直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：()两直线平行：l1l2k1k2.()两直线垂直：l1l2k1k21.当两直线方程分别为l1：A1xB1yC10.l2：A2xB2yC20时：()l1与l2平行或重合A1B2A2B10.()l1l2A1A2B1B20.2圆的有关问题(1)圆的三种方程圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0).圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(圆的直径的两端点是A(x1.y1).B(x2.y2)(2)判断直线与圆的位置关系的方法代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交.0相离.0相切几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d.则dr相离.dr相切(主要掌握几何方法)(3)两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系设圆O1半径为r1.圆O2半径为r2.圆心距与两圆半径的关系两圆的位置关系|O1O2|r1r2|内含|O1O2|r1r2|内切|r1r2|O1O2|r1r2|外离Y 1注意两平行线距离公式的应用条件应用两平行线间距离公式时.两平行线方程中x.y的系数应对应相等2忽略直线斜率不存在的情况在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在3注意直线方程的限制条件(1)应用点斜式、斜截式方程时.注意它们不包含垂直于x轴的直线；(2)应用两点式方程时.注意它不包含与坐标轴垂直的直线；(3)应用截距式方程时.注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；(4)在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质1(20xx全国卷.6)直线xy20分别与x轴.y轴交于A.B两点.点P在圆2y22上.则ABP面积的取值范围是( A )ABC D解析由A(2,0).B(0.2).则三角形ABP的底边|AB|2.圆心(2,0)到直线xy20的距离为d2.又因为半径为r.所以点P到直线xy20的距离的最大值为23.最小值为2.则三角形ABP的面积的最大值为Smax236.最小值为Smin22.故ABP面积的取值范围为2,62(20xx北京卷.7)在平面直角坐标系中.记d为点P(cos.sin)到直线xmy20的距离.当.m变化时.d的最大值为( C )A1B2C3D4解析选C方法一：由已知d|sin()|123.当且仅当2.且sin()1时取.此时m0.d|cos2|.cos能取到1.所以d的最大值为3.方法二：由已知及sin2cos21.点P(cos.sin)在圆x2y21上又直线xmy20过定点(2,0).当d取得最大值时.即圆x2y21上的动点P到动直线xmy20距离最大.此时圆x2y21的圆心(0,0)到动直线xmy20距离最大.数形结合.可知动直线为x2时.圆心(0,0)到动直线xmy20距离最大值为2.所以圆x2y21上的动点P到动直线xmy20的距离最大值为213.即d的最大值为3.3(20xx全国卷.4)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10 的距离为1.则a( A )ABCD2解析圆x2y22x8y130化为标准方程为：(x1)2(y4)24.故圆心为(1,4).d1.解得a.故选A4(20xx天津卷.12)在平面直角坐标系中.经过三点(0,0).(1,1).(2,0)的圆的方程为x2y22x0.解析设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.又因为圆经过三点(0,0).(1,1).(2,0).所以解得D2.E0.F0.所以圆的方程为x2y22x0.5(20xx全国卷.15)直线yx1与圆x2y22y30交于A.B两点.则2.解析由x2y22y30.得圆心为(0.1).半径为2.所以圆心到直线的距离d.所以|AB|22.6(20xx全国卷.15)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A.B两点.若|AB|2.则圆C的面积为4.解析由圆C：x2y22ay20可得x2(ya)2a22.所以圆心C(0.a).由题意可知.解得a22.所以圆C的面积为(a22)4.7(20xx天津卷.12)设抛物线y24x的焦点为F.准线为l.已知点C在l上.以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A若FAC120.则圆的方程为(x1)2(y)21.解析由y24x可得点F的坐标为(1,0).准线l的方程为x1.由圆心C在l上.且圆C与y轴正半轴相切(如图).可得点C的横坐标为1.圆的半径为1.CAO90.又因为FAC120.所以OAF30.所以|OA|.所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x1)2(y)21. 例1 (1)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与直线l2：2(k3)x2y30平行.则k的值是( C )A1或3B1或5C3或5 D1或2解析当k4时.直线l1的斜率不存在.直线l2的斜率存在.所以两直线不平行；当k4时.两直线平行的一个必要条件是k3.解得k3或k5；但必须满足(截距不等)才是充要条件.经检验知满足这个条件(2)在ABC中.A(1,1).B(m.)(1m4).C(4,2).则当ABC的面积最大时.m( B )AB CD解析由两点间距离公式可得|AC|.直线AC的方程为x3y20.所以点B到直线AC的距离d.从而ABC的面积S|AC|d|m32|()2|又1m4.所以1.直线与圆相离A组1若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行.则l1与l2间的距离为( B )ABCD解析由l1l2知3a(a2)且2a6(a2).2a218.求得a1.l1：xy60.l2：xy0.两条平行直线l1与l2间的距离为d.故选B2(文)直线xy0截圆x2y24所得劣弧所对圆心角为( D )A B C D解析弦心距d1.半径r2.劣弧所对的圆心角为.(理)C1：(x1)2y24与C2：(x1)2(y3)29相交弦所在直线为l.则l被O：x2y24截得弦长为( D )A B4 C D解析由C1与C2的方程相减得l：2x3y20.圆心O(0,0)到l的距离d.O的半径R2.截得弦长为22.3已知圆C：x2(y3)24.