河北省临漳县高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 函数的奇偶性函数的奇偶性课件 新人教A版必修1.ppt

函数的奇偶性 在日常生活中 有非常多的轴对称现象 如人与镜中的影关于镜面对称 请同学们举几个例子 除了轴对称外 有些是关于某点对称 如风扇的叶子 如图 它关于什么对称 而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象 请看下面的函数图像 观察下面两组图像 它们是否也有对称性呢 1 1 f x x2 1 2 例如 对于函数f x x3 有f 1 1 3 1f 1 1 f 2 2 3 8f 2 8 f x x 3 x3 f 1 f 1 f 2 f 2 f x f x x x 结论 当自变量任取定义域中的两个相反数时 对应的函数值也互为相反数 即f x f x x x f 2 2 2 4f 2 4 而函数f x x2 却是另一种情况 如下 f 1 1 2 1f 1 1 f x x 2 x2 f 1 f 1 f 2 f 2 f x f x 结论 当自变量x任取定义域中的一对相反数时 对应的函数值相等 即f x f x 而函数f x x2 却是另一种情况 如下 函数奇偶性的定义 偶函数定义 如果对于函数f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫偶函数 奇函数定义 如果对于函数f x 定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫奇函数 对于奇 偶函数定义的几点说明 2 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件 3 奇 偶函数定义的逆命题也成立 即 若函数f x 为奇函数 则f x f x 成立 若函数f x 为偶函数 则f x f x 成立 1 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就是说函数f x 具有奇偶性 练习 说出下列函数的奇偶性 f x x4 f x x f x x 2 f x x5 f x x 3 f x x 1 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 对于形如f x xn 的函数 在定义域r内 若n为偶数 则它为偶函数 若n为奇数 则它为奇函数 例1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 2 f x 3x4 6x2 a 解 定义域为r f x x 3 x x3 x x3 x 即f x f x f x 为奇函数 解 定义域为r f x 3 x 4 6 x 2 a 3x4 6x2 a即f x f x f x 为偶函数 说明 用定义判断函数奇偶性的步骤 先求出定义域 看定义域是否关于原点对称 再判断f x f x 或f x f x 是否成立 思考1 函数f x 2x 1是奇函数吗 是偶函数吗 x y 0 1 2 f x 2x 1 1 分析 函数的定义域为r但是f x 2 x 1 2x 1 f x f x 且f x f x f x 既不是奇函数也不是偶函数 也称为非奇非偶函数 如右图所示 图像既不关于原点对称也不关于y轴对称 1 f x 2 f x x2x 4 4 解 定义域不关于原点对称或 f 4 4 2 16 f 4 在定义域里没有意义 f x 为非奇非偶函数 解 定义域为 0 定义域不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 思考2 以下两个函数是奇函数吗 是偶函数吗 思考3 在前面的几个函数中有的是奇函数 有的是偶函数 也有非奇非偶函数 那么有没有这样的函数 它既是奇函数又是偶函数呢 有 例如 函数f x 0 是不是只有这一个呢 若不是 请举例说明 x y 0 1 f x 0 1 奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性 函数可划分为四类 本课小结 两个定义 对于函数f x 定义域内的任意一个x 两个步骤 判断函数的奇偶性 如果都有f x f x f x 为奇函数 如果都有f x f x f x 为偶函数 1 先求出定义域 看定义域是否关于原点对称 2 再判断f x f x 或f x f x 是否成立 练一练 判断函数的奇偶性 作业 课本p44页a组10 课外思考题 1 设y f x 为r上的任一函数 判断下列函数的奇偶性 1 f x f x f x 2 f x f x f x 2 判断函数的奇偶性 3 已知函数f x 是奇函数 当x 0时 f x x 1 x 当x 0 f x 等于 x 1 x b x 1 x c x 1 x d x 1 x 4 已知函数f x g x 均奇函数 f x af x bg x