过A(1,0)的直线l与圆C相交于P.Q两点若|PQ|2.则直线l的方程为( B )Ax1或4x3y40Bx1或4x3y40Cx1或4x3y40Dx1或4x3y40解析当直线l与x轴垂直时.易知x1符合题意；当直线l与x轴不垂直时.设直线l的方程为yk(x1).由|PQ|2.则圆心C到直线l的距离d1.解得k.此时直线l的方程为y(x1).故所求直线l的方程为x1或4x3y40.4过三点A(1,3).B(4,2).C(1.7)的圆交y轴于M.N两点.则|MN|( C )A2 B8 C4 D10解析由已知得kAB.kCB3.所以kABkCB1.所以ABCB.即ABC为直角三角形.其外接圆圆心为(1.2).半径为5.所以外接圆方程为(x1)2(y2)225.令x0.得y22.所以|MN|4.故选C5直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于A、B两点.若弦AB的中点为(2,3).则直线l的方程为( A )Axy50 Bxy10Cxy50 Dxy30解析设圆x2y22x4ya0(a0)相交于A.B两点.且AOB120(O为坐标原点).则r2.解析直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)交于A.B两点.O为坐标原点.且AOB120.则圆心(0,0)到直线3x4y50的距离为r.即r.r2.8一个圆经过椭圆1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆的标准方程为2y2.解析设圆心为(a,0).则圆的方程为(xa)2y2r2.依题意得.解得a. r2.所以圆的方程为2y2.9已知定点M(0,2).N(2,0).直线l：kxy2k20(k为常数)(1)若点M.N到直线l的距离相等.求实数k的值；(2)对于l上任意一点P.MPN恒为锐角.求实数k的取值范围解析(1)点M.N到直线l的距离相等.lMN或l过MN的中点M(0,2).N(2,0).直线MN的斜率kMN1.MN的中点坐标为C(1,1)又直线l：kxy2k20过定点D(2,2).当lMN时.kkMN1；当l过MN的中点时.kkCD.综上可知.k的值为1或.(2)对于l上任意一点P.MPN恒为锐角.l与以MN为直径的圆相离.即圆心到直线l的距离大于半径.d.解得k1.10已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段为4.求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解析(1)如图所示.|AB|4.将圆C方程化为标准方程为(x2)2(y6)216.所以圆C的圆心坐标为(2,6).半径r4.设D是线段AB的中点.则CDAB.所以|AD|2.|AC|4.C点坐标为(2,6)在RtACD中.可得|CD|2.若直线l的斜率存在.设为k.则直线l的方程为y5kx.即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2.得k.故直线l的方程为3x4y200.直线l的斜率不存在时.也满足题意.此时方程为x0.所以所求直线l的方程为x0或3x4y200.B组1(20xx南宁一模)直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2.则直线的倾斜角为( A )A或 B或C或 D解析圆(x2)2(y3)24的圆心为(2,3).半径r2.圆心(2,3)到直线ykx3的距离d.因为直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2.所以由勾股定理得r2d2()2.即43.解得k.故直线的倾斜角为或.2设直线xya0与圆x2y24相交于A.B两点.O为坐标原点.若AOB为等边三角形.则实数a的值为( B )A B C3 D9解析由题意知：圆心坐标为(0,0).半径为2.则AOB的边长为2.所以AOB的高为.即圆心到直线xya0的距离为.所以.解得a.3已知点A(2,0).B(0,2).若点C是圆x22axy2a210上的动点.ABC面积的最小值为3.则a的值为( C )A1 B5C1或5 D5解析解法一：圆的标准方程为(xa)2y21.圆心M(a,0)到直线AB：xy20的距离为d.可知圆上的点到直线AB的最短距离为d11.(SABC)min23.解得a1或5.解法二：圆的标准方程为(xa)2y21.设C的坐标为(acos.sin).C点到直线AB：xy20的距离为d.ABC的面积为SABC2|sin()a2|.当a0时.a23.解得a1；当2a0时.|a2|3.无解；当a2时.|a2|3.解得a5.解法三：设与AB平行且与圆相切的直线l的方程为xym0(m2).圆心M(a,0)到直线l的距离d1.即1.解得ma.两平行线l.l之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离.即.(SABC)min2|a2|.当a0时.|a2|3.解得a1.当a0)与圆x2y24交于不同的两点A.B.O是原点.且有|.则k的取值范围是( C )A(.) B.)C.2) D.2解析本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算设AB的中点为D.则ODAB.因为|.所以|2|.|2|.又因为|2|24.所以|1.因为直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点.所以|2.所以12.解得k7或a或aC3a或a7Da7或a3解析本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力两条平行线与圆都相交时.由得a.两条直线都和圆相离时.由得a7.所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围3a或a7.故选C6过点P(1,1)作圆C：(xt)2(yt2)21(tR)的切线.切点分别为A.B.则的最小值为.解析圆C：(xt)2(yt2)21的圆心坐标为(t.t2).半径为1.所以PC.PAPB.cosAPC.所以cosAPB2211.所以(PC21)(1)3PC238.所以的最小值为.7过点C(3,4)作圆x2y25的两条切线.切点分别为A.B.则点C到直线AB的距离为4.解析以OC为直径的圆的方程为(x)2(y2)2()2.AB为圆C与圆O：x2y25的公共弦.所以AB的方程为x2y2(x)2(y2)25.化为3x4y50.C到AB的距离为d4.8在ABC中.角A、B、C的对边分别为a、b、c.若sin2Asin2Bsin2C.则直线axbyc0被圆x2y29所截得弦长为2.解析由正弦定理得a2b2c2.圆心到直线距离d.弦长l222.9(20xx全国卷.19)设抛物线C：y24x的焦点为F.过F且斜率为k(k0)的直